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初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试优秀单元测试课后复习题
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这是一份初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试优秀单元测试课后复习题，共14页。
选择题（每题3分，共12题，满分36分）
1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．1.5，2.5，3D．5,12,13
2. 如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，以下式子成立的是（ ）
A.B.C．D．
3. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，在中国我们常称之为勾股定理，在国外称之为 （ ）
A．毕达哥拉斯定理B．托勒密定理C．蝴蝶定理D．陈氏定理
4. 如图2，点E在正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90°．AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 ( )
A． 48 B．60 C．76 D． 80
5. 如图3，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于 （ ）
A. B. C. D. 3
6. 设三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则一定能判定三角形是直角三角形的是 （ ）
A．a=b=c B．a+b=cC．D．
7.点A在数轴上表示的数是-2，点B表示的数是1，点C是数轴外一点，且点C到数轴的距离C为4，则点B与点C的距离是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8. 我国古代数学家赵爽的"勾股方圆图"是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图4所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,则下列结论错误的是 （ ）
B. C. ab=6 D. a+b=8
9. 如图5，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
A．6步B．5步C．4步D．2步
10. 如图6，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED=3，则+的值为 （ ）
A．98B．100C．117D．121
11. （2020•辽宁省盘锦市）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几
何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它
高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的
深度与这根芦苇的长度分别是多少？如图7，设芦苇的长度是x尺．根据题意，下列等式一
定成立的是 （ ）
A．B．
C．D．
12.如图8，BC=3，AB=4，AF=9，则正方形CDEF的面积为 （ ）
A．13B．15C．106D．122
二、填空题（每题3分，共7题，满分21分）
13. .(2020年四川省雅安市)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图
9所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC.BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2= ．
14. （2020•湖北省黄冈市）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图10，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺．
15. (2020•江苏省扬州市)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
16. （2020·威海）如图11，四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25．分别在边AB，BC，CD，DA上顺次截取AE=BF=CG=DH=acm，（AE＞BE），连接EF，FG，GH，HE．分别以EF，FG，GH，HE为轴将纸片向内翻折，得到四边形，如图12所示，若四边形的面积为9，则a=________．
17. （2020·湖南娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图13所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且为定值，则当a b时，ab取得最大值．
18. （2020.台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图14所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 ．（用含a，b的代数式表示）
19. （2020·宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图15），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图16的形式摆放，那么图5中最大的正方形的面积为 ．
三、解答题（满分43分）
20.（满分6分）判断下列三角形的形状
判断由线段a. b. c组成的三角形是不是直角三角形
（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15
21. （满分5分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图17或图18摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图17证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图17所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣A．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）,∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图18完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图18所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2
22. （满分6分）（2020年山西省）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是 勾股定理的逆定理 ；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图21的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
23. （满分5分）已知：如图22，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3.求图中阴影部分的面积．
24. （满分6分）（2020.长春市）图23、图24、图25均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：（1）在图3中画一个钝角三角形，在图4中画一个直角三角形，在图5中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．
25. （满分8分）（2020.温州）如图26，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
26. （满分8分）
（2020年湖北省随州市）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图27），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件，图28 ，图29）
（2）①如图30，图31, 图32以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足+=的有 个；
②如图33所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图34所示的“勾股树”．在如图35所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①= ；
②b与c的关系为 ，a与d的关系为 ．
参考答案：
北师版数学八年级上册第一章勾股定理单元测试题
选择题
1. D
2. B
3.A
4. C
5. C
6. D
7.B
8. D
9. C
10. C
11. B
12 C
二、填空题
13. 20
14. 12
16. 4
解析：设BE=b，根据赵爽弦图的几何意义，得a+b=5，a-b=3,解方程组，得a=4.
17. =
解析：如图，作斜边c上高h，∵≥0，∴﹣2ab≥0，又∵，为定值，∴ab≤,∴ab最大值为,∵a，b为直角边的直角三角形面积为：
，∴=ch，∴h=,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得h是直角三角形斜边上的中线，∵h是斜边上的高线，∴△ABC是等腰直角三角形，∴a=b，
∴当a=b时，ab的值最大.故应该填“=”．
18. 解：a+b
19. 27
解析：根据赵爽弦图的几何意义，得=15，=3，大正方形的面积为：，∵=3，∴=3，∴15﹣2ab=3，∴2ab=12，
∴=+4ab=3+2×12=27，或=+2ab=15+12=27.
三、解答题
20.解：（1）因为，
所以，这个三角形是直角三角形
（2）因为
所以，这个三角形不是直角三角形
21.证明：连结 过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），
∴ ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a）， ∴a2+b2=c2．
22.解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）由作图方法可知，QP＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，
∴∠QCR+∠QCS＝90°，
即∠RCS＝90°；
（3）①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
23. 解：根据勾股定理，得，,
，=,=,
=,∴++=++
=++=+,∵,
∴阴影面积为：+==.
