2020年山东省济宁市中考数学试卷
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2020年山东省济宁市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 的相反数是．
A． B． C． D．
2. 用四舍五入法将数精确到千分位的结果是．
A． B． C． D．
3. 下列各式是最简二次根式的是．
A． B． C． D．
4. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是．
A． B． C． D．
5. 一条船从海岛出发，以海里时的速度向正北航行，小时后到达海岛处．灯塔在海岛的北偏西方向上，在海岛的北偏西方向上．则海岛到灯塔的距离是．
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
6. 下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是．
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
平均数 | ||||
方差 |
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，方程的解是．
A． B． C． D．
8. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是．
A． B． C． D．
9. 如图，在中，点为的内心，，，．则的面积是．
A． B． C． D．
10. 小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（）个图案中有个正方体，第（）个图案中有个正方体，第（）个图案中有个正方体，按照此规律，从第个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共5题） |
11. 把多项式分解因式，结果是________．
12. 已知三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长可以是________（写出一个即可）．
13. 已如，则分式的值是________．
14. 如图，小明在距离地面米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是________米．
15. 如图，在四边形中，以为直径的半圆经过点，．与相交于点，，分别延长，相交于点，，．则的长是________．
| 三、 解答题（共7题） |
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 某校举行了“防溺水”知识竞赛．八年级两个班各选派名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图（如图所示）．
班级 | 八（）班 | 八（）班 |
最高分 | ||
众数 | ||
中位数 | ||
平均数 |
（1）统计表中，________，________，________；
（2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在成绩为分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．
18. 如图，在中，，点在上．
（1）求作：，使点在上，且；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若．求证：．
19. 在中，边的长为，边上的高为，的面积为．
（1）关于的函数关系式是________，的取值范围是________；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）将直线向上平移个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时的值．
20. 为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱．
（1）求辆大货车和辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用元，每辆小货车一次需费用元．若运输物资不少于箱，且总费用小于元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
21. 我们把方程称为圆心为、半径长为的圆的标准方程．例如，圆心为、半径长为3的圆的标准方程是．在平面直角坐标系中，与轴交于点，，且点的坐标为，与轴相切于点，过点，，的抛物线的顶点为．
（1）求的标准方程；
（2）试判断直线与的位置关系，并说明理由．
22. 如图，在菱形中，，点，，分别在边，上，，平分，点是线段上一动点（与点不重合）．
（1）求证：；
（2）当，时．
① 求周长的最小值；
② 若点是的中点，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】的相反数是：．
故选：
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．
2. 【答案】C
【解析】精确到千分位的结果是．
故选：
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3. 【答案】A
【解析】．是最简二次根式，符合题意；
．，不是最简二次根式，不符合题意；
．，不是最简二次根式，不符合题意；
．，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
4. 【答案】B
【解析】设所求正边形边数为，
则，
解得．
故选：
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
5. 【答案】C
【解析】如图．
根据题意得：，，
，
，
，
，
即海岛到灯塔的距离是海里．
故选：
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等腰三角形的判定和三角形的外角性质，关键是求出，题目比较典型，难度不大．
6. 【答案】C
【解析】乙和丁的平均数最小，
从甲和丙中选择一人参加比赛，
丙的方差最小，
选择丙参赛．
故选：
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7. 【答案】A
【解析】直线和直线相交于点
方程的解为．
故选：
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．
8. 【答案】B
【解析】由三视图可知，原几何体为圆锥，
，
．
故选：
【点评】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．
9. 【答案】B
【解析】过点作于点．
点为的内心，，
，
，
则，
，
，，
，
的面积．
故选：
【点评】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．
10. 【答案】D
【解析】第个图形中正方体的个数为，
第个图形中正方体的个数，
第个图形中正方体的个数，
第个图形中，正方体一共有（个），其中写有“心”字的正方体有个，
抽到带“心”字正方体的概率是．
故选：
【点评】本题主要考查概率公式及图形的变化规律，解题的关键是得出第个图形中正方体个数和概率公式．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】原式．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12. 【答案】；
【解析】根据三角形的三边关系，得
第三边应大于，而小于，
故第三边的长度，这个三角形的第三边长可以，．
故答案为：
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
13. 【答案】；
【解析】原式
，
当时，
原式．
故答案为：
【点评】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
14. 【答案】；
【解析】如图所示：过点作于点，
斜面坡度为，
，
，
在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，
，，
，
，，
，
，，
解得：，
故，
故：斜坡的长是．
故答案为：
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确得出是解题关键．
15. 【答案】；
【解析】连结，如图，
，
，
而，
，
，
，
，
；
设的半径为，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
．
故答案为
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．
三、 解答题
16. 【答案】
【解析】原式
，
当时，
原式
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17. 【答案】（1）；；
（2）
【解析】（1）八（）班的成绩为：、、、、、、、、、，
八（）班成绩为、、、、、、、、、，
所以、，，
故答案为：、、；
（2）设（）班学生为，，（）班学生为，，，
一共有种等可能结果，其中人来自不同班级共有种，
所以这两个人来自不同班级的概率是．
【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18. 【答案】（1）如图所示
（2）答案见解析
【解析】（1）如图：作出，即可得到；
（2）证明：如图，，，
．
【点评】本题考查了作图相似变换，等腰三角形的性质，平行线的判定等，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
19. 【答案】（1）；
（2）如图所示
（3）
【解析】（1）在中，边的长为，边上的高为，的面积为2，
，
，
关于的函数关系式是，
的取值范围为，
故答案为：，；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；
（3）将直线向上平移个单位长度后解析式为，
解，整理得，，
平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，
，
解得，（不合题意舍去）．
故此时的值为
【点评】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的性质，一次函数与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．
20. 【答案】（1）；
（2）当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元
【解析】（1）设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资，
由题意可得：，
解得：，
故：辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资，
（2）设有辆大货车，辆小货车，
由题意可得：，
，
整数，，；
当有辆大货车，辆小货车时，费用元，
当有辆大货车，辆小货车时，费用元，
当有辆大货车，辆小货车时，费用元，
，
当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，列二元一次方程组解实际问题的运用，总运费每吨的运费吨数的运用，解答时求出辆大货车与辆小货车一次运货的数量是关键．
21. 【答案】（1）
（2）是的切线
【解析】（1）如图，连接，，过点作于．设的半径为．
与轴相切于点，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
的标准方程为．
（2）结论：是的切线．
理由：连接，．
，
，
，
设抛物线的解析式为，
把代入，可得，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点，
，，，
，
，
，
是的切线．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，圆的方程，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
22. 【答案】（1）答案见解析
（2）；或
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是菱形的对角线，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）① 如图1，
过点作交的延长线于，连接，
，，
，
，
由（1）知，，
，
，
要使的周长最小，则最小，最小为，
在中，，，
，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
周长的最小值为；
② 1、当与线段相交时，交点记作点，如图2，连接，
点是的中点，
，
三角形的面积与四边形的面积比为，
，
，
，
点是的中点，
，
；
2、当与线段相交时，交点记作，如图3，
连接，，
点是的中点，
，
三角形的面积与四边形的面积比为，
，
，
，
点是的中点，
，设，
，，
由（1）知，，
是的角平分线，
，
，
，
，
过点作交的延长线于，
在中，，，
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，，
，
，
即的值为或．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，判断出点是的中点和点是的中点是解本题的关键．
