2019-2020学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（上）期中数学试卷

2019-2020学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．
1．（4分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列计算错误的是（　　）
A．（a3b）•（ab2）＝a4b3 B．（﹣mn3）2＝m2n6
C．a8÷a4＝a2 D．xy2﹣xy2＝xy2
3．（4分）下列分解因式正确的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x2﹣4x+4＝（x+2）（x+2） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
4．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和点E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A作DE的平行线MN，若∠C＝40°，则∠BAN的度数为（　　）

A．40° B．45° C．55° D．70°
5．（4分）已知点A（3，2）是点B（a，b）关于y轴的对称点，则a+b为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
6．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．三角形的三条边上的高交于三角形内部一点，到三个顶点的距离相等
B．三角形的三条中线交于三角形内部一点，到三个顶点距离相等
C．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等
D．三角形的三边中垂线交于三角形内部一点，到三边的距离相等
7．（4分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AB＝DE
8．（4分）已知y2﹣my+25是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．±10 B．±5 C．﹣10 D．﹣5
9．（4分）如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3.5 D．4
10．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，过点B作射线BF，在射线DF上取一点E，使得∠CBF＝∠CAE，过点C作射线BF的垂线，垂足为点D，连接AE，若DE＝2，AE＝4，则BD的长度为（　　）

A．7 B．6 C．4 D．2
11．（4分）如图，图①中有一个等边三角形，将图①翻折第1次得到图②，图②中共有5个等边三角形，又将图②翻折第2次得到图③，图③中共有9个等边三角形，又将图③翻折第3次得到图④，图④中共有13个等边三角形，依此规律折下去…，当翻折到第15次时得到的图形中等边三角形的个数共有（　　）个．

A．57 B．61 C．65 D．69
12．（4分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连结AD，把△ABD沿AD翻折，得到△AB′D，连接CB′，若BD＝CB′＝2，AD＝3，则△AB′C的面积为（　　）

A． B．2 C． D．2
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是　 　边形．
14．（4分）分解因式：3ax2﹣3a＝　 　．
15．（4分）若a＝1﹣b，ab＝﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
16．（4分）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数：第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等，利用上的规律计算：95+5×94+10×93+10×92+5×9+1＝　 　．

17．（4分）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，点P为边AB上的一定点，连接CP，CP＝4，M，N分别为边AC和BC上的两动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值为　 　；当△PMN周长的最小值时，∠MPN的度数为　 　．

18．（4分）如图，等边△ABC外一点P，连接AP、BP、CP，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D，连接BD，有以下结论：①DP＝DB；②DA+DB＝DC；③DA⊥BP；④若连接BH，当△BDH为等边三角形时，则CP＝3DP，其中正确的有　 　．（只需要填写序号）

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）如图，已知AE＝BD，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分别为点C，F，且BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）求证：AC∥DF．

20．（10分）计算下列各式：
（1）﹣ab2•（﹣2a2b）3
（2）﹣（x+2y）2+（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）
21．（10分）先化简，后求值：（m+2n）（2m﹣n）﹣（m﹣3n）2+（2m+n）（2m﹣n）﹣11n2，其中：m+n＝2，m﹣n＝1．
22．（10分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣3，3），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出此时B1的坐标是：　 　；
（2）画出△ABC沿x轴正方向平移3个单位，再沿y轴负方向平移2个单位的图形△A2B2C2并求四边形ACC2A2的面积．

23．（10分）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CE是斜边AB上的高，且AC＝AD．
（1）若∠DCE＝15°，求∠B的度数；
（2）若∠B﹣∠A＝20°，求∠DCB的度数．

24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，且为BC的中点，点E为边BC延长线上的一点，连接AE，且∠AEB＝45°，过D作DF⊥AC，垂足为点G，交AE于点F，在边BE上取一点H，连接FH．
（1）若∠CDF＝20°，求∠BAE的度数；
（2）若∠DFE＝∠AFH，求证：BC＝2EH．

