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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案设计，共34页。学案主要包含了对数函数的图象等内容，欢迎下载使用。
对数函数的概念
一般地，把函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)
2.对数函数的图像和性质
例题解析
题型一 对数函数的概念
注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.
例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2)y＝lg6x；(3)y＝lgx3；(4)y＝lg2x＋1.
[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为
（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
题型二 对数型函数的定义域
注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
例2 求下列函数的定义域.
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；(2)y＝lg2(16－4x).
[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；
(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．
题型三 比较对数值的大小
例3 比较下列各组中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；
(2)lg23，lg0.32；
(3)lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1).
[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )
A.lga5.1lgeq \f(1,2)2.2
C.lg1.1(a＋1)
题型四 对数函数的图象
注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0
(3)牢记特殊点．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
例4 画出函数y＝lg|x－1|的图象.
例5 （1）函数y＝x＋a与y＝lgax的图象只可能是下图中的( )
(2)函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图象只能是( )
(2)y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2图象恒过定点坐标是________．
例6.已知函数y=lg（ax2+2ax+1）：
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．
反思总结
（1）对数函数图像必经过第一、四象限，在第一象限的规律是：
以直线把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，，，，对应，，，，则；
（2）与关于轴对称；
（3）轴是渐进线，即图像向上、下无限延伸；
随堂检测
1.思考辨析
1．下列函数中，是对数函数的是( )
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝lg5x
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2x B．y＝lg3x
C．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x
3.函数f(x)＝eq \r(3－x)＋lg(x＋1)的定义域为( )
A.[－1,3) B.(－1,3) C.(－1,3] D.[－1,3]
4.已知函数f(x)＝lg3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
6.图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
7.设则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．b＞a＞cD．b＞c＞a
8．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝x2B．f(x)＝2x
C．f(x)＝lg2xD．f(x)＝elnx
9．如果函数y＝lg2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝____.
10．函数y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3x－2)的定义域是____.
11.已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
12.已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是_______．
13．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x≤0，,lgc\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,9)))，x>0))的图象如图所示，则a＋b＋c＝___.
14.．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)lg(m＋1)x，求f(27)．
15．已知f(x)＝lgeq \f(1＋x,1－x)，x∈(－1,1)，若f(a)＝eq \f(1,2)，求f(－a)．
16．求下列各式中x的取值范围：
（1）；（2）；（3）.
17.比较下列各组值的大小：
(1)，；(2)lg1.51.6，lg1.51.4；(3)lg0.57，lg0.67；(4)lg3π，lg20.8.
18..已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,lg3x，x>0，))(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))的值；(2)若f(a)＝eq \f(1,2)，求a的值.
19.若函数的定义域为一切实数，求实数的取值范围．
课后练习
1．下列函数中，是对数函数的是( )
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝lg5x
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2x B．y＝lg3x
C．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x
3．函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是( )
A．(0,1)B．[0,1)
C．(1，＋∞)D．(－∞，1)
4．y＝2x与y＝lg2x的图象关于( )
A．x轴对称B．直线y＝x对称
C．原点对称D．y轴对称
5．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( D )
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
6.函数y=lga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点( )
A(1,2) B (2,2) C (2,3) D (23,2)
7. 如果函数y＝lg2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝ .
8.设ln b>ln a>ln c,则a,b,c的大小关系为 .
9.若函数f(x)＝lgax(0
10.下列给出的函数:①y=lg5x+1;
②y=lgax2(a>0,且a≠1);③y=lg(3-1)x;
④y=13lg3x;⑤y=lgx3(x>0,且x≠1);
⑥y=lg2πx.其中是对数函数的为( )
A③④⑤ B②④⑥ C①③⑤⑥ D③⑥
11.已知函数f(x)＝lga(x＋2)，若其图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2 C．eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
12．函数y＝eq \f(1,\r(3－x))＋lg(2x＋1)的定义域( )
A．(eq \f(1,2)，3] B．(eq \f(1,2)，3) C．(－eq \f(1,2)，3] D．(－eq \f(1,2)，3)
13.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=lg3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A. x2
C. x1
14.函数y=lg2|x|的图象大致是( )
15.若lgaeq \f(2,5)＜1，则a的取值范围为 .
16.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)lgax,则f(9)= .
17．求下列函数的定义域：
(1)y＝lg5(1－x)；(2)y＝lg(3x－1)5；(3)y＝eq \f(ln4－x,x－3).
