2019-2020学年重庆八中九年级（上）期中数学试卷

2019-2020学年重庆八中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
1．（4分）下列各数中，比﹣2大的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
2．（4分）如图所示的几何体的左视图（　　）

A． B．
C． D．
3．（4分）如图，△ABC中DE∥BC，若AD＝2，DE＝3，BC＝6，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．如果∠DCA＝52°，那么∠COB的度数为（　　）

A．76° B．56° C．54° D．52°
5．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）估计（2﹣2）×的值是（　　）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
7．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线相互垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相互平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线相互垂直且相等的四边形是正方形
8．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为10的是（　　）

A．x＝3，y＝﹣2 B．x＝﹣3，y＝2 C．x＝2，y＝3 D．x＝3，y＝﹣3
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，BC＝10，cos∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（　　）

A．10 B．24 C．48 D．50
10．（4分）如图，基灯塔AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC＝20m，然后在C处水平向前走了34m到达一建筑物底部E处，他在该建筑物顶端F处测得灯塔顶端A的仰角为43°．若该建筑物EF＝20m，则灯塔AB的高度约为（精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（　　）

A．46.7m B．46.8m C．53.5m D．67.8m
11．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞4，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数m的和是（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．7
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，且B′恰好落在AB上，M是BC的中点，N是A′B′的中点，连接MN，则C到MN的距离（　　）

A．1 B． C． D．3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算：2﹣1+（﹣）0＝　 　．
14．（4分）钓鱼岛是位于我国东海钓鱼岛列岛的主岛，被誉为“深海中的翡翠”，面积为4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为　 　．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，对角线交于点O，以BC中点M为圆心，BM长为半径画弧交AB于点E，连接OE，则阴影部分面积为　 　．

16．（4分）有四条长度分别为1，3，5，7的线段，从这四条线段中任取2条，则所取2条线段与一条长度为4的线段能构成一个三角形的概率为　 　．
17．（4分）甲、乙两快递员从物流中心站同时出发，各自将货物运回公司，他们将货物运回公司立即卸货后，又各自以原速原路返回中心站，在整个过程中，甲、乙两人均保持各自的速度行驶，且甲的速度比乙的速度快．甲、乙相距的路程y（千米）与甲离开中心站的时间x（分钟）之间的关系如图所示（卸货时间不计），则在甲返回到中心站时，乙距中心站的路程为　 　千米．

18．（4分）国庆期间，重庆市民都收到了一条“大气”的短信，告知为市外旅客提供出游空间，实力宠粉的重庆又上热搜．某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后，旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调查表，且只选了一个景点），统计后发现“南山一颗树”、“洪崖洞”、“两江游”、“磁器口”榜上有名，其中选“南山一棵树”的人数比选“磁器口”的人数少7人；选“洪崖洞”的人数是选“磁器口”人数的整数倍；选“南山一棵树”与“磁器口”的人数之和比选“洪崖润”与“两江游”的人数之和少25人；选“磁器口”与“洪崖洞”的人数之和是选“南山一棵树”与“两江游”人数之和的4倍．则该旅行团共有　 　人．
三、解答题：（本大题共8个小题，26题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2
（2）
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BD，∠BAD＝50°，∠C＝30°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）取AD的中点E，连接BE并延长交AC于点F，求证：AB＝BF．

21．（10分）重庆市第八中学校经历多年研发，结合“素质教育与应试教育”、“本地课堂与全球化校园”而形成的浸入式全英语教学“三创”ICEE课程，已经在初2022级启动．国外专业教师与国内双语教师共同执教，通过以任务为导向、以内容为基础的课程设计，拓宽学生的视野，提高学生的英语交流能力和应用能力，培育学生跨文化交流能力，全面提高学生学科知识水平和综合能力，培养学生的“创新意识、创造能力和创业思维”．经过半学期的学习，我们从“三创”学生中随机抽取男女学生各20名，对“创新意识、创造能力和创业思维”做测试．测试数据如下：
男生
男生
96
100
89
95
62
75
93
86
86
93
95
95
88
94
95
68
92
80
78
90
女生
女生
100
96
96
95
94
92
92
92
92
92
92
84
84
83
82
78
78
74
62
60
小明将“三创”男生得分按分数段（60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），绘制成频数分布直方图，“三创”女生得分绘制成扇形统计图，如图（均不完整）．

