北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试单元测试达标测试

这是一份北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试单元测试达标测试，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章《图形的相似》单元测试题及答案


一、选择题(每题3分，共30分)


1．已知5x＝6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )


A．eq \f(x,5)＝eq \f(y,6) B．eq \f(x,6)＝eq \f(y,5) C．eq \f(x,y)＝eq \f(5,6) D．eq \f(x,5)＝eq \f(6,y)


2．下列各组图形中有可能不相似的是( )


A．各有一个角是45°的两个等腰三角形


B．各有一个角是60°的两个等腰三角形


C．各有一个角是105°的两个等腰三角形


D．两个等腰直角三角形


3．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F.已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则eq \f(BD,BF)的值是( )


A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,3) C．eq \f(3,7) D．eq \f(4,7)





4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为eq \f(1,3)，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )


A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)


5．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”．下列变换中不一定是等距变换的是( )


A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似








6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )


A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m





7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△CDE，使它与△AOB位似，且相似比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )


A．(0，0)，2 B．(2，2)，eq \f(1,2) C．(2，2)，2 D．(1，1)，eq \f(1,2)


8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于( )


A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25


9．如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( )


A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25


10．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC，PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为( )


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





二、填空题(每题3分，共24分)


11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．


12．若eq \f(a＋b,c)＝eq \f(b＋c,a)＝eq \f(c＋a,b)＝k(a＋b＋c≠0)，则k＝________.


13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．


14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．





15．如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得到正方形A′B′C′D′，则点C的对应点C′的坐标为________．





16．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4 m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5 m，窗口AB高2 m，那么窗口底端B距离墙脚C________m.


17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．


18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，……，以此类推，则Sn＝________(用含n的式子表示，n为正整数)．


三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)


19．如图，矩形ABCD为一密封的长方体纸盒的纵切面的示意图，AB边上的点E处有一小孔，光线从点E处射入，经纸盒底面上的平面镜反射，恰好从点D处的小孔射出．已知AD＝26 cm，AB＝13 cm，AE＝6 cm.


(1)求证：△BEF∽△CDF.


(2)求CF的长．




















20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.


(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；


(2)计算△A′B′C′的面积．











21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.


(1)求证：△ADF∽△DEC.


(2)若AB＝8，AD＝6eq \r(3)，AF＝4eq \r(3)，求AE的长．


























22．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．























23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：





(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？


(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．


(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？














24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.


(1)当α＝0°和α＝180°时，求eq \f(AE,BD)的值．


(2)试判断当0°≤α＜360°时，eq \f(AE,BD)的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．


(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．








答案


一、1．B 2．A


3．C 点拨：因为a∥b∥c，所以eq \f(BD,BF)＝eq \f(AC,AE)＝eq \f(3,3＋4)＝eq \f(3,7).


4．A 5．D


6．B 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.


又∵∠AEB＝∠DEC，


∴△ABE∽△DCE.


∴eq \f(AB,DC)＝eq \f(BE,CE)，即eq \f(AB,20)＝eq \f(20,10).


∴AB＝40 m.


7．B


8．B 点拨：由∠A＝90°，CF⊥BE，AD∥BC，易证△ABE∽△FCB.


∴eq \f(AB,BE)＝eq \f(CF,BC).由AE＝eq \f(1,2)×3＝1.5，


AB＝2，易得BE＝2.5，


∴eq \f(2,2.5)＝eq \f(CF,3).∴CF＝2.4.


9．D


10．C 点拨：设AP＝x，则BP＝8－x，当△PAE∽△PBC时，eq \f(AE,BC)＝eq \f(PA,PB)，


∴AE·PB＝BC·PA，即3(8－x)＝4x，解得x＝eq \f(24,7).


当△PAE∽△CBP时，eq \f(AE,PB)＝eq \f(PA,BC)，


∴AE·BC＝PA·PB，即3×4＝x(8－x)，解得x＝2或6.


故满足条件的点P的个数为3个．


二、11.160 km 点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，根据题意可列比例式为eq \f(1,500 000)＝eq \f(32,x×105)，解得x＝160.


12．2 点拨：∵eq \f(a＋b,c)＝eq \f(b＋c,a)＝eq \f(c＋a,b)＝k，∴eq \f(2a＋2b＋2c,a＋b＋c)＝k，故k＝2.


易错提醒：在运用等比性质时，注意分母的和不等于0这个条件．


13．S1＝S2 点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，


∴BC2＝AC·AB.又∵S1＝BC2，S2＝AC·AD＝AC·AB，∴S1＝S2.


14．2；1：2；1：6


15．(2，1)或(0，－1) 点拨：如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，根据图形可得点C′的坐标为(2，1)或(0，－1)．


易错提醒：此类题要注意多种可能：位似图形可能位于位似中心的同侧，也可能位于位似中心的两侧，要分情况进行讨论．


16．2.5 点拨：由题意得CE＝5 m，AB＝2 m，DE＝4 m.