18.比较下列各组数的大小；
(1)lg0.90.8，lg0.90.7，lg0.80.9；
(2)lg32，lg23，lg4eq \f(1,3).
题型一 对数函数的概念
注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.
例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2)y＝lg6x；
(3)y＝lgx3；(4)y＝lg2x＋1.
(1)lg2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式lg2x后又加1，不是对数函数．
[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为
（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
（1） y＝lg2x [解析] 设对数函数为y＝lgax，则4＝lga16，∴a4＝16，
∴a＝2，∴y＝lg2x.
（2）A [解析] 设对数函数的解析式为y＝lgax(a>0，且a≠1)，由题意可知lga4＝2，
∴a2＝4，∴a＝2.
∴该对数函数的解析式为y＝lg2x.
题型二 对数型函数的定义域
注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
例2 求下列函数的定义域.
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；
(2)y＝lg2(16－4x).
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,3＋x>0，))得－3
∴函数的定义域是(－3,3).
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝lg2(16－4x)的定义域为(－∞，2).
[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；
(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．
(1)定义域为(0，＋∞)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤1，))解得eq \f(3,4)
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤\f(1,2)，))解得eq \f(3,4)
(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋1≠1，,2－x>0，))解得－1
题型三 比较对数值的大小
例3 比较下列各组中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；
(2)lg23，lg0.32；
(3)lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1).
解 (1)因为y＝lg3x在(0，＋∞)上是增函数，所以lg31.9
(2)因为lg23>lg21＝0，lg0.32lg0.32.
(3)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，则有lgaπ>lga3.14；
当0
综上所得，当a>1时，lgaπ>lga3.14；当0
[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )
A.lga5.1lgeq \f(1,2)2.2
C.lg1.1(a＋1)
对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以eq \f(1,2)为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，lg32.9>0，lg0.52.2<0，故不成立，故选B.
题型四 对数函数的图象
注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0
(3)牢记特殊点．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
例4 画出函数y＝lg|x－1|的图象.
解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).
例5 （1）函数y＝x＋a与y＝lgax的图象只可能是下图中的( )
(2)函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
（1） C
(2)(0，－2) 因为函数y＝lgax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝lga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图象只能是( )
(2)y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2图象恒过定点坐标是________．
(1) B 若01，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝lga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．
(2)(－2,2) [解析] 令eq \f(2x＋1,x－1)＝1，得x＝－2，此时y＝2，∴函数y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2过定点(－2,2)．
例6.已知函数y=lg（ax2+2ax+1）：
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．
【分析】（1）由于函数的定义域为R，可得ax2+2ax+1＞0恒成立．当a=0时，显然成立，当a≠0时，应有a＞0且△=4a2﹣4a＜0，由此求得a的取值范围．
（2）若函数的值域为R，则ax2+2ax+1能取遍所有的正整数，故有 a＞0且△=4a2﹣4a≥0，由此求得a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴ax2+2ax+1＞0恒成立．当a=0时，显然成立．
当a≠0时，应有a＞0且△=4a2﹣4a＜0，解得 a＜1．
故a的取值范围为[0，1）．
（2）若函数的值域为R，则ax2+2ax+1能取遍所有的正整数，∴a＞0且△=4a2﹣4a≥0．
解得 a≥1，故a的取值范围为[1，+∞）．
反思总结
（1）对数函数图像必经过第一、四象限，在第一象限的规律是：
以直线把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，，，，对应，，，，则；
（2）与关于轴对称；
（3）轴是渐进线，即图像向上、下无限延伸；
随堂检测
1.思考辨析
1．下列函数中，是对数函数的是( D )
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝lg5x
[解析] A、B、C都不符合对数函数的定义，故选D．
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( B )
A．y＝lg2x B．y＝lg3x
C．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x
[解析] 设对数函数为y＝lgax，则2＝lga9，
∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝lg3x，故选B．
3.函数f(x)＝eq \r(3－x)＋lg(x＋1)的定义域为( )C
A.[－1,3) B.(－1,3) C.(－1,3] D.[－1,3]
4.已知函数f(x)＝lg3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于( )C
A.0 B.1 C.2 D.3
5.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )C
6.图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】
由已知中曲线是对数函数的图象，
由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，
由取，，，四个值，
故，，，的值依次为，，，，
故选：．
7.设则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．b＞a＞cD．b＞c＞a
【答案】A
【解析】
，
.
