2020年山东省烟台市中考数学试卷
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2020年山东省烟台市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 的平方根是．
A． B． C． D．
2. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
3. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是．
A． B． C． D．无法确定
4. 如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是．
A．
B．
C．
D．
5. 如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据．
A．众数改变，方差改变
B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变
D．中位数不变，平均数不变
6. 利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是．
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式
7. 如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为．
A． B．
C． D．
8. 量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线交边于点，则的度数为．
A． B． C． D．
9. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品 “奔跑者”，其中阴影部分的面积为的是．
A．
B．
C．
D．
10. 如图，点为的重心，连接，并延长分别交，于点，，连接，若，，，则的长度为．
A． B． C． D．
11. 如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为．
A． B． C． D．
12. 如图，正比例函数，一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中，若，则自变量的取值范围是．
A．
B．或
C．
D．或
| 二、 填空题（共6题） |
13. 是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒以上，正常下载一部高清电影约需1秒．将用科学记数法表示为________．
14. 已知正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的内角和的度数为________．
15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ________．
16. 按如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为，则输出的结果为________．
17. 如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为________．
18. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
① ；② ；③ ；④ 关于的一元二次方程的一个根为，另一个根为．
其中正确结论的序号是________．
| 三、 解答题（共7题） |
19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了多少名学生？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用，，，，表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．
21. 新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售，两种型号的口罩只，共获利润元，其中，两种型号口罩所获利润之比为．已知每只型口罩的销售利润是型口罩的倍．
（1）求每只型口罩和型口罩的销售利润；
（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不超过型口罩的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？
22. 如图，在中，，对角线，经过点，，与交于点，连接并延长与交于点，与的延长线交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长（结果保留．
23. 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 | 男性岁） | 女性岁） | ||||
抽样人数（人 | ||||||
平均身高（厘米） | ||||||
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用________厘米，女性应采用________厘米；
（2）如图，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点距地面厘米．指示牌挂在两臂杆，的连接点处，点距地面厘米．臂杆落下时两端点，在同一水平线上，厘米，点在点的正下方厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序 | 计算结果（近似值） | 计算器按键顺序 | 计算结果（近似值） |
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
|
24. 如图，在等边三角形中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
【问题解决】
如图，若点在边上，求证：；
【类比探究】
如图，若点在边的延长线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
25. 如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段的长度最大时，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】的平方根是．
故选：
【点评】本题考查了平方根的定义．解题的关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
2. 【答案】A
【解析】．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图形重合．解题的关键是轴对称图形与中心对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3. 【答案】A
【解析】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，
这三个数中，实数离原点最远，所以绝对值最大的是：．
故选：
【点评】此题主要考查了有理数大小比较，正确掌握有理数大小的比较方法是解题关键．
4. 【答案】B
【解析】结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．
故选：
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图形的位置，难度不大．
5. 【答案】C
【解析】如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少，方差不变，
故选：
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．
6. 【答案】B
【解析】．按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项不符合题意；
．计算的值，按键顺序为：，故选项符合题意；
．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项不符合题意；
．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式是正确的，故选项不符合题意；
故选：
【点评】本题考查了科学计算器，熟练了解按键的含义是解题的关键．
7. 【答案】B
【解析】为等腰直角三角形，，
；
为等腰直角三角形，
；
为等腰直角三角形，
．
为等腰直角三角形，
，
的长度为．
故选：
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
8. 【答案】C
【解析】，，
，
，
．
故选：
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9. 【答案】D
【解析】最小的等腰直角三角形的面积，平行四边形面积为，中等的等腰直角三角形的面积为，最大的等腰直角三角形的面积为，则
．阴影部分的面积为，不符合题意；
．阴影部分的面积为，不符合题意；
．阴影部分的面积为，不符合题意；
．阴影部分的面积为，符合题意．
故选：
【点评】本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用分割法求阴影部分的面积．
10. 【答案】A
【解析】点为的重心，
，，
．
故选：
【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得为三角形的中位线．
11. 【答案】D
【解析】四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则
在中，，
，解得，
，
．
故选：
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
12. 【答案】D
【解析】由图象可知，当或时，双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方，即，
所以若，则自变量的取值范围是或．
故选：
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】将数据用科学记数法可表示为：．
故答案为：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
14. 【答案】；
【解析】正边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得，
解得．
，
即这个正多边形的内角和为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正多边形外角和与内角和等知识．解题的关键是明确正多边形的每个外角相等，且其和为，比较简单．
15. 【答案】且；
【解析】根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
16. 【答案】；
【解析】，
代入，得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键．
17. 【答案】；
【解析】平面直角坐标系如图所示，旋转中心是点，．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
18. 【答案】② ③ ④ ；
【解析】① 由二次函数的图象开口向上可得，对称轴在轴的右侧，，
，故① 错误；
② 由图象可知抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，
，
，故② 正确；
③ ，
，
，
，
，故③ 正确；
④ 抛物线与与轴的交点为，
抛物线为，
抛物线与轴的交点为，
的一个根为，根据根与系数的关系，另一个根为，故④ 正确；
故答案为② ③ ④
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：，然后根据图象判断其值．
三、 解答题
19. 【答案】原式，当，时，原式
【解析】，
，
，
，
当，时，
原式．
【点评】本题考查分式的混合运算，掌握计算法则，依据运算顺序进行计算是得出正确答案的前提．
20. 【答案】（1）名；
（2）如图所示：
（3）他俩选择不同项目的概率是．
【解析】（1）此次共调查的学生有：（名；
（2）足球的人数有：（人，补全统计图如下：
（3）根据题意画树状图如下：
共用种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有种，
则他俩选择不同项目的概率是．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21. 【答案】（1）每只型口罩的销售利润为：（元），每只型口罩的销售利润为：（元)；
（2）药店购进型口罩只、型口罩只，才能使销售总利润最大，增大利润为元．
【解析】（1）设销售型口罩只，销售型口罩只，根据题意得：
，解答，
经检验，，是原方程组的解，
每只型口罩的销售利润为：（元，每只型口罩的销售利润为：（元．
故每只型口罩和型口罩的销售利润分别为元，元．
（2）根据题意得，，
，解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
即药店购进型口罩只、型口罩只，才能使销售总利润最大，增大利润为元．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况．
22. 【答案】（1）答案见解析；
（2）的长度．
【解析】（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）四边形是平行四边形，
，
过作于，
则四边形是矩形，
，
，，
的长度．
【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 【答案】（1），；
（2）两臂杆的夹角为．
【解析】（1）用表格可知，男性应采用厘米，女性应采用厘米．
故答案为，
（2）如图中，，，
，，
由题意，
，
，
，
故两臂杆的夹角为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，样本平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24. 【答案】【问题解决】答案见解析；
【类比探究】线段，与之间的等量关系是；理由见解析．
【解析】【问题解决】证明：在上截取，如图所示：
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
【类比探究】解：线段，与之间的等量关系是；理由如下：
是等边三角形，
，
过作，交的延长线于点，如图所示：
，
，，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
25. 【答案】（1）；
（2）有最大值，此时，点；
（3）存在，或．
【解析】（1）设，则，则点、的坐标分别为、，
则，解得：，
故点、的坐标分别为、，
则抛物线的表达式为：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）对于，令，则，故点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点的横坐标为，则点，则点，
则，
，故有最大值，此时，点；
（3）存在，理由：
点，，则，，
以点，，为顶点的三角形与相似，
则，即或，即或，
解得：或（舍去）或或（舍去），
故或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