25．（10分）阅读下列材料：
由整式的乘法运算知：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可知可把acx2+（ad+bc）x+bd中的x看作是未知数，a，b，c，d看作常数的二次三项式；通过观察acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d），可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式2x2+7x+3的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2．

则2x2+7x+3＝（x+3）（2x+1）．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法因式分解：4x2+9x﹣13；
（2）用十字相乘法因式分解：2（2a2+1）2﹣3（2a2+1）﹣9；
（3）已知x2﹣2x﹣n＝（x+a）（x+b）（1≤n≤200），若a、b均为整数，则满足条件的整数n有几个？并说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）已知等腰三角形ABC中，点D为BC中点，点E是BA延长线上一动点，点F是AC延长线上一动点连接DE、DF，且∠EDF+∠BAC＝180°．

（1）如图1，若∠BAC＝90°，求证：AE+AC＝AF；
（2）如图2，若∠BAC＝120°，AE、AC、AF三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，则直接证明；若不满足，请写出结论并证明．

2019-2020学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．
1．（4分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列计算错误的是（　　）
A．（a3b）•（ab2）＝a4b3 B．（﹣mn3）2＝m2n6
C．a8÷a4＝a2 D．xy2﹣xy2＝xy2
【分析】选项A为单项式乘以单项式；选项B为积的乘方；选项C为同底数幂的除法；选项D为合并同类项，根据相应的公式进行计算即可．
【解答】解：A、（a3b）•（ab2）＝a3•a•b•b2＝a4b3，原计算正确，故这个选项不符合题意；
B、（﹣mn3）2＝m2n6，原计算正确，故这个选项不符合题意；
C、a8÷a2＝a8﹣2＝a6，原计算错误，故这个选项符合题意；
D、合并同类项，xy2﹣xy2＝xy2﹣xy2＝xy2，原计算正确，故这个选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练运用各运算公式是解题的关键．
3．（4分）下列分解因式正确的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x2﹣4x+4＝（x+2）（x+2） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
【分析】先运用提公因式法，再根据公式法进行因式分解，即可得出结论．
【解答】解：A．﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），故本选项错误；
B．x2+xy+x＝x（x+y+1），故本选项错误；
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）（x﹣2），故本选项错误；
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解，利用提公因式法以及公式法是解决问题的关键．
4．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和点E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A作DE的平行线MN，若∠C＝40°，则∠BAN的度数为（　　）

A．40° B．45° C．55° D．70°
【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝CB，∠C＝40°，
∴∠BAC＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣70°）＝55°，
∵GH∥DE，
∴∠BAN＝∠ADE＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（4分）已知点A（3，2）是点B（a，b）关于y轴的对称点，则a+b为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值即可．
【解答】解：∵点A（3，2）是点B（a，b）关于y轴的对称点，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴a+b＝﹣3+2＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横、纵坐标关系是解题关键，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
6．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．三角形的三条边上的高交于三角形内部一点，到三个顶点的距离相等
B．三角形的三条中线交于三角形内部一点，到三个顶点距离相等
C．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等
D．三角形的三边中垂线交于三角形内部一点，到三边的距离相等
【分析】根据三角形的角平分线的性质、线段垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：A、三角形的三条边上的高交于三角形内部一点，到三个顶点的距离不一定相等，本选项说法错误；
B、三角形的三条中线交于三角形内部一点，到三个顶点距离不一定相等，本选项说法错误；
C、三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等，本选项说法正确；
D、三角形的三边中垂线交于三角形内部一点，到三个顶点的距离相等，本选项说法错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（4分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AB＝DE
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、SSA无法判断三角形全等．
B、根据AAS即可证明三角形全等．
C、根据ASA即可证明三角形全等．
D、根据SAS即可证明三角形全等．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（4分）已知y2﹣my+25是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．±10 B．±5 C．﹣10 D．﹣5
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵y2﹣my+25＝y2﹣my+52，
∴﹣my＝±2•y•5，
解得：m＝±10．
故选：A．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9．（4分）如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3.5 D．4
【分析】设∠C＝x．利用三角形内角和定理构建方程求出x，解直角三角形求出EC即可解决问题．
【解答】解：设∠C＝x．
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝x，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2x，
∵CA＝CB，
∴∠B＝∠CAB＝45°+x，
在△ABE中，∵∠BAE+∠B+∠AEB＝180°，
∴45°+45°+x+2x＝180°，
∴x＝30°，
∵∠EDC＝90°，DE＝2，
∴AE＝EC＝2DE＝4，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，过点B作射线BF，在射线DF上取一点E，使得∠CBF＝∠CAE，过点C作射线BF的垂线，垂足为点D，连接AE，若DE＝2，AE＝4，则BD的长度为（　　）