故选：A.
8．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( C )
A．f(x)＝x2B．f(x)＝2x
C．f(x)＝lg2xD．f(x)＝elnx
[解析] ∵对数运算律中有lgaM＋lgaN＝lga(MN)，
∴f(x)＝lg2x满足题目要求．
9．如果函数y＝lg2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝__2__.
[解析] 将A(4，y0)代入y＝lg2x得lg24＝y0，∴y0＝2.
10．函数y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3x－2)的定义域是__(eq \f(2,3)，＋∞)__.
[解析] 由3x－2>0得x>eq \f(2,3)，所以函数的定义域为(eq \f(2,3)，＋∞)．
11.已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(4，－1) [解析] y＝lgax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
12.已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是__(－2,2)__.
[解析] 由题意知x2＋ax＋1>0恒成立，所以Δ＝a2－4<0，即－2
13．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x≤0，,lgc\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,9)))，x>0))的图象如图所示，则a＋b＋c＝__eq \f(13,3)__.
[解析] 由题图可求得直线的方程为y＝2x＋2，即a＝2，b＝2，又函数y＝lgceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,9)))的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c＝eq \f(1,3)，所以a＋b＋c＝2＋2＋eq \f(1,3)＝eq \f(13,3).
14.．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)lg(m＋1)x，求f(27)．
[解析] ∵f(x)是对数函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1,m＋1＞0,m＋1≠1))，
解得m＝2.
∴f(x)＝lg3x，∴f(27)＝lg327＝3.
15．已知f(x)＝lgeq \f(1＋x,1－x)，x∈(－1,1)，若f(a)＝eq \f(1,2)，求f(－a)．
[解析] 解法一：∵f(－x)＝lgeq \f(1－x,1＋x)＝lg(eq \f(1＋x,1－x))－1＝－f(x)，∴f(－a)＝－f(a)＝－eq \f(1,2).
解法二：f(a)＝lgeq \f(1＋a,1－a)，
f(－a)＝lgeq \f(1－a,1＋a)＝lg(eq \f(1＋a,1－a))－1＝－lgeq \f(1＋a,1－a)＝－eq \f(1,2).
16．求下列各式中x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）.
（1）,,解得：或，
的取值范围是.
（2）
，解得：，
的取值范围是.
（3）
，解得：，
的取值范围是.
17.比较下列各组值的大小：
(1)，；
(2)lg1.51.6，lg1.51.4；
(3)lg0.57，lg0.67；
(4)lg3π，lg20.8.
18..已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,lg3x，x>0，))(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))的值；(2)若f(a)＝eq \f(1,2)，求a的值.
解 (1)∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))＝lg3eq \f(1,27)＝－3，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))＝f(－3)＝2－3＝eq \f(1,8).
(2)当a>0时，由f(a)＝eq \f(1,2)，得lg3a＝eq \f(1,2).∴a＝＝eq \r(3).
当a≤0时，由f(a)＝eq \f(1,2)，得2a＝eq \f(1,2)，∴a＝－1，
综上所述a的值为－1或eq \r(3).
19.若函数的定义域为一切实数，求实数的取值范围．
解析：因为函数的定义域为一切，
等价于，对任意的实数恒成立.
当时，，符合条件.
当时，.
综上.
故答案为：
课后练习
1．下列函数中，是对数函数的是( )
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝lg5x
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2x B．y＝lg3x
C．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x
3．函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是( )
A．(0,1)B．[0,1)
C．(1，＋∞)D．(－∞，1)
4．y＝2x与y＝lg2x的图象关于( )
A．x轴对称B．直线y＝x对称
C．原点对称D．y轴对称
5．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( D )
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
6.函数y=lga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点( )
A(1,2) B (2,2) C (2,3) D (23,2)
7. 如果函数y＝lg2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝ .
8.设ln b>ln a>ln c,则a,b,c的大小关系为 .