通过整理分析，统计数据如下表：

平均数
中位数
众数
方差
男生
87.5
91
a
96.15
女生
86.2
b
92
113.06
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并写出上表中a，b的值：a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为“三创”男生、女生中哪个“创新意识、创造能力和创业思维”较好？请说明理由．
（3）若得分在80分及以上为优秀，请估计初2022级200名“三创”学生中优秀的人数有多少？
22．（10分）在数的学习过程中，我们总是会对两个数之间的相互关系进行研究，如相反数关系，倒数关系等．现在我们来研究一种特殊的相互关系﹣﹣“颠倒关系”．
定义：两个数位相同的自然数，如果将一个自然数的数字颠倒排列等于另一个自然数，那么我们把这样的两个自然数互称为“颠倒数”．
例如：456的“颠倒数”是654，7301的“颠倒数”1037．
（1）已知一个两位数，其数位上的数字为连续的两个自然数，且十位数字大于个位数字，求证：这个两位数与其“颠倒数”之和能被11整除．
（2）已知一个两位数减去其“颠倒数”所得的差是一个完全平方数，求出满足条件的所有两位数的个数．
23．（10分）有这样一个问题：探究函数y＝（b，c为常数）图象和性质，元元根据学习函数的经验，对该函数的图象和性质进行了探究．
已知当x＝4，y＝3；当x＝1，y＝0；
（1）根据以上信息，其中b＝　 　，c＝　 　．
（2）如图，在下面平面直角坐标系中，画出该函数的另一部分图象；
（3）观察函数图象，若直线y＝m（m为常数）与该函数图象有3个交点时，m的取值范围为　 　．

24．（10分）2019年10月1日，在庄严的天安门广场举行了盛大的阅兵式，这是我们伟大的祖国迎来了70华诞的光辉日子，通过阅兵大会，我们看到了中国的强大，也点燃了中国人民的爱国热情．某经销商抓住商机销售国庆小国旗和纪念品，第一次果断购进小国旗和纪念品共500个，其中小国旗每个进价5元，售价10元；纪念品每个进价8元，售价10元．
（1）该经销商由于启动资金有限，第一次购进小国旗和纪念品的金额不得超过3400元，则小国旗至少购进多少个？
（2）国庆黄金周期间市场火爆，小国旗和纪念品一经上市，十分抢手，该经销商决定第二次购进两种商品，它们的进价不变，小国旗的进货量在在（1）的最少进货量基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；纪念品的售价和第一次相同，进货量为300个，但是随着国庆黄金周的结束，导致纪念品滞销，经销商在销售了90%纪念品后决定进行降价促销，剩余纪念品全部五折出售．结果第二次销售完后该经销商获利2700元，求m的值．
25．（10分）如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．
（1）若AE＝2，CD＝5，求△BCF的周长；
（2）求证：BC＝AG+EG．

26．（8分）如图所示，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）如图1，点P为抛物线上对称轴右侧第一象限内一动点，连结PC交DE于点F，连接OF、PE，点G是y轴上一动点，连结EG，当四边形OEPF的面积最大时，求PE+GE+CG的最小值．
（2）当（1）中，当四边形OEPF的面积最大时，如图2，将△AEP沿直线AP翻折，得到△AE′P，再将△AE′P沿直线AP平移，得到△A′E″P′，在平移的过程中，是否存在某个时刻，使得△A′BE″成为等腰三角形，若存在，求出点E″的坐标；若不存在，说明理由．


2019-2020学年重庆八中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
1．（4分）下列各数中，比﹣2大的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣4＜﹣3＜﹣2＜﹣1，
所以各数中，比﹣2大的数是﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（4分）如图所示的几何体的左视图（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（4分）如图，△ABC中DE∥BC，若AD＝2，DE＝3，BC＝6，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．如果∠DCA＝52°，那么∠COB的度数为（　　）

