2020高考数学一轮复习检测：第1章 第7节　指数与指数函数(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·黑龙江七台河月考)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　)

A．a＞b＞c　　　　　　　 B．a＞c＞b

C．c＞a＞b  D．b＞c＞a

解析：选A.由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.

2．(2018·汉中模拟)函数y＝2x－2－x是(　　)

A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

解析：选A.f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D.又函数y＝－2－x，y＝2x均是在R上的增函数，故y＝2x－2－x在R上为增函数．

3．(2018·武汉二模)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　)

A．[9，81]  B．[3，9]

C．[1，9]  D．[1，＋∞)

解析：选C.由f(x)过点(2，1)可知b＝2，

因为f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，

所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，

f(x)max＝f(4)＝34－2＝9.故选C.

4．(2018·绵阳质检)已知函数f(x)＝ax，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于(　　)

A．1  B．a

C．2  D．a2

解析：选A.∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又∵f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A.

5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)

解析：选A.解法一：(平移变换)二次函数f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a，b，且a＞b，故由已知函数图象可知，0＜a＜1，b＜－1.所以函数g(x)＝ax＋b的图象是由函数y＝ax的图象向下平移|b|个单位得到的，而函数y＝ax是一个单调递减函数，故选项A满足条件．

解法二：(特值法)二次函数f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a，b，且a＞b，故由已知函数图象可知，0＜a＜1，b＜－1.而函数y＝ax是一个单调递减函数，所以函数g(x)＝ax＋b也是一个单调递减函数，且g(0)＝a0＋b＝1＋b＜0，即函数g(x)的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，可知选项A满足条件．

6．(2018·广西质检)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(　　)

A．－4  B．－3

C．－1  D．0

解析：选A.∵xlog52≥－1，∴2x≥，则f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f(x)取得最小值，为－4.故选A.

7．(2018·西安模拟)若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]  B．[2，＋∞)

C．(－∞，－2]  D．[1，＋∞)

解析：选B.由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．

8．指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝________．

解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，∴f(0)＝a0＝1.

且f(m)＝am＝3.

∴f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋＝1＋＝.

答案：

9．(2018·安徽阜阳模拟)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．

解析：当a＞1时，由f(x)的单调性知，a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意；当0＜a＜1时，则a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数，符合题意．

答案：

10．(2018·河南信阳质检)已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．

解析：①当0＜a＜1时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图1.若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0＜a＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a＜2，所以0＜a＜.

②当a＞1时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图2.若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a＜2，此时无解．

所以a的取值范围是.

答案：

B级　能力提升练

11．(2018·天津模拟)已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)

A．a＜0，b＜0，c＜0  B．a＜0，b＞0，c＞0

C．2－a＜2c  D．1＜2a＋2c＜2

解析：选D.由题设可知：a，b，c既有正值又有负值，否则与已知f(a)＞f(c)＞f(b)相矛盾，a＜0＜c，则f(a)＝1－2a，f(c)＝2c－1，所以有1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，又2a＞0，2c＞1，∴2a＋2c＞1，即1＜2a＋2c＜2.

12．(2018·广州模拟)已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.

其中不可能成立的关系式有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选B.作出函数y1＝与y2＝的图象如图所示．

由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立．故选B.

13．(2018·兰州调研)设a＞0，b＞0(　　)

A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b

B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b

C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b

D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b

解析：选A.因为函数y＝2x＋2x为单调递增函数，

若2a＋2a＝2b＋2b，则a＝b，若2a＋2a＝2b＋3b，

则a＞b.故选A.

14．(2018·衡阳模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－2，1)  B．(－4，3)

C．(－3，4)  D．(－1，2)

解析：选D.因为(m2－m)·4x－2x＜0在x∈(－∞，－1]时恒成立，所以m2－m＜在x∈(－∞，－1]时恒成立，由于f(x)＝在x∈(－∞，－1]时单调递减，且x≤－1，所以f(x)≥2，所以m2－m＜2，解得－1＜m＜2.

15．(2018·黄冈模拟)已知函数f(x)＝若a＞b≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．

解析：如图，f(x)在[0，1)，[1，＋∞)上均单调递增，由a＞b≥0及f(a)＝f(b)知a≥1＞b≥.bf(a)＝bf(b)＝b(b＋1)＝b2＋b，

∵≤b＜1，∴≤bf(a)＜2.

答案：

16．(2018·潍坊模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝，则(　　)

①2是函数f(x)的一个周期；

②函数f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；

④当x∈(3，4)时，f(x)＝.

其中所有正确命题的序号是________．

解析：由已知条件得：f(x＋2)＝f(x)，

则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确，

当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，

f(x)＝f(－x)＝，

函数y＝f(x)的图象如图所示：

当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，

f(x)＝f(x－4)＝，

因此②④正确，③不正确．

答案：①②④

C级　素养加强练

17．(2018·宁夏银川市重点中学联考)已知函数f(x)＝ex，若关于x的不等式[f(x)]2－2f(x)－a≥0在[0，1]上有解，则实数a的取值范围为________．

解析：由[f(x)]2－2f(x)－a≥0在[0，1]上有解，可得a≤[f(x)]2－2f(x)，即a≤e2x－2ex.令g(x)＝e2x－2ex(0≤x≤1)，则a≤g(x)max.因为0≤x≤1，所以1≤ex≤e，则当ex＝e，即x＝1时，g(x)max＝e2－2e，即a≤e2－2e，故实数a的取值范围为(－∞，e2－2e]．

答案：(－∞，e2－2e]