A．7 B．6 C．4 D．2
【分析】如图，连接CE，过点C作CM⊥AE交AE于M，利用全等三角形的性质证明BD＝AM，DE＝EM即可解决问题．
【解答】解：如图，连接CE，过点C作CM⊥AE交AE于M．

∵CD⊥BF，CM⊥AM，
∴∠CDB＝∠M＝90°，
∵∠CBD＝∠CAM，CB＝AC，
∴△CDB≌△CMA（AAS），
∴CM＝CD，BD＝AM，
∵∠M＝∠CDE＝90°，CE＝CE，CD＝CM，
∴Rt△CED≌Rt△CEM（HL），
∴DE＝EM＝2，
∴BD＝AM＝AE+EM＝AE+DE＝2+4＝6，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．（4分）如图，图①中有一个等边三角形，将图①翻折第1次得到图②，图②中共有5个等边三角形，又将图②翻折第2次得到图③，图③中共有9个等边三角形，又将图③翻折第3次得到图④，图④中共有13个等边三角形，依此规律折下去…，当翻折到第15次时得到的图形中等边三角形的个数共有（　　）个．

A．57 B．61 C．65 D．69
【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解．
【解答】解：将图①翻折第1次得到图②，图②中共有4×1+1＝5个等边三角形；
将图②翻折第2次得到图③，图③中共有4×2+1＝9个等边三角形；
将图③翻折第3次得到图④，图④中共有4×3+1＝13个等边三角形；
发现规律：
翻折到第15次时得到的图形中等边三角形的个数共有（4×15+1＝61）个．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
12．（4分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连结AD，把△ABD沿AD翻折，得到△AB′D，连接CB′，若BD＝CB′＝2，AD＝3，则△AB′C的面积为（　　）

A． B．2 C． D．2
【分析】证明AD∥CB′，推出S△ACB′＝S△CDB′即可解决问题．
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
由翻折的性质可知：∠ADB＝∠ADB′，DB＝DB′，
∴BD＝CB′＝2，
∴CD＝DB′＝CB′＝2，
∴△CDB′是等边三角形，
∴∠CDB′＝∠DCB′＝60°，∠BDB′＝120°，
∴∠ADB＝∠ADB′＝120°，
∴∠ADC＝∠CDB′＝60°，
∴∠ADC＝∠DCB′，
∴AD∥CB′，
∴S△ACB′＝S△CDB′＝×22＝，
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是　十二　边形．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）＝360°×5，
解得n＝12．
故答案为：十二．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
14．（4分）分解因式：3ax2﹣3a＝　3a（x+1）（x﹣1）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3a（x2﹣1）＝3a（x+1）（x﹣1）．
故答案为：3a（x+1）（x﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（4分）若a＝1﹣b，ab＝﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　﹣3　．
【分析】由提取公因式法，完全平方公式和待定系数法解得代数式的值为﹣3．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
∵a＝1﹣b，ab＝﹣3，
∴a+b＝1，
∴原式＝ab（a+b）2
＝﹣3×12
＝﹣3
故答案为：﹣3．
【点评】本题综合考查了提取公因式，完全平方公式，重点掌握因式分解的方法应用，
16．（4分）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数：第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等，利用上的规律计算：95+5×94+10×93+10×92+5×9+1＝　105．　．

