人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案，共32页。

(1)函数零点的定义


对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．


(2)几个等价关系


方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．


(3)函数零点的判定(零点存在性定理)


如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．


2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系




















例1函数的零点是（ ）


B.-1 C.1 D.0


例2 函数的零点为








例3 函数f(x)＝2x|lg0.5 x|－1的零点个数为________．








例4 若函数有一个零点3，则函数得零点是





例5函数在R上无零点，求实数a的取值范围．

















例6已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是.














例7已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.


(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;


(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.



































例8对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.


(1)若有两个不动点为，求函数的零点；


(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．

















有关函数零点的结论


(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．


(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．


(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．














1.思考辨析


选择题


1.函数的零点个数（ ）


A.0 B.1 C.2 D.3


2.函数的零点所在的一个区间是（ ）





A. B. C. D.


3.下列图象表示的函数中没有零点的是( )





4.对于函数，则（ ）


A.方程一定有实数解


B.方程一定无实数解


C.方程一定有两个实数根


D.方程可能无实数解


5.根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )





A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)


f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是( )


A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)


已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )


A．至少有一实数根 B．至多有一实数根


C．没有实数根 D．必有唯一的实数根


8.函数的零点所在的区间为（ ）


A. B. C. D.


填空题


1.若一次函数的零点是2，那么函数的零点是 。





2.函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．





3.设函数在区间上是单调函数，且，则方程在闭区间内有 个根。





4.函数的两个零点是2和3，则函数的零点为 。





5.若函数y＝2－|x|－k有零点，则实数k的取值范围是________．





6.已知函数f(x)＝EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(2x－1，x>0，),－x2－2x，x≤0，)若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．





7.若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．





8．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．





9.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．





三、解答题


1.已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.


(1)写出函数y＝f(x)的解析式；


(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．





2.已知一元二次函数的图象与y轴交于点，且满足。


(1)求该二次函数的解析式及函数的零点。


(2)已知函数在上为增函数，求实数t的取值范围。


















































3.已知a,b为常熟，且。


(1)若函数有唯一的零点，求函数的解析式；


(2)求函数在区间上的最大值；


(3)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。








1．函数的零点为（ ）


A．4B．3C．2D．1


2．若函数f（x）＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是（ ）


A．－1和B．1和


C． 和 D．和


3．已知2是函数f(x)＝的一个零点，则f(f(4))的值是( )


A．3B．2C．1D．lg23


4．函数的零点所在的大致区间是（ ）


A．B．C．D．


5．下列方程在区间内存在实数解的是（ ）


A．B．


C．D．


6．函数满足，则在（1,2）上的零点（ ）


A．至多有一个B．有1个或2个


C．有且仅有一个D．一个也没有


7．已知函数的零点位于区间上，则整数的值为( )


A．-2B．-1C．0D．1


8．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）


A．B．C．D．


9．一元二次方程没有实数根，则m的取值范围为( )


A．m<2B．m>4


C．m>16D．m<8


10．已知二次函数在上有且只有一个零点,则实数的取值范围为（ ）


A．B．C．D．


11．已知函数恰有个零点，则的取值范围是( )


A．B．C．D．


12．已知函数，若函数有3个零点，，，则的取值范围是


A．B．C．D．


13．若函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是__


14．若函数的近似解在区间,则 .


15．设函数，若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是__．


16．函数的零点个数为________．


17. 求下列函数的零点：


（1）；（2）.

















18. 已知函数f（x）=–3x2+2x–m+1．


（1）若x=0为函数的一个零点，求m的值；


（2）当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．
































19. 已知一元二次函数的图像与轴交于点，且满足．


（1）求该二次函数的解析式及函数的零点．


（2）已知函数在上为增函数，求实数的取值范围．






































20. 已知为常数，且


（1）若函数有唯一零点，求函数的解析式；


（2）求函数在区间上的最大值；


（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．





























21. 求下列函数的零点：


（1）； （2）；（3）； （4）；


（5）．
































22. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.


（1）求及的值；


（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.











例1函数的零点是（ ）


B.-1 C.1 D.0


【答案】B【解析】由，得。


例2 函数的零点为


【答案】1和10【解析】由，得





例3 函数f(x)＝2x|lg0.5 x|－1的零点个数为________．


答案 2


解析 由f(x)＝0，得|lg0.5x|＝EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),2)x，


作出函数y＝|lg0.5x|和y＝EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),2)x的图象，


由上图知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．





例4 若函数有一个零点3，则函数得零点是 。


【答案】-1和0【解析】因为的零点是3，所以，即。所以，所以方程的两个根为-1和0，即函数的零点为-1和0.