9.若函数f(x)＝lgax(0
10.下列给出的函数:①y=lg5x+1;
②y=lgax2(a>0,且a≠1);③y=lg(3-1)x;
④y=13lg3x;⑤y=lgx3(x>0,且x≠1);
⑥y=lg2πx.其中是对数函数的为( )
A③④⑤ B②④⑥ C①③⑤⑥ D③⑥
11.已知函数f(x)＝lga(x＋2)，若其图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2 C．eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
12．函数y＝eq \f(1,\r(3－x))＋lg(2x＋1)的定义域( )
A．(eq \f(1,2)，3] B．(eq \f(1,2)，3) C．(－eq \f(1,2)，3] D．(－eq \f(1,2)，3)
13.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=lg3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A. x2
C. x1
14.函数y=lg2|x|的图象大致是( )
15.若lgaeq \f(2,5)＜1，则a的取值范围为 .
16.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)lgax,则f(9)= .
17．求下列函数的定义域：
(1)y＝lg5(1－x)；
(2)y＝lg(3x－1)5；
(3)y＝eq \f(ln4－x,x－3).
18.比较下列各组数的大小；
(1)lg0.90.8，lg0.90.7，lg0.80.9；
(2)lg32，lg23，lg4eq \f(1,3).
【参考答案】
1. D [解析] A、B、C都不符合对数函数的定义，故选D．
2. B [解析]设对数函数为y＝lgax，则2＝lga9，∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝lg3x，故选B．
3. D [解析]由1－x>0得x<1，故选D．
4. B 解析]函数y＝2x与函数y＝lg2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称．
5. D 解析] a＝lg32lg22＝1，由对数函数的性质知lg52
6. A 解析:令3x-2=1,得x=1,又lga(3×1-2)+2=2,故定点为(1,2),选A.
7. 2 [解析] 将A(4，y0)代入y＝lg2x得lg24＝y0，∴y0＝2.
8. b>a>c 解析:由对数函数的图象与性质可知,函数y=ln x在(0,+∞)上为单调递增函数,因为ln b>ln a>ln c,所以b>a>c.
9.[解析] 由题意得f(x)max＝lgaa＝1，f(x)min＝lga(2a)＝1＋lga2，∴1＝3×(1＋lga2)，∴a＝eq \f(\r(2),4).
10. D 解析:①②④不满足对数函数解析式特征,⑤中真数是常数,故只有③⑥是对数函数.选D.
11. B [解析] 由题意得3＝lga8，∴a3＝8，∴a＝2.∴f(x)＝lg2(x＋2)，∴f(2)＝lg24＝2.
12. D [解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0,2x＋1>0))，∴－eq \f(1,2)
13.A 解析:令a=-1,得ln x1=-1,lg x2=-1,lg3x3=-1,故x1=1e,x2=110,x3=13,则x1>x3>x2.选A.
14. A 解析:函数y=lg2|x|为偶函数,且x>0时,y=lg2x,故选A.
15. 0＜a＜eq \f(2,5)或a＞1 解析 lgaeq \f(2,5)＜1即lgaeq \f(2,5)＜lgaa，当a＞1时，函数y＝lgax在定义域内是增函数，所以lgaeq \f(2,5)＜lgaa总成立；
当0＜a＜1时，函数y＝lgax在定义域内是减函数，由lgaeq \f(2,5)＜lgaa，得a＜eq \f(2,5)，故0＜a＜eq \f(2,5).
故a的取值范围为0＜a＜eq \f(2,5)或a＞1.
解析:由对数函数定义知a2-2a-2=1,a>0且a≠1,故a=3或a=-1(舍去),则f(x)=lg3x,故f(9)=lg39=2.
17 (1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，
所以函数y＝lg5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1>0，,3x－1≠1，))
解得x>eq \f(1,3)，且x≠eq \f(2,3)，
所以函数y＝lg(3x－1)5的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3)，且x≠\f(2,3))))).
(3)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x>0，,x－3≠0，))
解得x<4，且x≠3，
所以函数y＝eq \f(ln4－x,x－3)的定义域是{x|x<4，且x≠3}．
18.(1)lg0.80.9＜lg0.90.8＜lg0.90.7;(2)lg4eq \f(1,3)＜lg32＜lg23
【解析】(1)因为y＝lg0.9x在(0，＋∞)上是减函数，且0.9＞0.8＞0.7，所以1＜lg0.90.8＜
又因为lg0.80.9＜lg0.80.8＝1，所以lg0.80.9＜lg0.90.8＜
(2)由lg31＜lg32＜lg33，得0＜lg32＜1.
又因为lg23＞lg22＝1，lg4eq \f(1,3)＜lg41＝0，所以lg4eq \f(1,3)＜lg32＜lg23.
