初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用精品课件ppt

这是一份初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用精品课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了素养目标，方向角的定义，北偏东30°，南偏西45°，方向角的有关问题，也叫西南方向，80×cos25°，≈80×091，坡角有关的问题，水平面等内容，欢迎下载使用。

宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题.
3. 能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.
（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”, “南偏……”,的形式.
（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
有关方向角的实际问题——距离
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cs（90°－65°）
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile．

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向.一游客自景点A驾船以每分钟20 m的速度行驶了10分钟到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间(精确到1分钟)?
解:根据题意,得AC=20×10=200(m).如图所示,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ADC中, ,DC=AC·sin ∠CAD=200·sin 30°=100.在Rt△ADB中, .
例2 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
有关方向角的实际问题——预测路线
解：过A作AF⊥BC于点F， 则AF的长是A到BC的最短距离. ∵BD∥CE∥AF， ∴∠DBA=∠BAF=60°， ∠ACE=∠CAF=30°， ∴∠BAC=∠BAF－∠CAF =60°－30° =30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60°=30°=∠BAC， ∴BC=AC=12海里， ，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
解：过点P作PC⊥AB于点C． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，即 ， 解得 PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？
【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 α 表示.
坡度越大坡角越大坡面越陡
（1）斜坡的坡度是 ，则坡角α =____度.（2）斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.（3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
例1 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)
利用坡度、坡角解答大坝问题
解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF =∠α=60°，则AF=AB·sin60°= (m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则 (m).故改造后的坡长AE 为 m.
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比 ．求加固后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号)
解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于H，则GH=DE=2米，EH=DG=10米.
又∵AG=DG=10米，
例2 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
利用坡度、坡角解答山坡问题
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 　米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
1.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： ，
解：在Rt△CDE中，∵ ， ∴ ，
∴EF=AD=6m，AF=DE=7m.
∵四边形AFED是矩形，
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
在Rt△ABF中，∵∠B=45°，
∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）
2.如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：0.75、坡长为10 米的斜坡CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走40 米到达点 E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°=0.45）（　　）A．21.7米 B．22.4米C．27.4米 D．28.8米
1. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角 ∠ACB等于 ．
2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是（ ）
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
3. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ． (结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cs43°=0.73，tan43°=0.93)
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.
解：分别过点B , C作BE⊥AD于E ，CF⊥AD于F ，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)，
解：作DE⊥AB于E ， CF⊥AB于F ，由题意可知，DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.1米， ， ).  
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9 (米)．答： 路基下底的宽约为22.9米．
利用方向角、坡度解直角三角形