2020年高考数学一轮复习教案：第6章 第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含解析)

第二节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

[考纲传真]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

2.线性规划中的相关概念

[常见结论]

1．确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法

把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．

2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．               (　　)

(2)线性目标函数的最优解可能不唯一． (　　)

(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．                            (　　)

(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．              (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．(教材改编)不等式组表示的平面区域是(　　)

C　[x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]

3．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．

　[直线2x－3y＋6＝0上方的点满足不等式y＞x＋2，∴t＞×(－2)＋2，即t＞.]

4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________．

1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，

由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，

由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，

由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，

∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]

5．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

3　[根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.

作出直线y＝－x，并平移该直线，

当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．

由图知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.]

1．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

C　[由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.]

2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)

A．a<5          B．a≥7

C．5≤a<7   D．a<5或a≥7

C　[如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.

]

3．已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为________．

　[直线kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，

则A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知

×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.]

►考法1　求线性目标函数的最值

【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．

(2)(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．

(1)6　(2)3　[(1)画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x＋2y＝0并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点B(2,0)时，直线z＝3x＋2y在y轴上的截距最大，z取得最大值，即当时，zmax＝3×2＋0＝6.

(2)x＋1≤y≤2x可化为其表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在点A(1,2)处取得最小值，最小值为3.

]

►考法2　求非线性目标函数的最值

【例2】　实数x，y满足

(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．

[解]　由作出可行域，

如图中阴影部分所示．

(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．

因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．

由得B(1,2)，

所以kOB＝＝2，即zmin＝2，

所以z的取值范围是[2，＋∞)．

(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．

因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.

由得A(0,1)，

所以OA2＝()2＝1，

OB2＝()2＝5，

所以z的取值范围是[1,5]．

[拓展探究]　(1)保持本例条件不变，求目标函数z＝的取值范围．

(2)保持本例条件不变，求目标函数z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值．

[解]　(1)z＝可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率，所以z的取值范围是(－∞，0]．

(2)z＝x2＋y2－2x－2y＋3

＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，

而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，

PQ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，

PQ＝2＝，

所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.

►考法3　求参数的值

【例3】　(1)已知实数x，y满足若z＝x－my(m＞0)的最大值为4，则m＝________.

(2)若实数x，y满足不等式组其中m＞0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝________.

(1)3　(2)1　[(1)作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影区域所示，由得B(－2，－2)，同理可得A(2,0)，C(0,2)，因为z＝x－my(m＞0)，则y＝x－z，当＞，即0＜m＜2时，z＝x－my在点A(2,0)处取得最大值2，不合题意，因此m≥2，此时z＝x－my在点B(－2，－2)处取得最大值4.所以－2＋2m＝4，解得m＝3.

(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z＝x＋y，则y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过点A时，x＋y有最大值，此时x＋y＝9，由得A(4,5)，将A(4,5)代入x－my＋1＝0得4－5m＋1＝0，解得m＝1.

]

(1)(2019·长春模拟)若x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最小值为________．

(2)若实数x，y满足约束条件则的最小值为________．

(3)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．

(1)－5　(2)－　(3)5　[(1)不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

由z＝x－2y得y＝x－z.

平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.

(2)作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A连线的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－.

(3)画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，

由

解得

∴2×3－1－m＝0，m＝5.

由图知，平移l经过B点时，z最小，

∴当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.]

【例4】　(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域；

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为

即

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.

考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．

又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

解方程组得则点M的坐标为(6,3)．

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．

(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

216 000　[设生产产品A为x件，产品B为y件，则

目标函数z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．

当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]

1．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是(　　)

A．[－3,0]　　　　　 B．[－3,2]

C．[0,2]   D．[0,3]

B　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.

所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．

故选B.]

2．(2014·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)

A．－5          B．3

C．－5或3   D．5或－3

B　[二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最值，

因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.]

3．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

9　[画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x，并平移，当平移后的直线经过点B时，z取得最大值．联立，得解得所以B(5,4)，故zmax＝5＋4＝9.

]

4．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．

3　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2,3)时，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3.

]