定义
形如（且）的函数叫做对数函数
定义域
值域
图像
性质
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
在上是增函数
上是减函数
范围
当时，；
当时，
当时，；
当时，
定点
对数函数的概念
一般地，把函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)
2.对数函数的图像和性质
例题解析
题型一 对数函数的概念
注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.
例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2)y＝lg6x；(3)y＝lgx3；(4)y＝lg2x＋1.
[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为
（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
题型二 对数型函数的定义域
注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
例2 求下列函数的定义域.
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；(2)y＝lg2(16－4x).
[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；
(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．
题型三 比较对数值的大小
例3 比较下列各组中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；
(2)lg23，lg0.32；
(3)lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1).
[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )
A.lga5.1
C.lg1.1(a＋1)
题型四 对数函数的图象
注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0
(3)牢记特殊点．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
例4 画出函数y＝lg|x－1|的图象.
例5 （1）函数y＝x＋a与y＝lgax的图象只可能是下图中的( )
(2)函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图象只能是( )
(2)y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2图象恒过定点坐标是________．
例6.已知函数y=lg（ax2+2ax+1）：
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．
反思总结
（1）对数函数图像必经过第一、四象限，在第一象限的规律是：
以直线把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，，，，对应，，，，则；
（2）与关于轴对称；
（3）轴是渐进线，即图像向上、下无限延伸；
随堂检测
1.思考辨析
1．下列函数中，是对数函数的是( )
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝lg5x
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2x B．y＝lg3x
C．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x
3.函数f(x)＝eq \r(3－x)＋lg(x＋1)的定义域为( )
A.[－1,3) B.(－1,3) C.(－1,3] D.[－1,3]
4.已知函数f(x)＝lg3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
6.图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
7.设则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．b＞a＞cD．b＞c＞a
8．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝x2B．f(x)＝2x
C．f(x)＝lg2xD．f(x)＝elnx
9．如果函数y＝lg2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝____.
10．函数y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3x－2)的定义域是____.
11.已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
12.已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是_______．
13．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x≤0，,lgc\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,9)))，x>0))的图象如图所示，则a＋b＋c＝___.
14.．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)lg(m＋1)x，求f(27)．
15．已知f(x)＝lgeq \f(1＋x,1－x)，x∈(－1,1)，若f(a)＝eq \f(1,2)，求f(－a)．
16．求下列各式中x的取值范围：
（1）；（2）；（3）.
17.比较下列各组值的大小：
(1)，；(2)lg1.51.6，lg1.51.4；(3)lg0.57，lg0.67；(4)lg3π，lg20.8.
18..已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,lg3x，x>0，))(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))的值；(2)若f(a)＝eq \f(1,2)，求a的值.
19.若函数的定义域为一切实数，求实数的取值范围．
课后练习
1．下列函数中，是对数函数的是( )
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝lg5x
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2x B．y＝lg3x
C．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x
3．函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是( )
A．(0,1)B．[0,1)
C．(1，＋∞)D．(－∞，1)
4．y＝2x与y＝lg2x的图象关于( )
A．x轴对称B．直线y＝x对称
C．原点对称D．y轴对称
5．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( D )
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
6.函数y=lga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点( )
A(1,2) B (2,2) C (2,3) D (23,2)
7. 如果函数y＝lg2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝ .
8.设ln b>ln a>ln c,则a,b,c的大小关系为 .
9.若函数f(x)＝lgax(0
10.下列给出的函数:①y=lg5x+1;
②y=lgax2(a>0,且a≠1);③y=lg(3-1)x;
④y=13lg3x;⑤y=lgx3(x>0,且x≠1);
⑥y=lg2πx.其中是对数函数的为( )
A③④⑤ B②④⑥ C①③⑤⑥ D③⑥
11.已知函数f(x)＝lga(x＋2)，若其图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2 C．eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
12．函数y＝eq \f(1,\r(3－x))＋lg(2x＋1)的定义域( )
A．(eq \f(1,2)，3] B．(eq \f(1,2)，3) C．(－eq \f(1,2)，3] D．(－eq \f(1,2)，3)
13.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=lg3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A. x2
C. x1
14.函数y=lg2|x|的图象大致是( )
15.若lgaeq \f(2,5)＜1，则a的取值范围为 .
16.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)lgax,则f(9)= .
17．求下列函数的定义域：
(1)y＝lg5(1－x)；(2)y＝lg(3x－1)5；(3)y＝eq \f(ln4－x,x－3).
