数学人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示教案设计

这是一份数学人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示教案设计，共6页。教案主要包含了解题技巧，常见求函数的定义域等内容，欢迎下载使用。




授课年级
高 一
主备人
梁 欣
审核人
课题名称
函数的概念
课型
新 课
授课日期
学情分析*
函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，课本主要从四个实例出发，引出函数的概念．从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.


初中我们已经了解了“变量说”下函数的概念．
学习目标
课程目标


1．感受函数的的“变量说”与“对应关系说”


2．理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则


3．掌握判定函数和函数相等的方法


4．学会求函数的定义域与函数值


数学学科素养


1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；


2.逻辑推理：相等函数的判断；


3.数学运算：求函数定义域和求函数值；


4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；


5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。
教学重点
建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养
教学难点
从不同问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系．
教具准备*


（辅助工具）
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练


教学工具：多媒体
流程及时间安排：


教学过程：


情景导入


初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？


【要求】让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.


答：初中函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，我们就把称为自变量，把称为因变量，是的函数．


初中学生学习的是具体函数，并且关注的是变量之间的依赖关系，虽然涉及变量之间的对应，但这里的“对应”仅是自然语言，而不是数学中的对应关系，也不关注变量的变化范围．


预习课本，引入新课


阅读课本页，思考并完成以下问题


1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？


2. 如何用区间表示数集？


3. 相等函数是指什么样的函数？


要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。


新知探究


1．函数的概念


(1)函数的定义：


一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作


y=fx，x∈A．


其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与相对应的值叫做函数值，


函数值的集合fx|x∈A叫做函数的值域．显然，值域是集合的非空子集．


【注】


（1）A，B都是非空数集，因此函数的定义域（或值域）不能为空集．


（2）定义域、值域、对应关系是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系确定时，值域也就确定了．


（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．即对于非空数集中任意一个（任意性）元素，都有（存在性）唯一（唯一性）的元素与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．





(2)函数的定义域与值域：


函数y=fx，x∈A．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；


与相对应的值叫做函数值，函数值的集合fx|x∈A叫做函数的值域．显然，值域是集合的非空子集．





2．区间概念


设，是两个实数，而且．我们规定：


（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为a，b；


（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为a，b；


（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a，b，a，b．


这里实数a与b都叫做相应区间的端点．


在图中，用实心表示包括在区间内的端点，用空心表示不包括在区间内的端点．





实数集R可以用区间表示为-∞，+∞，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．


如下表，我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x







四、典例分析、举一反三


题型一 函数的定义


例1 下列选项中(横轴表示轴,纵轴表示轴),表示是的函数的是( )





【答案】D


【解题技巧】


1.（图形判断）是的函数,则函数图象与垂直于轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.


2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系.


【练习1】判断与是否是函数？


【练习2】





题型二 同一函数


例2 下列函数中哪个与函数是同一函数？


（1）；（2）；（3）；（4）；


【解题技巧(判断函数相等的方法)】


1.先看定义域是否相同；


2.化简函数解析式，看对应关系是否相等.





【练习1】试判断以下各组函数是否表示同一函数:


①； ②；


③； ④．


⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系与一次函数.


其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号).


【答案】⑤


【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;


②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;


③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;


④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;


⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.


题型三 区间


例3 已知集合,集合,则用区间可表示为 .


【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]


【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.


∴A∩B={x|x<-3或-3

【解题技巧(用区间表示集合)】


1.用区间表示集合,要注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.


2.用区间表示两集合的交、并、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.


【练习1】


1.集合用区间表示为 .


2. 若集合,则实数的取值范围用区间表示为 .


【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)


【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a

∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1




题型四 求函数的定义域


例4 求下列函数的定义域:(1) ； (2) ．


【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]


【解析】(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足x+2≠0,|x|-x≠0,即x≠-2,|x|≠x,解得x<0,且x≠-2.


故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).


(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足4-x≥0,x-1≠0,即x≤4,x≠1.


故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].


【常见求函数的定义域】


(1) 是整式,定义域是实数集；


(2) 是分式,定义域是分母不等于零的实数组成的集合；


(3) 是二次根式,定义域是根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合；


【练习】求函数的定义域．


【答案】(1) x-32≤x<2,且x≠0


【解析】(1)要使函数有意义,需2x+3≥0,2-x>0,x≠0,


解得-32≤x<2,且x≠0,所以函数y=2x+3-12-x+1x的定义域为x-32≤x<2,且x≠0.



板书设计*：


3.1.1函数的概念


1.定义 例1 例2 例3 例4 例5


2.区间






教后反思*：


本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.
定级自评*： 优 中 差
审核人评语*：


等级评定*： 优 中 差