2020年高考数学一轮复习教案：第1章 第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含解析)

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[考纲传真]　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．

(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断

2.全称量词和存在量词

3.全称命题和特称命题

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：

(1)p∨q：有真则真．

(2)p∧q：有假则假．

(3)p与p：真假相反．

2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．  (　　)

(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．(　　)

(3)“长方形的对角线相等”是特称命题． (　　)

(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”． (　　)

[解析]　(1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．

(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．

(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．

(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

B　[p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]

3．下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R,2x－1＞0

B．∀x∈N*，(x－1)2＞0

C．∃x∈R，lg x＜1

D．∃x∈R，tan x＝2

B　[对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]

4．命题：“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定为________．

∀x∈R，x2－ax＋1≥0　[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]

5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

[－8,0]　[当a＝0时，不等式显然成立．

当a≠0时，依题意知

解得－8≤a＜0.

综上可知－8≤a≤0.]

1．在一次跳伞训练中，甲、乙两名学员各跳一次，设命题p：甲降落在指定范围．q：乙降落在指定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)

A．(p)∨(q)　　　　　 B．p∨(q)

C．(p)∧(q)   D．p∧q

A　[p：甲没有降落在指定范围，

q：乙没有降落在指定范围．

则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为(p)∨(q)，故选A.]

2．若命题“p∨q”是真命题，“p”为真命题，则(　　)

A．p真，q真   B．p假，q真

C．p真，q假   D．p假，q假

B　[命题“p∨q”是真命题，则p或q至少有一个真命题，又“p”是真命题，则p是假命题，从而q一定是真命题，故选B.]

3．(2019·泰安模拟)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．p∧(q)

C．(p)∧q   D．(p)∧(q)

B　[∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.

∴命题p为真命题，∴p为假命题．

∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，

∴命题q为假命题，∴q为真命题．

∴p∧q为假命题，p∧q为真命题，p∧q为假命题，p∧q为假命题．故选B.]

【例1】　(1)(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是(　　)

A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1

C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1

D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

(2)下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，x2≥0

B．∀x∈R,2x－1＞0

C．∃x0∈N，sinx0＝1

D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2

(1)A　(2)D　[(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.

(2)当x∈R时，x2≥0且2x－1＞0，故A、B是真命题．

当x0＝1时，sinx0＝1，故C是真命题．

由sin x＋cos x＝sin≤，故D是假命题．]

(1)命题：“∃x0＞0，使2x0(x0－a)＞1”，这个命题的否定是(　　)

A．∀x＞0，使2x(x－a)＞1   B．∀x＞0，使2x(x－a)≤1

C．∀x≤0，使2x(x－a)≤1   D．∀x≤0，使2x(x－a)＞1

(2)下列命题中，真命题是(　　)

A．∀x∈R，x2－x－1＞0

B．∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin β

C．∃x∈R，x2－x＋1＝0

D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β

(1)B　(2)D　[(1)命题的否定为∀x＞0，使2x(x－a)≤1，故选B.

(2)因为x2－x－1＝2－≥－，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题．x2－x＋1＝2＋≥，所以C是假命题．当α＝β＝时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题，故选D.]

【例2】　(1)已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)   B．(－1,3)

C．(－3，＋∞)   D．(－3,1)

(2)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)

A．m≥2   B．m≤－2

C．m≤－2或m≥2   D．－2≤m≤2

(1)B　(2)A　[(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，为真命题，

则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，

则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B.

(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.

因此，由p，q均为假命题得

即m≥2，故选A.]

(1)已知命题p：∀x∈[1,2]，使得ex－a≥0.若p是假命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，e2]   B．(－∞，e]

C．[e，＋∞)   D．[e2，＋∞)

(2)已知命题p：∃x0∈R，x－ax0＋4＝0；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．

(1)B　(2)[－12，－4]∪[4，＋∞)　[(1)p是假命题，则p是真命题，当x∈[1,2]时，e≤ex≤e2，由题意知a≤(ex)min，x∈[1,2]，因此a≤e，故选B.

(2)若p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，解得a≤－4或a≥4.

若q是真命题，则－≤3，即a≥－12.

由p∧q是真命题知，命题p、q均是真命题．

因此a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．]