例5函数在R上无零点，求实数a的取值范围．


【答案】（–4，0]


【解析】（1）当a＝0时，f（x）＝–1，符合题意；（2）若a≠0，则f（x）为二次函数，∴＝a2+4a<0，解得–4

例6已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是.


【答案】(-4,-3).


【解析】令f(x)-x+b=0,


所以b=x-|x(x+3)|,


作出y=x-|x(x+3)|的图象,


要使函数y=f(x)-x+b有四个零点,


则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4




例7已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.


(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;


(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.


解(1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,


∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.


则解得k=-2.


(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,


∴


则


∴α2+β2在区间内的取值范围为.故α2+β2的取值范围为.





例8对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.


(1)若有两个不动点为，求函数的零点；


(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．


【答案】（1）；（2）.


【解析】 (1)由题意知：f(x)＝x，即x2＋(b－1)x＋c＝0有两根，分别为－3,2.





所以，所以，从而f(x)＝x2＋2x－6，


由f(x)＝0得x1＝－1－，x2＝－1＋.


故f(x)的零点为－1±.


(2)若c＝，则f(x)＝x2＋bx＋，


又f(x)无不动点，


即方程＋bx＋＝x无解，


所以


即－2b＋1<0，所以b>.故b的取值范围是b>.























有关函数零点的结论


(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．


(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．


(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．














1.思考辨析











选择题


1.函数的零点个数（ ）


A.0 B.1 C.2 D.3


【答案】D【解析】，令，解得，即函数的零点为-1，0，1，共3个。


2.函数的零点所在的一个区间是（ ）。





A. B. C. D.


【答案】D【解析】


3.下列图象表示的函数中没有零点的是( )





【答案】A【解析】B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．


4.对于函数，则（ ）。


A.方程一定有实数解


B.方程一定无实数解


C.方程一定有两个实数根


D.方程可能无实数解


【答案】D【解析】∵函数的图象在上未必连续，故尽管，但方程在上不一定有实数解。


5.根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )





A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)


【答案】C【解析】令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．


f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是( )


A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)


【答案】D【解析】由题意可得a＝x－EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),2)x(x＞0)．令g(x)＝x－EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),2)x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．


已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )


A．至少有一实数根 B．至多有一实数根


C．没有实数根 D．必有唯一的实数根


【答案】D【解析】由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.





8.函数的零点所在的区间为（ ）。


A. B. C. D.


【答案】A【解析】函数的定义域为(0，＋∞) ，且函数单调递增，∵∴在区间内，函数存在零点，故选A。


9.函数f(x)＝x2－ax＋1在区间EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),，3)上有零点，则实数a的取值范围是( )


A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C.EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(5),2) D.EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(10),3)


【答案】D【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),，3)上有解，即a＝x＋EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),x)在EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),，3)上有解，


设t＝x＋EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),x)，x∈EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),，3)，则t的取值范围是EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(10),3).∴实数a的取值范围是EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(10),3).





填空题


1.若一次函数的零点是2，那么函数的零点是 。


【答案】D【解析】∵一次函数的零点是2，∴b=-2。∴，令


。


2.函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．


【答案】4【解析】f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．可知零点为±1，－2,3，共4个．


3.设函数在区间上是单调函数，且，则方程在闭区间内有 1 个根。


【答案】1【解析】由知在区间上至少有一个实数根，又函数在区间上是单调函数，从而可知必有唯一的实数根。


4.函数的两个零点是2和3，则函数的零点为 。


【答案】【解析】由题知方程的两个根是2和3，∴a=5,b=-6，∴，令∴函数的零点是。


5.若函数y＝2－|x|－k有零点，则实数k的取值范围是________．


【答案】(0,1]【解析】y＝2－|x|－k有零点，即k∈y＝2－|x|的值域．而－|x|≤0,0<2－|x|≤20＝1，∴y＝2－|x|的值域为(0,1]．


6.已知函数f(x)＝EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(2x－1，x>0，),－x2－2x，x≤0，)若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．


【答案】(0,1)【解析】画出函数f(x)＝EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(2x－1，x>0，),－x2－2x，x≤0)的图象，如图所示．由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0







7.若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．


【答案】(1，＋∞)【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当01.








8．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．


【答案】(－12,0)【解析】根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．





由图可知()()()()EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(f1＜0，),f3＞0，)即EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(3－5＋a＜0，),27－15＋a＞0，) 解得－12＜a＜0.


9.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．


【答案】EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),，1)【解析】画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知k＞EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(1),2)，且k＜1.








三、解答题


1.已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.


(1)写出函数y＝f(x)的解析式；


(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．


【答案】见解析【解析】(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∵y＝f(x)是奇函数，


∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，∴f(x)＝EQ \* jc0 \* hps21 \(\s\up 9(x2－2x， x≥0，),－x2－2x， x<0.)