18.比较下列各组数的大小；
(1)lg0.90.8，lg0.90.7，lg0.80.9；
(2)lg32，lg23，lg4eq \f(1,3).
题型一 对数函数的概念
注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.
例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2)y＝lg6x；
(3)y＝lgx3；(4)y＝lg2x＋1.
(1)lg2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式lg2x后又加1，不是对数函数．
[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为
（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
（1） y＝lg2x [解析] 设对数函数为y＝lgax，则4＝lga16，∴a4＝16，
∴a＝2，∴y＝lg2x.
（2）A [解析] 设对数函数的解析式为y＝lgax(a>0，且a≠1)，由题意可知lga4＝2，
∴a2＝4，∴a＝2.
∴该对数函数的解析式为y＝lg2x.
题型二 对数型函数的定义域
注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
例2 求下列函数的定义域.
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；
(2)y＝lg2(16－4x).
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,3＋x>0，))得－3
∴函数的定义域是(－3,3).
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝lg2(16－4x)的定义域为(－∞，2).
[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；
(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．
(1)定义域为(0，＋∞)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤1，))解得eq \f(3,4)
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤\f(1,2)，))解得eq \f(3,4)
(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋1≠1，,2－x>0，))解得－1
题型三 比较对数值的大小
例3 比较下列各组中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；
(2)lg23，lg0.32；
(3)lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1).
解 (1)因为y＝lg3x在(0，＋∞)上是增函数，所以lg31.9
(2)因为lg23>lg21＝0，lg0.32
(3)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，则有lgaπ>lga3.14；
当0
综上所得，当a>1时，lgaπ>lga3.14；当0
[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )
A.lga5.1
C.lg1.1(a＋1)
对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以eq \f(1,2)为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，lg32.9>0，lg0.52.2<0，故不成立，故选B.
题型四 对数函数的图象
注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0
(3)牢记特殊点．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
例4 画出函数y＝lg|x－1|的图象.
解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).
例5 （1）函数y＝x＋a与y＝lgax的图象只可能是下图中的( )
(2)函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
（1） C
(2)(0，－2) 因为函数y＝lgax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝lga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图象只能是( )
(2)y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2图象恒过定点坐标是________．
(1) B 若0
(2)(－2,2) [解析] 令eq \f(2x＋1,x－1)＝1，得x＝－2，此时y＝2，∴函数y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2过定点(－2,2)．
例6.已知函数y=lg（ax2+2ax+1）：
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．
【分析】（1）由于函数的定义域为R，可得ax2+2ax+1＞0恒成立．当a=0时，显然成立，当a≠0时，应有a＞0且△=4a2﹣4a＜0，由此求得a的取值范围．
（2）若函数的值域为R，则ax2+2ax+1能取遍所有的正整数，故有 a＞0且△=4a2﹣4a≥0，由此求得a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴ax2+2ax+1＞0恒成立．当a=0时，显然成立．
当a≠0时，应有a＞0且△=4a2﹣4a＜0，解得 a＜1．
故a的取值范围为[0，1）．
（2）若函数的值域为R，则ax2+2ax+1能取遍所有的正整数，∴a＞0且△=4a2﹣4a≥0．
解得 a≥1，故a的取值范围为[1，+∞）．
反思总结
（1）对数函数图像必经过第一、四象限，在第一象限的规律是：
以直线把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，，，，对应，，，，则；
（2）与关于轴对称；
（3）轴是渐进线，即图像向上、下无限延伸；
随堂检测
1.思考辨析
1．下列函数中，是对数函数的是( D )
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝lg5x
[解析] A、B、C都不符合对数函数的定义，故选D．
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( B )
A．y＝lg2x B．y＝lg3x
C．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x
[解析] 设对数函数为y＝lgax，则2＝lga9，
∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝lg3x，故选B．
3.函数f(x)＝eq \r(3－x)＋lg(x＋1)的定义域为( )C
A.[－1,3) B.(－1,3) C.(－1,3] D.[－1,3]
4.已知函数f(x)＝lg3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于( )C
A.0 B.1 C.2 D.3
5.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )C
6.图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】
由已知中曲线是对数函数的图象，
由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，
由取，，，四个值，
故，，，的值依次为，，，，
故选：．
7.设则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．b＞a＞cD．b＞c＞a
【答案】A
【解析】
，
.
故选：A.