A．76° B．56° C．54° D．52°
【分析】根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求出∠OCA，根据等腰三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCA＝90°﹣52°＝38°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝38°，
∴∠BOC＝76°，
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
5．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
6．（4分）估计（2﹣2）×的值是（　　）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣2，
∵3＜2＜4，
∴1＜2﹣2＜2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．
7．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线相互垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相互平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线相互垂直且相等的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断．
【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法错误；
B、两条对角线相互垂直的平行四边形是菱形，本选项说法错误；
C、两条对角线相互平分的四边形是平行四边形，本选项说法正确；
D、两条对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项说法错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为10的是（　　）

A．x＝3，y＝﹣2 B．x＝﹣3，y＝2 C．x＝2，y＝3 D．x＝3，y＝﹣3
【分析】根据运算程序图，可知输出的结果计算x2+|2y|即可，根据非负数的意义，通过尝试当x＝2，y＝3时满足x2+|2y|＝10，进而得出答案．
【解答】解：由题意得：x2+|2y|＝10，
当x＝2，y＝3满足x2+|2y|＝10，
故选：C．
【点评】考查代入求代数式的值以及有理数的会和运算，理解y的值决定运算的代数式．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，BC＝10，cos∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（　　）

A．10 B．24 C．48 D．50
【分析】由菱形的性质可得四边相等，通过作垂线，构造直角三角形，解直角三角形求出点C的坐标，进而确定k的值，做出选择即可．
【解答】解：过点C作CD⊥OA，垂足为D，
∵菱形OABC，
∴OA＝AB＝BC＝CO＝10，
在Rt△COD中，
∵cos∠COA＝．OC＝10，
∴OD＝8，CD＝6，
∴点C（8，6）代入反比例函数的关系式得：k＝6×8＝48，
故选：C．

【点评】考查菱形的性质，直角三角形的边角关系，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C的坐标是解决问题的关键．
10．（4分）如图，基灯塔AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC＝20m，然后在C处水平向前走了34m到达一建筑物底部E处，他在该建筑物顶端F处测得灯塔顶端A的仰角为43°．若该建筑物EF＝20m，则灯塔AB的高度约为（精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（　　）

A．46.7m B．46.8m C．53.5m D．67.8m
【分析】延长AB交EC延长线于点D，在Rt△BDC中由i＝＝、BC＝20m求得BD、CD的长度，作FG⊥AB于点G，由EF＝DG＝20m、FG＝DE，得BG的长度，根据AG＝FGtan∠AFG、AB＝AG+BG可得答案．
【解答】解：如图，延长AB交EC延长线于点D，则∠ADC＝90°，
∵i＝1：0.75，即＝，
∴设BD＝4x、CD＝3x，
则BC＝＝5x＝20m，
解得：x＝4，
∴BD＝4x＝16m，CD＝3x＝12m，
作FG⊥AB于点G，
则EF＝DG＝20m，FG＝DE＝DC+CE＝12+34＝46（m），
∴BG＝DG﹣DB＝4m，
在Rt△AFG中，AG＝FGtan∠AFG＝46tan43°≈46×0.93＝42.78（m），
∴AB＝AG+BG＝42.78+4≈46.8（m），
故选：B．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡比问题，解题的关键是根据题意添加辅助线构建合适的直角三角形．
11．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞4，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数m的和是（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．7
【分析】解不等式组得到m的取值范围，解分式方程可求出整数m的值．
【解答】解：解不等式组为，
而不等式组的解集为x＞4，
∴m的范围为m≤4，
解关于x的分式方程，
得x＝且x≠2，
当整数m为0，2，3，5，﹣3时，分式方程的解为整数解，
∴符合条件的所有整数m的和是0+2+3﹣3＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了解一元一次不等式组．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，且B′恰好落在AB上，M是BC的中点，N是A′B′的中点，连接MN，则C到MN的距离（　　）