24. 解析：如图所示：即为符合条件的三角形．
25. 证明：（1）∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，∴CE＝BC＝5，∵∠ACE＝90°，
∴AE＝＝＝13．
26. 解析：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
（2）证明：在图11中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：．
在图12中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得：．
在图13中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．，化简得：．
（2）①三个图形中面积关系满足+=的有3个；②结论：+=．理由如下：
∵+=，∴+=，
∵，∴+=．
（3）①；②b与c的关系为b=c，a与d的关系为a+d=m．
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图19所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图19，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．
办法二：如图20，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
选择题（每题3分，共12题，满分36分）
1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．1.5，2.5，3D．5,12,13
2. 如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，以下式子成立的是（ ）
A.B.C．D．
3. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，在中国我们常称之为勾股定理，在国外称之为 （ ）
A．毕达哥拉斯定理B．托勒密定理C．蝴蝶定理D．陈氏定理
4. 如图2，点E在正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90°．AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 ( )
A． 48 B．60 C．76 D． 80
5. 如图3，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于 （ ）
A. B. C. D. 3
6. 设三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则一定能判定三角形是直角三角形的是 （ ）
A．a=b=c B．a+b=cC．D．
7.点A在数轴上表示的数是-2，点B表示的数是1，点C是数轴外一点，且点C到数轴的距离C为4，则点B与点C的距离是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8. 我国古代数学家赵爽的"勾股方圆图"是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图4所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,则下列结论错误的是 （ ）
B. C. ab=6 D. a+b=8
9. 如图5，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
A．6步B．5步C．4步D．2步
10. 如图6，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED=3，则+的值为 （ ）
A．98B．100C．117D．121
11. （2020•辽宁省盘锦市）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几
何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它
高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的
深度与这根芦苇的长度分别是多少？如图7，设芦苇的长度是x尺．根据题意，下列等式一
定成立的是 （ ）
A．B．
C．D．
12.如图8，BC=3，AB=4，AF=9，则正方形CDEF的面积为 （ ）
A．13B．15C．106D．122
二、填空题（每题3分，共7题，满分21分）
13. .(2020年四川省雅安市)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图
9所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC.BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2= ．
14. （2020•湖北省黄冈市）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图10，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺．
15. (2020•江苏省扬州市)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
16. （2020·威海）如图11，四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25．分别在边AB，BC，CD，DA上顺次截取AE=BF=CG=DH=acm，（AE＞BE），连接EF，FG，GH，HE．分别以EF，FG，GH，HE为轴将纸片向内翻折，得到四边形，如图12所示，若四边形的面积为9，则a=________．
17. （2020·湖南娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图13所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且为定值，则当a b时，ab取得最大值．
18. （2020.台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图14所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 ．（用含a，b的代数式表示）
19. （2020·宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图15），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图16的形式摆放，那么图5中最大的正方形的面积为 ．
三、解答题（满分43分）
20.（满分6分）判断下列三角形的形状
判断由线段a. b. c组成的三角形是不是直角三角形
（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15
21. （满分5分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图17或图18摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图17证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图17所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣A．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）,∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图18完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图18所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2
22. （满分6分）（2020年山西省）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是 勾股定理的逆定理 ；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图21的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
23. （满分5分）已知：如图22，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3.求图中阴影部分的面积．
24. （满分6分）（2020.长春市）图23、图24、图25均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：（1）在图3中画一个钝角三角形，在图4中画一个直角三角形，在图5中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．
25. （满分8分）（2020.温州）如图26，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
26. （满分8分）
（2020年湖北省随州市）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图27），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件，图28 ，图29）
（2）①如图30，图31, 图32以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足+=的有 个；
②如图33所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图34所示的“勾股树”．在如图35所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①= ；
②b与c的关系为 ，a与d的关系为 ．
参考答案：
北师版数学八年级上册第一章勾股定理单元测试题
选择题
1. D
2. B
3.A
4. C
5. C
6. D
7.B
8. D
9. C
10. C
11. B
12 C
二、填空题
13. 20
14. 12
16. 4
解析：设BE=b，根据赵爽弦图的几何意义，得a+b=5，a-b=3,解方程组，得a=4.
17. =
解析：如图，作斜边c上高h，∵≥0，∴﹣2ab≥0，又∵，为定值，∴ab≤,∴ab最大值为,∵a，b为直角边的直角三角形面积为：
，∴=ch，∴h=,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得h是直角三角形斜边上的中线，∵h是斜边上的高线，∴△ABC是等腰直角三角形，∴a=b，
∴当a=b时，ab的值最大.故应该填“=”．
18. 解：a+b
19. 27
解析：根据赵爽弦图的几何意义，得=15，=3，大正方形的面积为：，∵=3，∴=3，∴15﹣2ab=3，∴2ab=12，
∴=+4ab=3+2×12=27，或=+2ab=15+12=27.
三、解答题
20.解：（1）因为，
所以，这个三角形是直角三角形
（2）因为
所以，这个三角形不是直角三角形
21.证明：连结 过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），
∴ ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a）， ∴a2+b2=c2．
22.解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）由作图方法可知，QP＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，
∴∠QCR+∠QCS＝90°，
即∠RCS＝90°；
（3）①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
23. 解：根据勾股定理，得，,
，=,=,
=,∴++=++
=++=+,∵,
∴阴影面积为：+==.
24. 解析：如图所示：即为符合条件的三角形．
25. 证明：（1）∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，∴CE＝BC＝5，∵∠ACE＝90°，
∴AE＝＝＝13．
26. 解析：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
（2）证明：在图11中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：．
在图12中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得：．
在图13中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．，化简得：．
（2）①三个图形中面积关系满足+=的有3个；②结论：+=．理由如下：
∵+=，∴+=，
∵，∴+=．
（3）①；②b与c的关系为b=c，a与d的关系为a+d=m．
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图19所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图19，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．
办法二：如图20，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
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