∵AD∥BE，∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(CE,ED)，∴eq \f(BC,2)＝eq \f(5,4)，


解得BC＝2.5 m，即窗口底端B距离墙脚C 2.5 m.


17．eq \f(16,3)或3 点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝eq \f(16,3)；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4÷4×3＝3.


18．eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(n) 点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝eq \f(1,2)BC＝1.


在Rt△ABB1中，AB1＝eq \r(AB2－BB21)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，


根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，


∴eq \f(S1,S)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2).∴S1＝eq \f(3,4)S.


同理可得S2＝eq \f(3,4)S1，S3＝eq \f(3,4)S2，S4＝eq \f(3,4)S3，….


又∵S＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)，


∴S1＝eq \f(3,4)S＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(3,4)，


S2＝eq \f(3,4)S1＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)，S3＝eq \f(3,4)S2＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(3)，S4＝eq \f(3,4)S3＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(4)，…，Sn＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(n).








三、19.(1)证明：∵FG⊥BC，∠EFG＝∠DFG，∴∠BFE＝∠CFD.


又∵∠B＝∠C＝90°，


∴△BEF∽△CDF.


(2)解：设CF＝x cm，则BF＝(26－x)cm，


∵AB＝13 cm，AE＝6 cm，


∴BE＝7 cm，


由(1)得，△BEF∽△CDF，


∴eq \f(BE,CD)＝eq \f(BF,CF)，即eq \f(7,13)＝eq \f(26－x,x)，


解得x＝16.9，即CF＝16.9 cm.


20．解：(1)如图．


(2)S△A′B′C′＝4×4－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×2×4＝6.





21．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，


∴AD∥BC，∠B＋∠C＝180°，


∴∠ADE＝∠DEC.


又∵∠AFE＝∠B，∠AFE＋∠AFD＝180°，


∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.


(2)解：在▱ABCD中，CD＝AB＝8.


∵△ADF∽△DEC，∴eq \f(AF,CD)＝eq \f(AD,DE)，


即eq \f(4\r(3),8)＝eq \f(6\r(3),DE)，解得DE＝12.


∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD.


在Rt△AED中，由勾股定理，得AE＝eq \r(122－（6\r(3)）2)＝6.


22．解：由题意得，CD＝DG＝EF＝2米，DF＝52米，FH＝4米．


∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，


∴∠ABH＝∠CDG＝∠EFH＝90°.


又∵∠CGD＝∠AGB，∠EHF＝∠AHB，


∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，


∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(DG,BG)，eq \f(EF,AB)＝eq \f(FH,BH)，


即eq \f(CD,AB)＝eq \f(DG,DG＋BD)，eq \f(EF,AB)＝eq \f(FH,FH＋DF＋BD)，


∴eq \f(2,AB)＝eq \f(2,2＋BD)，eq \f(2,AB)＝eq \f(4,4＋52＋BD)，


∴eq \f(2,2＋BD)＝eq \f(4,4＋52＋BD)，


解得BD＝52米，


∴eq \f(2,AB)＝eq \f(2,2＋52)，解得AB＝54米．


答：建筑物AB的高度为54米．


23．解：(1)由题意知AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，当QA＝AP时，


△QAP是等腰直角三角形，


所以6－t＝2t，解得t＝2.


(2)四边形QAPC的面积＝S△QAC＋S△APC＝eq \f(1,2)AQ·CD＋eq \f(1,2)AP·BC＝(36－6t)＋6t＝36(cm2)．在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．


(3)分两种情况：


①当eq \f(AQ,AB)＝eq \f(AP,BC)时，△QAP∽△ABC，则eq \f(6－t,12)＝eq \f(2t,6)，即t＝1.2；


②当eq \f(QA,BC)＝eq \f(AP,AB)时，△PAQ∽△ABC，则eq \f(6－t,6)＝eq \f(2t,12)，即t＝3.


所以当t＝1.2或3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．


24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝eq \f(1,2)AC.


∵∠B＝90°，∴AC＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5).∴AE＝CE＝2eq \r(5).∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(2\r(5),4)＝eq \f(\r(5),2).


当α＝180°时，如图①，





易得AC＝4eq \r(5)，CE＝2eq \r(5)，CD＝4，


∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(AC＋CE,BC＋CD)＝eq \f(4\r(5)＋2\r(5),8＋4)＝eq \f(\r(5),2).


(2)无变化．证明：在题图①中，


∵DE是△ABC的中位线，


∴DE∥AB.


∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)，∠EDC＝∠B＝90°.


在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，


∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)仍然成立．


又∵∠ACE＝∠BCD＝α，


∴△ACE∽△BCD.∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(AC,BC).


由(1)可知AC＝4eq \r(5).


∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(4\r(5),8)＝eq \f(\r(5),2).∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(\r(5),2).∴eq \f(AE,BD)的大小不变．


(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4eq \r(5)；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝eq \r(AC2－CD2)＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵eq \f(AE,BD)＝eq \f(\r(5),2)，∴BD＝eq \f(12\r(5),5).


综上，BD的长为4eq \r(5)或eq \f(12\r(5),5).