高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案及答案，共38页。









1、对数的定义


一般地，如果的次幂等于,即，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.





























注：1)在定义中注意底数的取值;


2)在中，，由此可以知道负数和零没有对数；


2、常用对数


通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，的常用对数简记为.


例如 简记为 ，简记为 .


3、自然对数


在科学技术中常常使用无理数为底的对数，以为底的对数叫做自然对数，为了简便，的常用对数简记为.


对数计算公式


（1）基本公式：








运算性质：


如果且，，那么


1、； 积的对数 = 对数的和


2、； 商的对数=对数的差


3、． 一个数次方的对数=这个数对数的倍


4.








*（3）公式延伸





1、 （换底公式）





2、


3、


例题解析














题型一 指数式与对数式的互化


(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.


(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.


例1 根据对数定义，将下列指数式写成对数式：


①3x＝eq \f(1,27)； ②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＝64； ③lg16eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)； ④ln 10＝x.











[跟踪训练]1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：


(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n；(4)lg 1000＝3.














题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值


方法:①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.


②利用幂的运算性质和指数的性质计算.


例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.


(1)lg2x＝－eq \f(1,2)；(2)lgx25＝2；(3)lg5x2＝2.











[跟踪训练] 2 (1)求下列各式的值.


①lg981＝________.②lg0.41＝________.③ln e2＝________.





(2)求下列各式中x的值.


①lg64x＝－eq \f(2,3)；②lgx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x.











题型三 对数基本性质的应用


利用对数性质求值的方法：


(1)性质 lga1＝0 lgaa＝1 (a>0，且a≠1).


(2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值．


例3 求下列式子值。


(1)2lg23＋2lg31－3lg77＋3ln 1＝________. (2)9＝________；





[跟踪训练] 3化简求值


(1)71－lg75；(2)100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg 9－lg 2))；(3)algab·lgbc(a，b为不等于1的正数，c>0).














例4 求下列各式中的x的值．


(1)lg2(lg3x)＝0； (2)lg5(lg2x)＝1；

















[跟踪训练] 4 求下列各式中的x的值．


lg8[lg7(lg2x)]＝0； (2)lg2[lg3(lg2x)]＝1.

















题型四 数值计算


例5． 计算（1）， （2）， （3）， （4）


























例6．计算：(1) (2)


(3)

















题型五 含字母的对数计算


例7． 用，，表示下列各式：


．




















[跟踪训练] 5.若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是( )


A．lgax＝－lgaeq \f(1,x) B．(lgax)n＝nlgax


C．(lgax)n＝lgaxn D．lgax＝lga eq \f(1,x)





题型六 换底公式灵活应用


例8 (1)求的值；


























计算的值





























例9 (1)设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值



































(2)已知，求


























(3)已知2x＝3y＝5z，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求x，y，z.



































反思总结











利用对数运算性质化简与求值的原则和方法


(1)基本原则：


①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.


(2)两种常用的方法：


①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；


②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).


随堂检测











一、单选题


1．如果，则有（ ）


A．B．C．D．


2．lg5＋lg53等于（ ）


A．0B．1C．－1D．lg5


3．方程的解是（ ）


A．B．C．x＝1D．x＝2


4．若实数a，b满足，则（ ）


A．B．C．D．1


5．在N＝lg(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )


A．b5B．20).


解 (1)原式＝7×7－lg75＝eq \f(7,7lg75)＝eq \f(7,5).


(2)原式＝100eq \f(1,2)lg 9×100－lg 2＝10lg 9×eq \f(1,100lg 2)＝9×eq \f(1,102lg 2)＝9×eq \f(1,10lg 4)＝eq \f(9,4).


(3)原式＝(algab)lgbc＝blgbc＝c.





例4 求下列各式中的x的值．


(1)lg2(lg3x)＝0；


(2)lg5(lg2x)＝1；


解析 (1)因为lg2(lg3x)＝0，所以lg3x＝1，所以x＝3.


(2)因为lg5(lg2x)＝1，所以lg2x＝5，所以x＝25＝32.


[跟踪训练] 4


[跟踪训练] 4 求下列各式中的x的值．


(1)lg8[lg7(lg2x)]＝0；


(2)lg2[lg3(lg2x)]＝1.


解析：(1)由lg8[lg7(lg2x)]＝0得lg7(lg2x)＝1，所以lg2x＝7，所以x＝27＝128.


(2)由lg2[lg3(lg2x)]＝1得lg3(lg2x)＝2，所以lg2x＝32，所以x＝29＝512.


题型四 数值计算


例5． 计算


（1）， （2）， （3）， （4）


解：（1）25= =2 （2）1=0．


（3）（×25）= + = + = 2×7+5=19．


（4）lg=．





例6．计算：


(1) (2)


(3)


解：(1) ＝＝


＝＝＝1；


(2) ＝＝＝2；


(3)解法一：lg14-2lg+lg7-lg18


=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)


=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．


解法二：lg14-2lg+lg7-lg18


=lg14-lg+lg7-lg18


=


评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.





题型五 含字母的对数计算


例7． 用，，表示下列各式：


．


解：（1）=（xy）-z=x+y- z


（2）=（


= +=2x+．


[跟踪训练] 5.若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是( )


A．lgax＝－lgaeq \f(1,x) B．(lgax)n＝nlgax


C．(lgax)n＝lgaxn D．lgax＝lga eq \f(1,x)


答案 A








题型六 换底公式灵活应用


例8 (1)求的值；


分析：利用换底公式统一底数；


解法（1）：原式=


解法（2）：原式=


(2)计算的值


分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；


解：原式=





例9 (1)设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值


(1)由已知分别求出x和y.


∵3x＝36,4y＝36，


∴x＝lg336，y＝lg436，


由换底公式得：


x＝eq \f(lg3636,lg363)＝eq \f(1,lg363)，y＝eq \f(lg3636,lg364)＝eq \f(1,lg364)，


∴eq \f(1,x)＝lg363，eq \f(1,y)＝lg364，


∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364








（2）已知，求





∵lg189＝a,18b＝5，∴lg185＝b.


∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg18(9×5),lg18(18×2))


＝eq \f(lg189＋lg185,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－a).


(3)已知2x＝3y＝5z，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求x，y，z.


令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，


∴x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，


∴eq \f(1,x)＝lgk2，eq \f(1,y)＝lgk3，eq \f(1,z)＝lgk5，


由eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，得lgk2＋lgk3＋lgk5＝lgk30＝1，


∴k＝30，


∴x＝lg230＝1＋lg215，y＝lg330＝1＋lg310，z＝lg530＝1＋lg56.








反思总结











利用对数运算性质化简与求值的原则和方法


(1)基本原则：


①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.


(2)两种常用的方法：


①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；


②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).


随堂检测














一、单选题


1．如果，则有（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】


利用指数化对数得可，


故选：C．


2．lg5＋lg53等于（ ）


A．0B．1C．－1D．lg5


【答案】A


【解析】


因为.


故选：A.


3．方程的解是（ ）


A．B．C．x＝1D．x＝2


【答案】B


【解析】


因为，所以，


所以，所以.


故选：B.


4．若实数a，b满足，则（ ）


A．B．C．D．1


【答案】D


【解析】


因为，所以，


．


故选：D．


5．在N＝lg(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )


A．b5B．2