8．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( C )
A．f(x)＝x2B．f(x)＝2x
C．f(x)＝lg2xD．f(x)＝elnx
[解析] ∵对数运算律中有lgaM＋lgaN＝lga(MN)，
∴f(x)＝lg2x满足题目要求．
9．如果函数y＝lg2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝__2__.
[解析] 将A(4，y0)代入y＝lg2x得lg24＝y0，∴y0＝2.
10．函数y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3x－2)的定义域是__(eq \f(2,3)，＋∞)__.
[解析] 由3x－2>0得x>eq \f(2,3)，所以函数的定义域为(eq \f(2,3)，＋∞)．
11.已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(4，－1) [解析] y＝lgax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
12.已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是__(－2,2)__.
[解析] 由题意知x2＋ax＋1>0恒成立，所以Δ＝a2－4<0，即－2
13．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x≤0，,lgc\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,9)))，x>0))的图象如图所示，则a＋b＋c＝__eq \f(13,3)__.
[解析] 由题图可求得直线的方程为y＝2x＋2，即a＝2，b＝2，又函数y＝lgceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,9)))的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c＝eq \f(1,3)，所以a＋b＋c＝2＋2＋eq \f(1,3)＝eq \f(13,3).
14.．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)lg(m＋1)x，求f(27)．
[解析] ∵f(x)是对数函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1,m＋1＞0,m＋1≠1))，
解得m＝2.
∴f(x)＝lg3x，∴f(27)＝lg327＝3.
15．已知f(x)＝lgeq \f(1＋x,1－x)，x∈(－1,1)，若f(a)＝eq \f(1,2)，求f(－a)．
[解析] 解法一：∵f(－x)＝lgeq \f(1－x,1＋x)＝lg(eq \f(1＋x,1－x))－1＝－f(x)，∴f(－a)＝－f(a)＝－eq \f(1,2).
解法二：f(a)＝lgeq \f(1＋a,1－a)，
f(－a)＝lgeq \f(1－a,1＋a)＝lg(eq \f(1＋a,1－a))－1＝－lgeq \f(1＋a,1－a)＝－eq \f(1,2).
16．求下列各式中x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）.
（1）,,解得：或，
的取值范围是.
（2）
，解得：，
的取值范围是.
（3）
，解得：，
的取值范围是.
17.比较下列各组值的大小：
(1)，；
(2)lg1.51.6，lg1.51.4；
(3)lg0.57，lg0.67；
(4)lg3π，lg20.8.
18..已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,lg3x，x>0，))(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))的值；(2)若f(a)＝eq \f(1,2)，求a的值.
解 (1)∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))＝lg3eq \f(1,27)＝－3，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))＝f(－3)＝2－3＝eq \f(1,8).
(2)当a>0时，由f(a)＝eq \f(1,2)，得lg3a＝eq \f(1,2).∴a＝＝eq \r(3).
当a≤0时，由f(a)＝eq \f(1,2)，得2a＝eq \f(1,2)，∴a＝－1，
综上所述a的值为－1或eq \r(3).
19.若函数的定义域为一切实数，求实数的取值范围．
解析：因为函数的定义域为一切，
等价于，对任意的实数恒成立.
当时，，符合条件.
当时，.
综上.
故答案为：
课后练习
1．下列函数中，是对数函数的是( )
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝lg5x
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2x B．y＝lg3x
C．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD．y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x
3．函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是( )
A．(0,1)B．[0,1)
C．(1，＋∞)D．(－∞，1)
4．y＝2x与y＝lg2x的图象关于( )
A．x轴对称B．直线y＝x对称
C．原点对称D．y轴对称
5．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( D )
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
6.函数y=lga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点( )
A(1,2) B (2,2) C (2,3) D (23,2)
7. 如果函数y＝lg2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝ .
8.设ln b>ln a>ln c,则a,b,c的大小关系为 .
9.若函数f(x)＝lgax(0
10.下列给出的函数:①y=lg5x+1;
②y=lgax2(a>0,且a≠1);③y=lg(3-1)x;
④y=13lg3x;⑤y=lgx3(x>0,且x≠1);
⑥y=lg2πx.其中是对数函数的为( )
A③④⑤ B②④⑥ C①③⑤⑥ D③⑥
11.已知函数f(x)＝lga(x＋2)，若其图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2 C．eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
12．函数y＝eq \f(1,\r(3－x))＋lg(2x＋1)的定义域( )
A．(eq \f(1,2)，3] B．(eq \f(1,2)，3) C．(－eq \f(1,2)，3] D．(－eq \f(1,2)，3)
13.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=lg3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A. x2
C. x1
14.函数y=lg2|x|的图象大致是( )
15.若lgaeq \f(2,5)＜1，则a的取值范围为 .
