模板十三：　求空间角 试卷

模板十三：　求空间角模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:典型例题（2020·北京市八一中学高三三模）在如图所示的三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，是的中位线，为线段的中点.（1）证明：.（2）若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.试题解析（1）如图，取的中点为，取的中点，连接.因为是边长为2的等边三角形，，所以.因为，故，故.因为，所以且，所以.因为，故，所以.因为，平面,平面，故平面，因为平面，.因为，故，所以.（2）由（1）可得， 所以为二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以即.建立如图所示的空间直角坐标系，则.故，，.设平面的法向量为，则即，故，取，则，所以.设平面的法向量为，则即，取，则，故，所以，因为二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.题后反思本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.针对训练*举一反三 1．（2020·安徽省高三二模）如图，在四面体中，E是线段的中点，，，.（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取线段的中点F，连接、.因为E是线段的中点，所以.又，所以.因为，F是的中点，所以.因为平面，平面，，所以平面，而平面，所以.（2）解法一：令，则，那么，，所以，所以.又，，故可以以点F为原点，射线、、分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则，，，，所以，，.设平面、平面的法向量分别为，，由，得，取，则.由，得，取，则.所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.解法二：令，由已知及（1）可得：，所以，均为棱长为a的正三角形.取中点G，则，，故为二面角的平面角，在中，，，由余弦定理可得：，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.2．（2020·梅河口市第五中学高三三模）如图在四棱锥中底面为直角梯形，，，侧面为正三角形且平面底面，，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图所示：取中点，连接，因为为中位线，所以，因为平面，所以平面.因为，又因为，所以.所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面.因为平面，平面，，所以平面平面.因为平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接.因为，所以.因为平面底面，所以底面.以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，，，，，，.所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，可取，解得，.则，.3．（2020·新疆维吾尔自治区高三三模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，梯形底面ABCD，且．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线AF与平面CDE所成角的大小．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）证明：∵梯形底面ABCD，且梯形底面，又，平面，，在梯形ADEF中，过F作，垂足为G，设，可得，则，，，则，即，又，且平面，平面ABF，而平面CDF，∴平面平面CDF；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面CDE的一个法向量为，由，取，得．设直线AF与平面CDE所成角的大小为，则，，即直线AF与平面CDE所成角的大小为．4．（2020·陕西省榆林中学高三三模）如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面，点分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】（1）证明：∵，为的中点，∴又平面，平面，∴∵∴平面∵平面∴平面平面（2）解：如图，由（1）知，，，点，分别为的中点，∴，∴，，又，∴两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系.则，，，，设，所以，，设平面的法向量，则，，令，则，，∴由已知 或（舍去）故故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，此时为线段的中点.5．（2020·四川省新津中学高三二模）如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．（1）求PD与BC所成角的大小；（2）求证：BC⊥平面PAC；（3）求二面角A-PC-D的大小．【答案】（1）60o（2）见解析．（3）60o【解析】（1）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD="CD" 所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH所以∠PDH为PD与BC所成角因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o， 所以⊥DA⊥AB又因为AB=2DC=2，所以AD=1， 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60o （2）连接CH，则四边形ADCH为矩形， ∴AH=DC  又AB=2，∴BH=1在Rt△BHC中，∠ABC=45o ， ∴CH=BH=1，CB=∴AD=CH=1，AC=∴AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC, 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC （3）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，∴=(0，0，1)，=(1，1，-1)设m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量， 则，即设，则，∴m=(1，-1，0)同理设n=(x，y，z) 为平面PCD的一个法向量，求得n=(1，1，1) ∴所以二面角A-PC-D为60o 6．（2020·陕西省安康中学高三三模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E．（1）求证：四边形ACC1A1为矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为平面，所以， 又因为，，，所以，因此，所以， 因此平面，所以，从而，又四边形为平行四边形，则四边形为矩形；（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以，平面的法向量，设平面的法向量， 由，由，令，即， 所以，，所以，所求二面角的余弦值是.7．（2020·上海高三二模）如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，为侧棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）证明见解析  （2）【解析】（1）∵底面是等腰直角三角形，且，∴，∵平面，∴，∵，∴平面．（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，由（1）得是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则，由图形知二面角的大小是锐角，∴二面角的大小为．8．（2020·湖南省高三三模）在如图的空间几何体中，四边形为直角梯形，，，，且平面平面，为棱中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：取中点为，连接和，如图所示因为，且，又因为，且，故，且，即四边形为平行四边形，故，，为中点，；又，.（2）平面平面，平面平面，平面，又平面，.由（1）知，平面，平面，而平面，，，.取中点连接和，四边形为直角梯形，则，平面，平面，又平面，平面，故，，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立直角坐标系，如图所示，则，，，，故，，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，.设二面角的为，则，.二面角的正弦值为.9．（2020·山东省高三二模）在四边形中，，；如图，将沿边折起，连结，使，求证：（1）平面平面；（2）若为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】证明：（1）在中，为正三角形，且在中，为等腰直角三角形，且取的中点，连接，，，平面平面平面..平面平面（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设.则设平面的一个法向量为.则，令，解得与平面所成角的正弦值为，整理得解得或(含去)又为平面的一个法向量，二面角的大小为.10．（2020·北京八中高三二模）已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO平面；（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）（Ⅲ）不存在，见解析【解析】（Ⅰ）证明:因为△是正三角形，是的中点，所以 .又因为平面，平面，所以.，平面，所以面.（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，设平面的法向量为所以，即令，则 ， 又平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，所以.所以平面与平面所成锐二面角为. （Ⅲ）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，即直线与平面法向量所成的角为，设，，，所以所以，整理得，，方程无解，所以，不存在这样的点.