人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教学设计，共5页。







授课年级
高 一
主备人
梁 欣
审核人
课题名称
幂函数
课型
新 课
授课日期
学情分析
幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.
学习目标
课程目标


1、理解幂函数的概念，会画幂函数，，，，的图象；


2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；


3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．


数学学科素养


1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；


2.逻辑推理：常见幂函数的性质；


3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；


4.数据分析：比较幂函数大小；


5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
教学重点
重点：常见幂函数的概念、图象和性质；
教学难点
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．
教具准备*


（辅助工具）
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练


教学工具：多媒体
流程及时间安排：


教学过程：


情景导入


学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？


问题1：如果张红购买了每千克元的蔬菜千克，那么她需要付的钱数元，这里是的函数.


问题2：如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数.


问题3：如果正方体的边长为，那么正方体的体积，这里是的函数.


问题4：如果正方形场地的面积为，那么正方形的边长，这里是的函数.


问题5：如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数.


要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.


预习课本，引入新课


阅读课本89-90页，思考并完成以下问题


1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？


3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？


要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。


新知探究


1．幂函数


一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数.


幂函数的性质


幂函数






定义域
R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)

值 域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非


偶函数
奇函数

单调性
在R上是增函数
在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数
在R上是增函数
在[0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数

公共点
(1,1)




四、典例分析、举一反三


题型一 幂函数的概念


例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.


【答案】m=3


【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.


当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;


当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.


解题技巧：（判断一个函数是否为幂函数）


判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形 式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式.


跟踪训练一


1.如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点,求实数m的取值.


【答案】m=1或m=2.


【解析】 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;


当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;


当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.


综上所述,m=1或m=2.


题型二 幂函数的图象与性质


例2 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,


则a,b,c的大小关系为 ( )


A.c

【答案】A


【解析】由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0

解题技巧：(幂函数图像与性质)


1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.


2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:


(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.


(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).


(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= y=x,y=x3)来判断.


(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是减函数.


跟踪训练二


1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )





A.nm>0D.m>n>0


【答案】 A


【解析】画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n




题型三 利用幂函数的单调性比较大小


例3 比较下列各组中两个数的大小:


(1)2512与1312; (2)-23-1与-35-1; (3)1234与3412.


【答案】见解析


【解析】(1)∵幂函数y=x12在[0,+∞)上是增函数,又25>13,∴2512>1312.


(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,又-23<-35,∴-23-1>-35-1.


(3)∵函数y1=12x在定义域内为减函数,且34>12,∴1212>1234.


又函数y2=x12在[0,+∞)上是增函数,且34>12,∴3412>1212.∴3412>1234.


解题技巧：（比较幂函数大小）


1.比较幂大小的三种常用方法






































2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题


比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.


跟踪训练三


1. 已知a=243,b=425,c=2513,则( )


A.b

【答案】A


【解析】 ∵a=243=1613,b=425=1615,c=2513, ∴a>b,a

五、课堂小结


让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
板书设计*：






教后反思*：


本节主要学习了一类新的函数：幂函数。主要就幂函数的形式定义、图像性质、比较大小三方面学习幂函数.尤其比较大小与前面函数单调性密切相关，因此本节课需要学生熟记定义及图像特征.



定级自评*： 优 中 差
审核人评语*：


等级评定*： 优 中 差