2020高考数学一轮复习检测：第1章 第10节　函数与方程(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·广州模拟)下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是(　　)

A．y＝logx　　　　　　　 B．y＝2x－1

C．y＝x2－  D．y＝－x3

解析：选B.函数y＝logx在定义域上单调递减，y＝x2－在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.

2．(2018·湖南长沙模拟)若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)  B．(－∞，1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  D．(－1，1)

解析：选C.由题意知，f(－1)·f(1)＜0，

即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1.

3．(2018·石家庄调研)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)

A．(0，1)  B．(1，2)

C．(2，4)  D．(4，＋∞)

解析：选C.因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选C.

4．(2018·山东滨州二模)函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B.函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点即3x|ln x|－1＝0的解，即|ln x|＝的解，作出函数g(x)＝|ln x|和函数h(x)＝的图象，由图象可知，两函数图象有两个公共点，故函数f(x)＝3x|ln x|－1有2个零点．

5．(2018·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0，1)  B．(0，1]

C．(－∞，1)  D．(－∞，1]

解析：选D.令m＝0，由f(x)＝0得x＝，满足题意，可排除选项A，B.令m＝1，由f(x)＝0得x＝1，满足题意，排除选项C.故选D.

6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)

A．a＜b＜c  B．c＜b＜a

C．c＜a＜b  D．b＜a＜c

解析：选A.在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a＜b＜c.

7．(2018·山东泰安模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式成立的是(　　)

A．f(a)＜f(1)＜f(b)  B．f(a)＜f(b)＜f(1)

C．f(1)＜f(a)＜f(b)  D．f(b)＜f(1)＜f(a)

解析：选A.函数f(x)，g(x)均为定义域上的单调递增函数，且f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，g(1)＝－1＜0，g(e)＝e－1＞0，所以a∈(0，1)，b∈(1，e)，即a＜1＜b，所以f(a)＜f(1)＜f(b)．

8．(2018·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．

解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln 2＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2.

答案：2

9．(2018·天津卷)已知a＞0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．

解析：当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x＞0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a＜＜2a，得4＜a＜8.

答案：(4，8)

10．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，

(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．

解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．

(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，只需即

解得＜a＜.

故实数a的取值范围为.

B级　能力提升练

11．(2018·潍坊模拟)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为(　　)

A．2a－1  B．2－a－1

C．1－2－a  D．1－2a

解析：选D.当－1≤x＜0时⇒1≥－x＞0；

x≤－1⇒－x≥1.

又f(x)为奇函数，∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝画出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的图象，如图，共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则＝－3，＝3，而－log(－x3＋1)＝a⇒log2(1－x3)＝a⇒x3＝1－2a，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故选D.

12．(2017·山东卷)已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)

A．(0，1]∪[2，＋∞)  B．(0，1]∪[3，＋∞)

C．( 0， ]∪[2，＋∞)  D．(0，]∪[3，＋∞)

解析：选B.在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2与g(x)＝＋m的大致图象．分两种情形：

(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0，1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．

(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．

综上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)．

故选B.

13．(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝

当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．

解析：(1)当λ＝2时，f(x)＝

其图象如图(1)．

由图知f(x)＜0的解集为(1，4)．

(2)f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．

在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．

答案：(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞)

14．(2018·德州二模)设函数f(x)＝(x＞0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：(1)函数图象如图所示．

(2)∵f(x)＝＝故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，

由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，

且－1＝1－，∴＋＝2.

(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．

15．(2018·贵州遵义月考)已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

C级　素养加强练

16．已知函数f(x)＝若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是(　　)

A．[4－2ln 2，＋∞)  B．(，＋∞)

C．(－∞，4－2ln 2]  D．(－∞，)

解析：选D.因为函数f(x)＝所以F(x)＝由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，其中m＝－ln＜－ln ，∴m＜ln.设t＝e－m，则t＞，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，设g(t)＝2et－1(2－t)，则g′(t)＝2et－1(1－t)，因为t＞，所以g′(t)＝2et－1(1－t)＜0，即函数g(t)＝2et－1(2－t)在区间上是减函数，所以g(t)＜g＝，故选D.