A．1 B． C． D．3
【分析】如图，作CH⊥MN于H，连接NC，作MJ⊥NC交NC的延长线于J．解直角三角形求出MN，利用面积法求出CH即可．
【解答】解：如图，作CH⊥MN于H，连接NC，作MJ⊥NC交NC的延长线于J．

∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，∠B＝60°．
∵CB＝CB′，
∴△CBB′是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∵BN＝NA′，
∴CN＝NB′＝A′B′＝4，
∵∠CB′N＝60°，
∴△CNB′是等边三角形，
∴∠NCB′＝60°，
∴∠BCN＝120°，
在Rt△CMJ中，∵∠J＝90°，MC＝2，∠MCJ＝60°，
∴CJ＝MC＝1，MJ＝CJ＝，
∴MN＝＝＝2，
∵•NC•MJ＝•MN•CH，
∴CH＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算：2﹣1+（﹣）0＝　　．
【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝+1＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14．（4分）钓鱼岛是位于我国东海钓鱼岛列岛的主岛，被誉为“深海中的翡翠”，面积为4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为　4.4×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据4400000用科学记数法表示为：4.4×106．
故答案为：4.4×106
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，对角线交于点O，以BC中点M为圆心，BM长为半径画弧交AB于点E，连接OE，则阴影部分面积为　π﹣8　．

【分析】连接ME，如图，利用菱形的性质得到BC＝AB＝8，∠ACB＝∠ABC＝60°，再证明△MBE和△MCO都是等边三角形，则∠BME＝∠CMO＝60°，所以∠EMO＝60°，然后根据扇形的面积公式、等边三角形的面积公式，利用阴影部分面积＝S扇形CME﹣S△OEM﹣S△CMO进行计算．
【解答】解：连接ME，如图，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴BC＝AB＝8，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵ME＝BM＝MO＝MC，
∴△MBE和△MCO都是等边三角形，
∴∠BME＝∠CMO＝60°，
∴∠EMO＝60°，
∴阴影部分面积＝S扇形CME﹣S△OEM﹣S△CMO＝﹣2××42＝π﹣8．
故答案为π﹣8．

【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．也考查了菱形的性质．
16．（4分）有四条长度分别为1，3，5，7的线段，从这四条线段中任取2条，则所取2条线段与一条长度为4的线段能构成一个三角形的概率为　　．
【分析】先列举出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式求解可得．
【解答】解：从四条长度分别为1，3，5，7的线段中选2条有如下6种情况：1、3；1、5；1、7；3、5；3、7；5、7；
其中所取2条线段与一条长度为4的线段能构成一个三角形的有3、5；5、7；
所以所取2条线段与一条长度为4的线段能构成一个三角形的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出所有等可能结果及三角形三边关系．
17．（4分）甲、乙两快递员从物流中心站同时出发，各自将货物运回公司，他们将货物运回公司立即卸货后，又各自以原速原路返回中心站，在整个过程中，甲、乙两人均保持各自的速度行驶，且甲的速度比乙的速度快．甲、乙相距的路程y（千米）与甲离开中心站的时间x（分钟）之间的关系如图所示（卸货时间不计），则在甲返回到中心站时，乙距中心站的路程为　40　千米．