【分析】根据得出的系数规律，得：（a+b）5＝的展开式，令a＝9，b＝1，即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
令上式中a＝9，b＝1，得：95+5×94+10×93+10×92+5×9+1＝（9+1）5＝105．
故答案为：105．
【点评】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键．
17．（4分）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，点P为边AB上的一定点，连接CP，CP＝4，M，N分别为边AC和BC上的两动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值为　4　；当△PMN周长的最小值时，∠MPN的度数为　120°　．

【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．
【解答】解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．
由对称的性质可知，∠ACP＝∠ACE，∠PCB＝∠BCF，CP＝CE＝CF＝4，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE＝4，
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF＝6，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠ACB+∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝150°，
∴∠ECF+∠EPF＝60°+150°＝210°，
∴∠CEP+∠CFP＝150°，
∴∠PEF+∠PFE＝150°﹣120°＝30°，∴∠MPN＝150°﹣30°＝120°，
故答案为：4，120°．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
18．（4分）如图，等边△ABC外一点P，连接AP、BP、CP，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D，连接BD，有以下结论：①DP＝DB；②DA+DB＝DC；③DA⊥BP；④若连接BH，当△BDH为等边三角形时，则CP＝3DP，其中正确的有　①②③　．（只需要填写序号）

【分析】①首先由等边三角形的性质易得AB＝AC＝BC，由垂直平分线的性质易得AP＝AC，等量代换可得AP＝AB，由SAS定理可证得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性质可得结论；
②在CP上截CQ＝PD，证明△ACQ≌△APD，等量代换，证得△ADQ为等边三角形，得出结论；
③由等腰三角形的性质可得AD是BP的垂直平分线；
④由垂直平分线的性质可得PH＝CH，由等边三角形的性质可得BD＝DH＝PD，可得PC＝4PD．
【解答】解：①∵AH是PC的垂直平分线，
∴PA＝AC＝AB，
∵AD平分∠PAB，
∴∠PAD＝∠BAD，
在△PAD和△BAD中，
，
∴△PAD≌△BAD（SAS），
∴DP＝DB；故①符合题意；
②在CP上截取CQ＝PD，连接AQ，如图所示：

∵AP＝AC，
∴∠APD＝∠ACQ，
在△APD和△ACQ中，
，
∴△APD≌△ACQ（SAS），
∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD，
∴∠BAC＝∠CAQ+∠BAQ＝∠PAD+∠BAQ＝∠BAD+∠BAQ＝∠DAQ＝60°，
∴△ADQ为等边三角形，
∴DA＝DQ，
∴DC＝DQ+CQ＝DA+DB，
即DA+DB＝DC．故②符合题意；
③∵AB＝AP，AD平分∠PAB，
∴AD⊥PB，故③符合题意；
④∵AH垂直平分PC，
∴PH＝CH，
∵△BDH为等边三角形，
∴DB＝DH，
∵PD＝DB，
∴PD＝DH，
∴PH＝2PD，
∴CP＝4PD，故④不合题意，
故答案为：①②③．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形和直角三角形是解题的关键．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）如图，已知AE＝BD，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分别为点C，F，且BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）求证：AC∥DF．

【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等即可．
（2）利用全等三角形的性质证明∠A＝∠D即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，DF⊥EF，
∴∠C＝∠F＝90°，
∵AE＝BD，
∴AB＝DE，
∵BC＝EF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（10分）计算下列各式：
（1）﹣ab2•（﹣2a2b）3
（2）﹣（x+2y）2+（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）
【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则计算，再利用整式的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式进而计算得出答案．
【解答】解：（1）﹣ab2•（﹣2a2b）3
＝﹣ab2•（﹣8a6b3）
＝4a7b5；

