2020高考数学一轮复习检测：第1章 第8节　对数与对数函数(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·金华模拟)已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c　　　　　　　 B．b＞a＞c

C．c＞a＞b  D．c＞b＞a

解析：选B.a＝log29－log2＝log2(3)，

b＝1＋log2＝log2(2)，c＝＋log2＝log2，

因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

且2＞3＞，所以b＞a＞c.

2．(2018·邢台模拟)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)

A．2  B．－2

C.  D．－

解析：选D.∵f(x)＝lg的定义域为－1＜x＜1，

∴f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－.

3．(2018·沈阳三模)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则(　　)

A．a＜b＜c  B．b＜c＜a

C．c＜a＜b  D．c＜b＜a

解析：选C.a＝log32＝，b＝ln 2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，又c＝5－＝，＞2＝log24＞log23，所以c＜a，故c＜a＜b.

4．(2018·华师附中调研)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)

A．0＜a－1＜b＜1

B．0＜b＜a－1＜1

C．0＜b－1＜a＜1

D．0＜a－1＜b－1＜1

解析：选A.令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝loga(g(x))是单调递增的，所以必有a＞1.又由函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，

故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.

5．(2018·临沂调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)

A．[1，2]  B．

C.  D．(0，2]

解析：选C.因为loga＝－log2a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)＋f(loga)＝2f(log2a)＝2f(|log2a|)≤2f(1)，即f(|log2a|)≤f(1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2.

6．已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．

解析：令logab＝t，∵a＞b＞1，∴0＜t＜1，由logab＋logba＝得，t＋＝，解得t＝或t＝2(舍去)，即logab＝，∴b＝，又ab＝ba，∴a＝()a，即a＝a，亦即＝，解得a＝4，∴b＝2.

答案：4；2

7．(2018·汕头模拟)已知当0＜x≤时，不等式logax＜－2恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(，2)  B．(1，)

C.  D．(0，)

解析：选B.当0＜x≤时，不等式logax＜－2恒成立，所以logax＜0.又0＜x≤，所以a＞1，因此y＝logax是增函数，故x＜a－2恒成立，所以＜a－2，得1＜a＜，故选B.

8．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：

①a＞b＞1，②0＜b＜a＜1，③b＞a＞1，④0＜a＜b＜1，⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．

解析：当a＝b＝1或a＝，b＝或a＝2，b＝3时，

都有loga＝logb，故②③⑤均可能成立．

故不可能成立的关系式有2个．

答案：2

9．(2018·海南三市联考)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)∵f(1)＝2，

∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，

∴a＝2.

由得x∈(－1，3)，

∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

10．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解：(1)因为f(1)＝1，

所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，

函数f(x)的定义域为(－1，3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3，

则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．

又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，

则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有解得a＝.

故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.

B级　能力提升练

11．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)

A．a＋b<ab<0  B．ab<a＋b<0

C．a＋b<0<ab  D．ab<0<a＋b

解析：选B.∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，

∴ab＜0.

∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，

∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，

∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.故选B.

12．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)

A．2x＜3y＜5z  B．5z＜2x＜3y

C．3y＜5z＜2x  D．3y＜2x＜5z

解析：选D.解法一：(特值法)令x＝1，则由已知条件可得3y＝2，5z＝2，所以y＝，z＝，从而3y＝＝＜＝2，5z＝＝＞2，则3y＜2x＜5z，故选D.

解法二：(数形结合法)由2x＝3y＝5z，可设()2x＝()3y＝()5z＝t，因为x，y，z为正数，所以t＞1，因为＝＝，＝＝，所以＜；因为＝＝，＝，所以＞，所以＜＜.分别作出y＝()x，y＝()x，y＝()x的图象，如图．

则3y＜2x＜5z，故选D.

解法三：(作商法)由2x＝3y＝5z，同时取自然对数，得xln 2＝yln 3＝zln 5.由＝＝＞1，可得2x＞3y；由＝＝＜1，可得2x＜5z，所以3y＜2x＜5z，故选D.

13．(2018·荆州模拟)若函数f(x)＝

(a＞0，且a≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a的取值范围是________．

解析：x≤2时，f(x)＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1，

f(x)在(－∞，1)上递增，在(1，2]上递减，

∴f(x)在(－∞，2]上的最大值是－1，又f(x)的值域是(－∞，－1]，∴当x＞2时，logax≤－1，

故0＜a＜1，且loga2≤－1，

∴≤a＜1.

答案：

14．(2018·许昌第三次联考)已知f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)．

(1)求f＋f的值．

(2)当x∈[－t，t](其中t∈(0，1)，且t为常数)时，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．

(3)当a＞1时，求满足不等式f(x－2)＋f(4－3x)≥0的x的取值范围．

解：(1)由＞0，得－1＜x＜1，

∴f(x)的定义域为(－1，1)．

又f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，

∴f＋f＝0.

(2)设－1＜x1＜x2＜1，则

－＝.

∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，

(1＋x1)(1＋x2)＞0，∴＞.

当a＞1时，f(x1)＞f(x2)，

f(x)在(－1，1)上是减函数．

又t∈(0，1)，∴x∈[－t，t]时，f(x)有最小值，且最小值为f(t)＝loga.

当0＜a＜1时，f(x1)＜f(x2)，f(x)在(－1，1)上是增函数．

又t∈(0，1)，∴x∈[－t，t]时，f(x)有最小值，且最小值为f(－t)＝loga.

综上，当x∈[－t，t]时，f(x)存在最小值．且当a＞1时，f(x)的最小值为loga，

当0＜a＜1时，f(x)的最小值为loga.

(3)由(1)及f(x－2)＋f(4－3x)≥0，得

f(x－2)≥－f(4－3x)＝f(3x－4)．

∵a＞1，∴f(x)在(－1，1)上是减函数，

∴∴所以1＜x＜.

∴x的取值范围是.

C级　素养加强练

15．(2018·北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.

(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；

(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函数h(x)的值域为[0，2]．

(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，

得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x，

 令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，

所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立，

①当t＝0时，k∈R；

②当t∈(0，2]时，k＜恒成立，

即k＜4t＋－15，

因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，

所以4t＋－15的最小值为－3.

综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．