【分析】观察函数图象可知：出发40分钟后甲比乙多走20千米，乙出发60分钟到达公司，分别求出甲、乙两快递员的速度即可求解．
【解答】解：根据题意可知出发40分钟后甲比乙多走20千米，所以甲每小时比乙多走30千米，
设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为（x+30）千米/时，根据题意得：
，
解得x＝60，
所以乙的速度为60千米/时，则甲的速度为90千米/时，
∴在甲返回到中心站时，乙距中心站的路程为：（千米）．
故答案为：40．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象弄清甲、乙的行驶过程是解题的关键．
18．（4分）国庆期间，重庆市民都收到了一条“大气”的短信，告知为市外旅客提供出游空间，实力宠粉的重庆又上热搜．某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后，旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调查表，且只选了一个景点），统计后发现“南山一颗树”、“洪崖洞”、“两江游”、“磁器口”榜上有名，其中选“南山一棵树”的人数比选“磁器口”的人数少7人；选“洪崖洞”的人数是选“磁器口”人数的整数倍；选“南山一棵树”与“磁器口”的人数之和比选“洪崖润”与“两江游”的人数之和少25人；选“磁器口”与“洪崖洞”的人数之和是选“南山一棵树”与“两江游”人数之和的4倍．则该旅行团共有　55　人．
【分析】设选磁器口的人数为x人，选洪崖洞的人数为kx人，选两江游的人数为y人，则选南山的人数为（x﹣7）人，根据“选“南山一棵树”与“磁器口”的人数之和比选“洪崖润”与“两江游”的人数之和少25人；选“磁器口”与“洪崖洞”的人数之和是选“南山一棵树”与“两江游”人数之和的4倍．”列出方程组，再求方程组的正整数解便可得答案．
【解答】解：设选磁器口的人数为x人，选洪崖洞的人数为kx人，选两江游的人数为y人，则选南山的人数为（x﹣7）人，根据题意得，
，
化简得，
①×4﹣②得，（5k﹣11）x＝44，
∴x＝，
∵x、k均为正整数，
∴k＝3，x＝11，
把k＝3，x＝11代入①得y＝7，
∴选磁器口的人数为11人，选洪崖洞的人数为33人，选两江游的人数为7，选南山的4人，
∴该旅行团总人数为：11+33+7+4＝55（人），
故答案为：55．
【点评】本题主要考查了方程组的应用，关键是正确理解题意，根据等量关系列出方程组，求整数解是突破口．
三、解答题：（本大题共8个小题，26题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2
（2）
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则可得原式＝x2﹣2xy﹣x2+2xy﹣y2＝﹣y2；
（2）将异分母分式化为同分母分式进行可得原式＝+＝＝．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy﹣x2+2xy﹣y2＝﹣y2；
（2）原式＝+＝＝．
【点评】本题考查分式的加减法和完全平方公式和单项式乘以多项式；熟练掌握分式加减法的运算法则，完全平方公式，单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BD，∠BAD＝50°，∠C＝30°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）取AD的中点E，连接BE并延长交AC于点F，求证：AB＝BF．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠BDA＝∠BAD＝50°，由三角形的外角性质得出∠CAD＝∠BDA﹣∠C＝20°，即可得出∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°；
（2）由等腰三角形的性质得出BE⊥AD，求出∠AFE＝90°﹣∠CAD＝70°，得出∠AFE＝∠BAC，即可得出AB＝BF．
【解答】（1）解：∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝50°，
∵∠BDA＝∠CAD+∠C，
∴∠CAD＝∠BDA﹣∠C＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°；
（2）证明：∵AB＝BD，E是AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣∠CAD＝70°，
∴∠AFE＝∠BAC，
∴AB＝BF．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（10分）重庆市第八中学校经历多年研发，结合“素质教育与应试教育”、“本地课堂与全球化校园”而形成的浸入式全英语教学“三创”ICEE课程，已经在初2022级启动．国外专业教师与国内双语教师共同执教，通过以任务为导向、以内容为基础的课程设计，拓宽学生的视野，提高学生的英语交流能力和应用能力，培育学生跨文化交流能力，全面提高学生学科知识水平和综合能力，培养学生的“创新意识、创造能力和创业思维”．经过半学期的学习，我们从“三创”学生中随机抽取男女学生各20名，对“创新意识、创造能力和创业思维”做测试．测试数据如下：
男生
男生
96
100
89
95
62
75
93
86
86
93
95
95
88
94
95
68
92
80
78
90
女生
女生
100
96
96
95
94
92
92
92
92
92
92
84
84
83
82
78
78
74
62
60
小明将“三创”男生得分按分数段（60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），绘制成频数分布直方图，“三创”女生得分绘制成扇形统计图，如图（均不完整）．