（2）﹣（x+2y）2+（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）
＝﹣x2﹣4y2﹣4xy+x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2
＝x2﹣4y2﹣8xy．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
21．（10分）先化简，后求值：（m+2n）（2m﹣n）﹣（m﹣3n）2+（2m+n）（2m﹣n）﹣11n2，其中：m+n＝2，m﹣n＝1．
【分析】首先计算整式的乘法，然后再去括号，合并同类项，化简后再求出m、n的值，代入即可．
【解答】解：原式＝2m2﹣mn+4mn﹣2n2﹣（m2﹣6mn+9n2）+（4m2﹣n2）﹣11n2，
＝2m2﹣mn+4mn﹣2n2﹣m2+6mn﹣9n2+4m2﹣n2﹣11n2，
＝5m2+9mn﹣23n2．
∵m+n＝2，m﹣n＝1，
∴m＝，n＝，
∴原式＝5×（）2+9××﹣23×（）2，
＝5×+﹣，
＝+﹣，
＝．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握计算顺序和计算法则．
22．（10分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣3，3），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出此时B1的坐标是：　（﹣3，﹣3）　；
（2）画出△ABC沿x轴正方向平移3个单位，再沿y轴负方向平移2个单位的图形△A2B2C2并求四边形ACC2A2的面积．

【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出三个顶点沿x轴正方向平移3个单位，再沿y轴负方向平移2个单位的对应点，继而首尾顺次连接可得．最后用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，此时B1的坐标是（﹣3，﹣3），

故答案为：（﹣3，﹣3）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
四边形ACC2A2的面积为4×5﹣×2×3×2﹣×1×3×2＝11．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换与平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
23．（10分）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CE是斜边AB上的高，且AC＝AD．
（1）若∠DCE＝15°，求∠B的度数；
（2）若∠B﹣∠A＝20°，求∠DCB的度数．

【分析】（1）求出∠ADC＝∠ACD＝75°即可解决问题．
（2）首先求出∠B的值，设∠DCB＝x，则∠ADC＝∠ACD＝∠B+x＝90°﹣x，可得2x＝90°﹣∠B解决问题．
【解答】解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠CED＝90°，
∵∠ECD＝15°，
∴∠ADC＝75°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝15°，
∵∠ADC＝∠B+∠DCB，
∴∠B＝75°﹣15°＝60°．

（2）设∠DCB＝x，则∠ADC＝∠ACD＝∠B+x＝90°﹣x，
∴2x＝90°﹣∠B，
∵∠A+∠B＝90°，∠B﹣∠A＝20°，
∴∠B＝55°，
∴2x＝35°，
∴x＝17.5°，
∴∠DCB＝17.5°
【点评】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，且为BC的中点，点E为边BC延长线上的一点，连接AE，且∠AEB＝45°，过D作DF⊥AC，垂足为点G，交AE于点F，在边BE上取一点H，连接FH．
（1）若∠CDF＝20°，求∠BAE的度数；
（2）若∠DFE＝∠AFH，求证：BC＝2EH．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，由余角的性质可求∠ACB＝70°＝∠ABC，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接AD，作DN⊥AE于N，交AC于M，由“ASA”可证△ADM≌△DEF，可得DM＝EF，由“AAS”可证△DMC≌△EFH，可得DC＝HE，可得结论．
【解答】解：（1）如图，连接AD，

∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，
∵DF⊥AC，∠CDF＝20°，
∴∠ACB＝70°＝∠ABC，
又∵∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝180°﹣45°﹣70°＝65°；
（2）如图，连接AD，作DN⊥AE于N，交AC于M，

∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC，
∵∠AEB＝45°，
∴∠DAE＝∠AEB＝45°，
∴AD＝DE，
又∵DN⊥AE，
∴AN＝DN＝NE，∠ADN＝∠EDN＝45°＝∠AEB，
∵∠ACD+∠EDF＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠EDF＝∠DAC，
∴△ADM≌△DEF（ASA），
∴DM＝EF，
∵∠DFE＝∠AFH，∠DFE＝∠DAF+∠ADF＝45°+∠ADF，∠AFH＝∠AED+∠FHE＝45°+∠FHE，
∴∠ADF＝∠EHF，
∵∠EDF＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠ADF，
∴∠ACD＝∠FHE，
∴△DMC≌△EFH（AAS），
∴CD＝HE，
∴BC＝2HE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（10分）阅读下列材料：
由整式的乘法运算知：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可知可把acx2+（ad+bc）x+bd中的x看作是未知数，a，b，c，d看作常数的二次三项式；通过观察acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d），可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式2x2+7x+3的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2．

则2x2+7x+3＝（x+3）（2x+1）．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法因式分解：4x2+9x﹣13；
（2）用十字相乘法因式分解：2（2a2+1）2﹣3（2a2+1）﹣9；
（3）已知x2﹣2x﹣n＝（x+a）（x+b）（1≤n≤200），若a、b均为整数，则满足条件的整数n有几个？并说明理由．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可；
（2）原式利用十字相乘法分解即可；
（3）把两个因式相乘，根据题意写出n的值即可．
【解答】解：（1）4x2+9x﹣13＝（x﹣1）（4x+13）；
（2）2（2a2+1）2﹣3（2a2+1）﹣9＝[2（2a2+1）+3][（2a2+1）﹣3]＝（4a2+5）（2a2﹣2）＝2（4a2+5）（a+1）（a﹣1）；
（3）∵（x+a）（x+b）＝x2﹣2x﹣n，
∴x2+（a+b）x+ab＝x2﹣2x﹣n，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣n，
∴a＝﹣2﹣b，
∴b（﹣2﹣b）＝﹣n，
∴b2+2b﹣n＝0，
∴b＝＝﹣1±，
∵a、b均为整数，
∴为整数，
∴n＝3，8，15，24，35，48，63，80，99，120，143，168，195共13个．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中十字相乘的方法是解本题的关键．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）已知等腰三角形ABC中，点D为BC中点，点E是BA延长线上一动点，点F是AC延长线上一动点连接DE、DF，且∠EDF+∠BAC＝180°．

（1）如图1，若∠BAC＝90°，求证：AE+AC＝AF；
（2）如图2，若∠BAC＝120°，AE、AC、AF三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，则直接证明；若不满足，请写出结论并证明．
【分析】（1）连接AD，设AF交DE于G，证明△BDE≌△ADF（AAS），得出BE＝AF，即可得出结论；
（2）连接AD，取AC的中点G，连接DG，证明△ADE≌△GDF（AAS），得出AE＝GF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接AD，设AF交DE于G，如图1所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∵点D为BC中点，
∴AD＝BC＝BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝45°＝∠B，AD⊥BC，
∵∠EDF+∠BAC＝180°，∠EAC+∠BAC＝180°，
∴∠EDF＝∠EAC，
∵∠AGE＝∠DGF，
∴∠BED＝∠AFD，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴BE＝AF，
∵AB＝AC，BE＝AE+AB，
∴AE+AC＝AF；
（2）解：不满足（1）中的结论，AC+AE＝AF；理由如下：
连接AD，取AC的中点G，连接DG，如图2所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠ACB＝30°，∠EAC＝60°，
∵点D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠CAD＝60°，
∴DG＝AC＝AG＝CG，∠DAE＝120°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝DG，∠AGD＝∠ADG＝60°＝∠EDF，
∴∠DGF＝120°＝∠DAE，∠ADE＝∠GDF，
同（1）得：∠AED＝∠GFD，
在△ADE和△GDF中，，
∴△ADE≌△GDF（AAS），
∴AE＝GF，
∵AG+GF＝AF，
∴AC+AE＝AF；


【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
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