16.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)lgax,则f(9)= .
17．求下列函数的定义域：
(1)y＝lg5(1－x)；
(2)y＝lg(3x－1)5；
(3)y＝eq \f(ln4－x,x－3).
18.比较下列各组数的大小；
(1)lg0.90.8，lg0.90.7，lg0.80.9；
(2)lg32，lg23，lg4eq \f(1,3).
【参考答案】
1. D [解析] A、B、C都不符合对数函数的定义，故选D．
2. B [解析]设对数函数为y＝lgax，则2＝lga9，∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝lg3x，故选B．
3. D [解析]由1－x>0得x<1，故选D．
4. B 解析]函数y＝2x与函数y＝lg2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称．
5. D 解析] a＝lg32
6. A 解析:令3x-2=1,得x=1,又lga(3×1-2)+2=2,故定点为(1,2),选A.
7. 2 [解析] 将A(4，y0)代入y＝lg2x得lg24＝y0，∴y0＝2.
8. b>a>c 解析:由对数函数的图象与性质可知,函数y=ln x在(0,+∞)上为单调递增函数,因为ln b>ln a>ln c,所以b>a>c.
9.[解析] 由题意得f(x)max＝lgaa＝1，f(x)min＝lga(2a)＝1＋lga2，∴1＝3×(1＋lga2)，∴a＝eq \f(\r(2),4).
10. D 解析:①②④不满足对数函数解析式特征,⑤中真数是常数,故只有③⑥是对数函数.选D.
11. B [解析] 由题意得3＝lga8，∴a3＝8，∴a＝2.∴f(x)＝lg2(x＋2)，∴f(2)＝lg24＝2.
12. D [解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0,2x＋1>0))，∴－eq \f(1,2)
13.A 解析:令a=-1,得ln x1=-1,lg x2=-1,lg3x3=-1,故x1=1e,x2=110,x3=13,则x1>x3>x2.选A.
14. A 解析:函数y=lg2|x|为偶函数,且x>0时,y=lg2x,故选A.
15. 0＜a＜eq \f(2,5)或a＞1 解析 lgaeq \f(2,5)＜1即lgaeq \f(2,5)＜lgaa，当a＞1时，函数y＝lgax在定义域内是增函数，所以lgaeq \f(2,5)＜lgaa总成立；
当0＜a＜1时，函数y＝lgax在定义域内是减函数，由lgaeq \f(2,5)＜lgaa，得a＜eq \f(2,5)，故0＜a＜eq \f(2,5).
故a的取值范围为0＜a＜eq \f(2,5)或a＞1.
解析:由对数函数定义知a2-2a-2=1,a>0且a≠1,故a=3或a=-1(舍去),则f(x)=lg3x,故f(9)=lg39=2.
17 (1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，
所以函数y＝lg5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1>0，,3x－1≠1，))
解得x>eq \f(1,3)，且x≠eq \f(2,3)，
所以函数y＝lg(3x－1)5的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3)，且x≠\f(2,3))))).
(3)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x>0，,x－3≠0，))
解得x<4，且x≠3，
所以函数y＝eq \f(ln4－x,x－3)的定义域是{x|x<4，且x≠3}．
18.(1)lg0.80.9＜lg0.90.8＜lg0.90.7;(2)lg4eq \f(1,3)＜lg32＜lg23
【解析】(1)因为y＝lg0.9x在(0，＋∞)上是减函数，且0.9＞0.8＞0.7，所以1＜lg0.90.8＜
又因为lg0.80.9＜lg0.80.8＝1，所以lg0.80.9＜lg0.90.8＜
(2)由lg31＜lg32＜lg33，得0＜lg32＜1.
又因为lg23＞lg22＝1，lg4eq \f(1,3)＜lg41＝0，所以lg4eq \f(1,3)＜lg32＜lg23.
定义
形如（且）的函数叫做对数函数
定义域
值域
图像
性质
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
在上是增函数
上是减函数
范围
当时，；
当时，
当时，；
当时，
定点
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