通过整理分析，统计数据如下表：

平均数
中位数
众数
方差
男生
87.5
91
a
96.15
女生
86.2
b
92
113.06
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并写出上表中a，b的值：a＝　95　，b＝　92　；
（2）根据以上数据，你认为“三创”男生、女生中哪个“创新意识、创造能力和创业思维”较好？请说明理由．
（3）若得分在80分及以上为优秀，请估计初2022级200名“三创”学生中优秀的人数有多少？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）从平均数、中位数和众数、方差的角度分析均可，只要言之有理即可；
（3）200ד三创”学生中优秀的人数占总人数的百分数即可得到结论．
【解答】解：（1）男生得分在80≤x＜90的人数为：20﹣2﹣2﹣11＝5（人），
男生得分出现次数最多的是95，故a＝95；
女生得分的中位数b＝＝92；
补全频数分布直方图如图所示；
故答案为：95，92；
（2）男生的“创新意识、创造能力和创业思维”较好，
理由：因为三创”男生得分的平均分和众数都高于女生；方差小；
（3）200×＝155名，
答：200名“三创”学生中优秀的人数有155名．

【点评】本题考查频数分布直方图、方差、中位数、众数、加权平均数、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）在数的学习过程中，我们总是会对两个数之间的相互关系进行研究，如相反数关系，倒数关系等．现在我们来研究一种特殊的相互关系﹣﹣“颠倒关系”．
定义：两个数位相同的自然数，如果将一个自然数的数字颠倒排列等于另一个自然数，那么我们把这样的两个自然数互称为“颠倒数”．
例如：456的“颠倒数”是654，7301的“颠倒数”1037．
（1）已知一个两位数，其数位上的数字为连续的两个自然数，且十位数字大于个位数字，求证：这个两位数与其“颠倒数”之和能被11整除．
（2）已知一个两位数减去其“颠倒数”所得的差是一个完全平方数，求出满足条件的所有两位数的个数．
【分析】（1）先设出两位数，进而表示出它的“颠倒数”，再求出其和，即可得出结论；
（2）设出两位数，进而表示出它的“颠倒数”，利用差是完全平方数，得出b﹣a＝1或4，即可得出结论．
【解答】解：（1）设两位数的个位数字为a（a为正整数），则十位数字为（a+1），
即：这个两位数为10a+a+1＝11a+1，
则它的“颠倒数”的个位数字为a，十位数字为（a+1），
即：两位数（11a+1）的“颠倒数”为10（a+1）+a＝11a+10，
则两位数与其“颠倒数”之和为11a+1+11a+10＝22a+11＝11（2a+1），
∵a为正整数，则2a+1为正整数，
∴11（2a+1）能被11整除，
即：这个两位数与其“颠倒数”之和能被11整除．

（2）设两位数的个位数字为m，十位数字为b，（1≤a≤9，1≤b≤9），
则这个两位数为10b+a，
而“颠倒数”的个位数字为b，十位数字为a，
则两位数为10b+a的“颠倒数”为10a+b，
则两位数减去其“颠倒数”所得的差是10b+a﹣（10a+b）＝9b﹣9a＝9（b﹣a），
∵一个两位数减去其“颠倒数”所得的差是一个完全平方数，
∴9（b﹣a）是完全平方数，
∵1≤a≤9，1≤b≤9，
∴0＜b﹣a≤8，
∴b﹣a＝1或4，
当b﹣a＝1时，满足条件的a，b的值有8组，
当b﹣a＝4时，满足条件的a，b的值有5组，
即：满足条件的两位数有8+5＝13个．
【点评】此题主要考查了整除问题，两位数的表示，完全平方数，表示出两位数的“颠倒数”是解本题的关键．
23．（10分）有这样一个问题：探究函数y＝（b，c为常数）图象和性质，元元根据学习函数的经验，对该函数的图象和性质进行了探究．
已知当x＝4，y＝3；当x＝1，y＝0；
（1）根据以上信息，其中b＝　6　，c＝　﹣5　．
（2）如图，在下面平面直角坐标系中，画出该函数的另一部分图象；
（3）观察函数图象，若直线y＝m（m为常数）与该函数图象有3个交点时，m的取值范围为　0＜m＜4　．

