模板十五：　圆锥曲线中的最值与范围问题

模板十五：　圆锥曲线中的最值与范围问题

模板

构建

与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:

典型

例题

（2020·新疆维吾尔自治区乌市八中高三三模）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点得，求实数的取值范围.

试题

解析

由题，当点P在上下顶点时，三角形的面积最大，可得，

即可得，解得

椭圆的方程为.

（2）由消去整理得，

且

设，线段的中点为

则.

在轴上存在点，使得，

，即，

因为

，当且仅当且，即时等号成立.

，故，

实数的取值范围为.

题后

反思

本题考查了圆锥曲线的综合，熟悉椭圆的性质以及直线与椭圆相交的知识是解题的关键，考验了学生的计算能力和综合能力，属于较难题.

直线与圆锥曲线解题步骤：

（1）设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；

（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；

（3）转化，由题已知转化为数学公式；

（4）计算，细心计算.

针对训练*举一反三

1．（2020·江西省高三三模）已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且、、成等比数列．

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求（为坐标原点）面积的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意，解得，，

所以椭圆的方程是；

（2）解法一：

设、、，则，

相减得：，

又由，知，，

由，知，，

代入式得：，即，

又因为点在椭圆内，所以，

所以的面积；

解法二：设，，，则，，

设直线的方程为，代入椭圆的方程得：

，由得，．

所以，消去得到，

所以，

因此的面积；

解法三：设直线的方程为，代入椭圆的方程得：

，由得，．

所以，，

，

原点到直线的距离，

所以的面积，

因为，所以．

2．（2020·江苏省如皋中学高三二模）如图所示，射线在第一象限，且与轴正向的夹角为，动点在射线上，动点在轴正向上，的面积为定值.

（1）求线段的中点的轨迹的方程；

（2）设是曲线上的动点，点到轴的距离之和为.若为点到轴的距离之积，问是否存在最大的常数，使得恒成立？若存在，求出这个的值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】（1）设，则，所以，所以,

所以线段的中点的轨迹;

（2）设，，

因为，所以,

令，在单调递减，在单调递增，

所以当，即，，

当，则，.

3．（2020·广东省高三三模）已知椭圆Γ：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，

（1）求Γ的方程：

（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A，B两点，连接AO交Γ于点C，求△ABC面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为椭圆C的短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，

所以b＝c，S＝a2＝2，则，b＝c＝1，

故椭圆Γ的方程；

（2）①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），

联立方程组，消去y，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），得，，

所以，

点O到直线kx﹣y﹣k＝0的距离，

因为O到线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为，

所以△ABC面积，

②当直线AB的斜率不存在时不妨取，，，

故△ABC面积为，

综上，当直线AB的斜率不存在时，△ABC面积的最大值为．

4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三二模）已知直线与抛物线交于两点，线段的中点为，点为的焦点，且（为坐标原点）的面积为1.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点作斜率为的直线与交于两点，直线,分别交直线于两点，求的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设，，则.

由，两式相减，得.

∴，所以点的纵坐标为，

∴的面积，解得.

故所求抛物线的标准方程为.

（2）直线的方程为.

由方程组，得.

设，，则，.

直线的方程为，代入，解得，所以.同理得.

所以

.

因为，所以，所以当，即时，取得最大值.

5．（2020·湖南省雅礼中学高三三模）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：

（1）求y1+y2的值；

（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）点P（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，可得2p＝4，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x，

由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，

kPA+kPB0，

则y1+y2＝﹣4；

（2）由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），

则kAB1，

可设直线AB的方程为y＝﹣x+b（b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程y2＝4x，可得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，

△＝（2b+4）2﹣4b2＝16（1+b）＞0，且x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，

则|AB|•|x1﹣x2|••4，

P（1，2）到直线AB的距离为d，

可得S△ABP|AB|•d＝2（3﹣b）•，

设，则

当时，，函数单调递增，当时，函数的单调递减.

即时，有最大值

即

所以S△ABP，则S△ABP的最大值为.

6．（2020·江西省高三二模）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，线段的中点的横坐标为，.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，过点作直线交抛物线于、两点，求的最大值，并求取得最大值时直线的方程.

【答案】（1）；（2）当直线的方程为时，取最大值.

【解析】（1）设点、，由于线段的中点的横坐标为，则，

由抛物线的焦点弦长公式得，解得.

因此，抛物线的方程为；

（2）设点、，设直线的方程为，

联立，消去并整理得.

由韦达定理得，.

，同理可得，

.

当时，取最大值，此时，直线的方程为.

7．（2020·陕西省安康中学高三三模）已知椭圆，圆心为坐标原点的单位圆O在C的内部，且与C有且仅有两个公共点，直线与C只有一个公共点.

（1）求C的标准方程；

（2）设不垂直于坐标轴的动直线l过椭圆C的左焦点F，直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中垂线交x轴于点P，试求的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）依题意,得 

将代入椭圆的方程,得

由,解得

所以椭圆的标准方程为

（2）由（1）可得左焦点

由题意设直线l的方程为,

代入椭圆方程,得

设,则

所以,AB的中点为

设点,则,解得

故

令,则,且

设,则

所以,即的面积的最大值为

8．（2020·上海高三二模）如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于、两点，与轴交于点.

（1）若，求的值；

（2）求证：；

（3）求面积的最大值．

【答案】（1）  （2）证明见解析  （3）

【解析】（1）联立，得，

∵直线与椭圆相交于、两点，∴，即或，

设，，则，，

∵，∴，

代入上式，解得．

（2）由图形得要证明，等价于证明直线与直线的倾斜角互补，

即等价于，

，

∴．

（3）∵或，

∴

．

令，则，，

∴，

当且仅当，即，取等号，

∴面积的最大值为．

9．（2020·山东省高三二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为

（1）求椭圆的方程；

（2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或

【解析】（1）由题意知.，

直线的方程为

∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为

解得或(舍去)

，

∴椭圆的方程为

（2）设

.

∴点为的重心，

∵点在圆上，

由得

，

代入方程，得

，

即

由得

解得.

或

10．（2020·河南省高三二模）已知椭圆的短轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线平行于直线，且与椭圆交于两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由题意可得，所以，

，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由于直线平行于直线，即，设直线在轴上的截距为，

所以的方程为．

联立，得，

因为直线与椭圆交于两个不同的点，

所以，解得．

设，，则，．

因为为钝角等价于，且，

所以

，即，且，

所以直线在轴上的截距的取值范围：．

因为直线在轴上的截距，

所以的取值范围是：．