(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．








2.已知一元二次函数的图象与y轴交于点，且满足。


(1)求该二次函数的解析式及函数的零点。


(2)已知函数在上为增函数，求实数t的取值范围。


【答案】见解析【解析】(1)因为二次函数的图象与y轴交于点，故c=1①；


又因为函数


.由，可得函数的零点为：


(2)因为函数在上为增函数，且函数图象的对称轴为，由二次函数的性质可知：。





3.已知a,b为常熟，且。


(1)若函数有唯一的零点，求函数的解析式；


(2)求函数在区间上的最大值；


(3)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。


【答案】见解析【解析】(1)∵。函数有唯一的零点，即方程有唯一解，∴，∴。


(2)∵；


(3)当时，不等式成立，即在区间上恒成立，设，显然函数在区间上是减函数，，当且仅当时，不等式在区间上恒成立，因此。





1．函数的零点为（ ）


A．4B．3C．2D．1


2．若函数f（x）＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是（ ）


A．－1和B．1和


C． 和 D．和


3．已知2是函数f(x)＝的一个零点，则f(f(4))的值是( )


A．3B．2C．1D．lg23


4．函数的零点所在的大致区间是（ ）


A．B．C．D．


5．下列方程在区间内存在实数解的是（ ）


A．B．


C．D．


6．函数满足，则在（1,2）上的零点（ ）


A．至多有一个B．有1个或2个


C．有且仅有一个D．一个也没有


7．已知函数的零点位于区间上，则整数的值为( )


A．-2B．-1C．0D．1


8．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）


A．B．C．D．


9．一元二次方程没有实数根，则m的取值范围为( )


A．m<2B．m>4


C．m>16D．m<8


10．已知二次函数在上有且只有一个零点,则实数的取值范围为（ ）


A．B．C．D．


11．已知函数恰有个零点，则的取值范围是( )


A．B．C．D．


12．已知函数，若函数有3个零点，，，则的取值范围是


A．B．C．D．


13．若函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是__


14．若函数的近似解在区间,则 .


15．设函数，若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是__．


16．函数的零点个数为________．


17. 求下列函数的零点：


（1）；（2）.

















18. 已知函数f（x）=–3x2+2x–m+1．


（1）若x=0为函数的一个零点，求m的值；


（2）当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．

















19. 已知一元二次函数的图像与轴交于点，且满足．


（1）求该二次函数的解析式及函数的零点．


（2）已知函数在上为增函数，求实数的取值范围．

















20. 已知为常数，且


（1）若函数有唯一零点，求函数的解析式；


（2）求函数在区间上的最大值；


（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．














21. 求下列函数的零点：


（1）； （2）；


（3）； （4）；


（5）．

















22. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.


（1）求及的值；


（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.

















参考答案


一．选择题：本大题共12小题.





二．填空题:本大题共4小题．


13．．


14．


15．


16．2


三．解答题：本大题共6小题.


17.【解析】（1）由得，零点为；


（2），或．∴零点为．


18.【解析】（1）因为x=0为函数的一个零点，


所以0是对应方程的根，所以1–m=0，解得m=1．


（2）函数有两个零点，则对应方程–3x2+2x–m+1=0有两个根，


易知Δ>0，即Δ=4+12（1–m）>0，可解得m<；


Δ=0，可解得m=；


Δ<0，可解得m>．


故当m<时，函数有两个零点；


当m=时，函数有一个零点；


当m>时，函数无零点．


19.【解析】（1）因为二次函数为的图像与轴交于点，故


又因为函数满足故：


由①②得：，故二次函数的解析式为：


由可得函数的零点为：


（2）因为函数在上为增函数，且函数图像的对称轴为，


由二次函数的图像可知：


20.【解析】∵，∴，∴


（1）函数有唯一零点，即方程有唯一解，


∴，解得，∴


（2），


若，则


若，则


（3）当时，不等式恒成立，


即：在区间上恒成立，


设，显然函数在区间上是减函数，


当且仅当时，不等式在区间上恒成立，


因此


21.【解析】（1）令，即，解得，


故所求函数的零点为．


（2），令，


解得，故所求函数的零点为．


（3）令，解得，故所求函数的零点为3．


（4）．令，


解得，故所求函数的零点为．


（5）当时，令，得，符合题意；当时，令，


得，符合题意，故所求函数的零点为．


22.【解析】（1）是定义在上的偶函数，


且当时，，


；


（2）函数是定义在上的偶函数，


关于的方程有四个不同的实数解，


只需时，有两个解，


当时，，


所以





Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数


y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
B
C
A
C
B
D
C
C