【分析】（1）利用待定系数法以及二次函数图象上点的坐标特征可得答案；
（2）根据描点法画函数图象，可得答案；
（3）根据图象，可得答案．
【解答】解：（1）∵当x＝4，y＝3；当x＝1，y＝0，
∴，
解得，，
故答案为：6；﹣5；

（2）用描点法画出函数图象如下：

（3）由函数图象可知，直线y＝4与该函数图象有2个交点，直线y＝0与该函数图象有2个交点，
∵直线y＝m（m为常数）与该函数图象有3个交点，
∴0＜m＜4，
故答案为0＜m＜4．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．
24．（10分）2019年10月1日，在庄严的天安门广场举行了盛大的阅兵式，这是我们伟大的祖国迎来了70华诞的光辉日子，通过阅兵大会，我们看到了中国的强大，也点燃了中国人民的爱国热情．某经销商抓住商机销售国庆小国旗和纪念品，第一次果断购进小国旗和纪念品共500个，其中小国旗每个进价5元，售价10元；纪念品每个进价8元，售价10元．
（1）该经销商由于启动资金有限，第一次购进小国旗和纪念品的金额不得超过3400元，则小国旗至少购进多少个？
（2）国庆黄金周期间市场火爆，小国旗和纪念品一经上市，十分抢手，该经销商决定第二次购进两种商品，它们的进价不变，小国旗的进货量在在（1）的最少进货量基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；纪念品的售价和第一次相同，进货量为300个，但是随着国庆黄金周的结束，导致纪念品滞销，经销商在销售了90%纪念品后决定进行降价促销，剩余纪念品全部五折出售．结果第二次销售完后该经销商获利2700元，求m的值．
【分析】（1）设购进小国旗x个，则购进纪念品（500﹣x）个，根据总价＝单价×数量结合总金额不超过3400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进小国旗x个，则购进纪念品（500﹣x）个，
依题意，得：5x+8（500﹣x）≤3400，
解得：x≥200．
答：小国旗至少购进200个．
（2）依题意，得：10（1+m%）×200（1+2m%）+10×300×90%+10×50%×300×（1﹣90%）﹣5×200（1+2m%）﹣8×300＝2700，
整理，得：m2+100m﹣3125＝0，
解得：m1＝25，m2＝﹣125（不合题意，舍去）．
答：m的值为25．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（10分）如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．
（1）若AE＝2，CD＝5，求△BCF的周长；
（2）求证：BC＝AG+EG．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝5，CD＝EF，AB∥CD，可得AE＝BF＝2，由勾股定理可求CF，BC的长，即可求解；
（2）如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．利用全等三角形的性质证明GE＝DM即可解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD，四边形CDEF是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，CD＝EF，AB∥CD，
∴AB＝EF＝5，
∴AE＝BF＝2，
∴AF＝AC＝3，
∵AB∥CD，AC⊥CD
∴AB⊥AC，
∴CF＝＝3，
BC＝＝＝，
∴△BCF的周长＝BF+BC+CF＝2+3+；

