2020高考数学一轮复习检测：第1章 第11节　函数模型及其应用(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·湖北襄阳模拟)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A．y＝100x　　　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x  D．y＝100log2x＋100

解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.

2．(2018·江西九江检测)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是(　　)

A．118元  B．105元

C．106元  D．108元

解析：选D.设家具的进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.

3．(2018·大连模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)

A．100台  B．120台

C．150台  D．180台

解析：选C.设利润为f(x)万元，则

f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)

＝0.1x2＋5x－3 000(0＜x＜240，x∈N*)．

令f(x)≥0，得x≥150，

∴生产者不亏本时的最低产量是150台．

4．(2018·淄博二模)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)

A.  B．

C.  D．－1

解析：选D.设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝－1，故选D.

5．(2018·兰州二模)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)

A．①  B．①②

C．①③  D．①②③

解析：选A.由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.

6．(2018·广东佛山一中月考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．

解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，所以当t＝3.75时，可食用率p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．

答案：3.75

7．(2018·湖北枣阳模拟)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．

解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

答案：4.24

8．(2018·山东寿光模拟)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．

解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.

答案：

9．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a，b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，则a＋blog3＝0，即a＋b＝0；

当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，则a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.

解方程组得

(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.

所以要使飞行速度不低于2 m/s，则v≥2，

所以－1＋log3≥2，即log3≥3，解得≥27，

即Q≥270.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．

10．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；

(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．

解：(1)由题图，设y＝

当t＝1时，由y＝4得k＝4，

由＝4得a＝3.所以y＝

(2)由y≥0.25得或

解得≤t≤5.

因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．

B级　能力提升练

11．(2018·深圳调研)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A．16小时  B．20小时

C．24小时  D．28小时

解析：选C.由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.

又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，

∴e11k＝＝＝.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24(小时)．

12．(2018·烟台二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：

若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)

A．11.5元  B．11元

C．10.5元  D．10元

解析：选A.根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5.

13．(2018·长春模拟)某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(　　)

A．甲食堂的营业额较高

B．乙食堂的营业额较高

C．甲、乙两食堂的营业额相同

D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

解析：选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．

14．(2018·衡水模拟)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg (nA)来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：

①PA≥1；

②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；

③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜PA＜5.5.

其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)

解析：当nA＝1时PA＝0，故①错误；

若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；

设B菌的个数为nB＝5×104，

∴nA＝＝2×105，

∴PA＝lg(nA)＝lg 2＋5.

又∵lg 2≈0.3，

∴5＜PA＜5.5，故③正确．

答案：③

15．(2018·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，那么，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．

解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，

依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.

化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.

因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，

所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．

故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．

答案：4

C级　素养加强练

16．(2018·无锡模拟)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．

(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?

(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.

①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；

②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．

解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.

(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，

由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，

又q＞1，所以q＝3，

所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．

②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，

所以f′(x)＝3x2－12x＋9，

令f′(x)＜0，得1＜x＜3.

所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．