（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．

∵四边形ABCD，四边形EFCD都是平行四边形，
∴AB＝CD＝EF，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥AD，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠GAM＝90°，
∴∠FAG＝∠CAM，
∵AF＝AC，AG＝AM，
∴△FAG≌△CAM（SAS），
∴∠ACM＝∠AFG＝45°，FG＝CM．
∵∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴∠MCD＝45°＝∠EFG，
∵EF＝CD，FG＝CM，
∴△EFG≌△DCM（SAS），
∴EG＝DM，
∴AG+EG＝AM+DM＝AD＝BC．
即BC＝AG+EG．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题．
26．（8分）如图所示，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）如图1，点P为抛物线上对称轴右侧第一象限内一动点，连结PC交DE于点F，连接OF、PE，点G是y轴上一动点，连结EG，当四边形OEPF的面积最大时，求PE+GE+CG的最小值．
（2）当（1）中，当四边形OEPF的面积最大时，如图2，将△AEP沿直线AP翻折，得到△AE′P，再将△AE′P沿直线AP平移，得到△A′E″P′，在平移的过程中，是否存在某个时刻，使得△A′BE″成为等腰三角形，若存在，求出点E″的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）连接CE，过点P作PH∥x轴，交CE于点H；过点G作GM⊥CE，连接AG，过点A作AN⊥CE；由已知可求A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），E（1，0），D（1，4），求出CE的直线解析式为y＝3x+3，设点P（t，﹣t2+2t+3），求出H（，﹣t2+2t+3），在图形中确定S△CEP＝S四OEPF，利用三角形面积求出S△CEP═3×（t﹣）＝﹣t2+t，当t＝时，S四变形OEPF＝，此时P（，），即可求出PE＝；再求GE+CG＝GA+GM，可得到当GA+GM＝AN时，GE+CG最小；
（2）求出直线AP的解析式为y＝x+，E'（，），由平移的性质可知：AE'＝A'E''，①当A'E''＝A'B时，设A'（m，m+），则A'E＝A'B＝2，（m﹣3）2+＝4，求出A'（3，2）或A'（，），点A（﹣1，0）到A'（3，2），水平方向移动4个单位，竖直方向移动2个单位，点E'（，）对应E''（，）；点A（﹣1，0）到A'（，），水平方向移动个单位，竖直方向移动个单位，点E'（，）对应E''（，）；
②当A'E''＝BE''时，求出E'E''的解析式为y＝x+，设E''（x，x+），（x﹣3）2+＝4，此种情况不存在；
③当A'B＝BE''时，设A'（m，m+），则E''（m+，m+），（x﹣3）2+（m+）2＝+（m+）2，求得E''（，）．
【解答】解：（1）连接CE，过点P作PH∥x轴，交CE于点H；过点G作GM⊥CE，连接AG，过点A作AN⊥CE；
由已知可求A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），E（1，0），D（1，4），
∴CE的直线解析式为y＝3x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），
∴H（，﹣t2+2t+3），
∵EF∥CO，
∴S△CEF＝S△OEF，
∴S△CEP＝S四变形OEPF，
∴S△CEP＝S△CHP+S△EHP＝3×（t﹣）＝﹣t2+t，
∴S四OEPF＝﹣t2+t，
∴当t＝时，S四边形OEPF＝，
此时P（，），
∴PE＝，
∵CE＝，
∴sin∠OCE＝，
∵CG•sin∠OCE＝CG＝GM，
∵GE＝GA，
∴GE+CG＝GA+GM，
∴当GA+GM＝AN时，GE+CG最小，
∵∠OCE＝∠NAE，
∴＝，
∴AN＝，
∴PE+GE+CG的最小值+；
（2）∵A（﹣1，0），P（，），
∴直线AP的解析式为y＝x+，
∵E与E'关于AP对称，
∴E'（，），
由平移的性质可知：AE'＝A'E''，
①当A'E''＝A'B时，
设A'（m，m+），
可求A'E＝2，
∴A'B＝2，
∴（m﹣3）2+＝4，
∴m＝3或m＝，
∴A'（3，2）或A'（，），
∵tan∠A'AB＝，
点A（﹣1，0）到A'（3，2），水平方向移动4个单位，竖直方向移动2个单位，
∴点E'（，）对应E''（，）；
点A（﹣1，0）到A'（，），水平方向移动个单位，竖直方向移动个单位，
∴点E'（，）对应E''（，）；
②当A'E''＝BE''时，
∴BE''＝2，
∵AP∥E'E''，
∴E'E''的解析式为y＝x+，
设E''（x，x+），
∴（x﹣3）2+＝4，
∴x2﹣18x+29＝0，
∴x无解，
∴此种情况不存在；
③当A'B＝BE''时，
设A'（m，m+），则E''（m+，m+），
∴（x﹣3）2+（m+）2＝+（m+）2，
∴m＝，
∴E''（，）；
综上所述：E''（，）或E''（，）或E''（，）．

【点评】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，在图形平移中找到变量与不变量是解题的关键．
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