2020年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
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2020年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
|
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|
| 一、 选择题（共10题） |
1. 实数的绝对值是．
A． B． C． D．
2. 已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是．
A．
B．
C．
D．
3. 函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的是．
A．
B．
C．
D．
4. 下列计算错误的是．
A． B．
C． D．
5. 将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，，，，则的大小为．
A． B． C． D．
6. 一次数学测试，某小组名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）
组员 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 | 平均成绩 | 众数 |
得分 | ■ | ■ |
则被遮盖的两个数据依次是．
A．， B．， C．， D．，
7. 在四边形中，，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长为．
A． B． C． D．
8. 下列说法正确的是．
①的值大于；
② 正六边形的内角和是，它的边长等于半径；
③ 从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是；
④ 甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定．
A．① ② ③ ④ B．① ② ④ C．① ④ D．② ③
9. 如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到，再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到，，设，，，，的面积分别为，，，，如此下去，则的值为．
A． B． C． D．
10. 鄂尔多斯动物园内的一段线路如图所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午发车，以后每隔分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图所示，下列结论错误的是．
A．第一班车离入口处的距离（米）与时间（分）的解析式为
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为分钟
C．小聪在花鸟馆游玩分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了分钟（假设小聪步行速度不变）
| 二、 填空题（共6题） |
11. 截至年月日，全球新冠肺炎确诊病例已超过万例，其中数据万用科学记数法表示为________．
12. 计算：________．
13. 如图，是的直径，弦，垂足为，，，则阴影部分面积________．
14. 如图，平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点的纵坐标分别为，，反比例函数的图象经过，两点，若菱形的面积为，则的值为________．
15. 如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是________．
16. 如图，已知正方形，点是边延长线上的动点（不与点重合），且，由平移得到，若过点作，为垂足，则有以下结论：
① 点位置变化，使得时，；
② 无论点运动到何处，都有；
③ 在点的运动过程中，四边形可能成为菱形；
④ 无论点运动到何处，一定大于．
以上结论正确的有________（把所有正确结论的序号都填上）．
| 三、 解答题（共8题） |
17. （1）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：，其中满足．
18. “学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有种：小时，小时，小时，小时，已知该班共有人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
九年级（一班女生一周复习时间频数分布表
复习时间 | 频数（学生人数） |
小时 | |
小时 | |
小时 | |
小时 |
（1）统计表中________，该班女生一周复习时间的中位数为________小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为小时所对应圆心角的度数为________；
（3）该校九年级共有名学生，通过计算估计一周复习时间为小时的学生有多少名？
（4）在该班复习时间为小时的女生中，选择其中四名分别记为，，，，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中和的概率．
19. 如图，一次函数的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求函数和的表达式；
（2）已知点，试在该一次函数图象上确定一点，使得，求此时点的坐标．
20. 图是挂墙式淋浴花洒的实物图，图是抽象出来的几何图形．为使身高的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置，花洒的最高点与人的头顶的铅垂距离为，已知龙头手柄长为，花洒直径是，龙头手柄与墙面的较小夹角，，则安装时，旋转头的固定点与地面的距离应为多少？（计算结果精确到，参考数据：，，）
21. 我们知道，顶点坐标为的抛物线的解析式为．今后我们还会学到，圆心坐标为，半径为的圆的方程，如：圆心为，半径为的圆的方程为．
（1）以为圆心，为半径的圆的方程为________．
（2）如图，以为圆心的圆与轴相切于原点，是上一点，连接，作，垂足为，延长交轴于点，已知．
① 连接，证明：是的切线；
② 在上是否存在一点，使？若存在，求点的坐标，并写出以为圆心，以为半径的的方程；若不存在，请说明理由．
22. 某水果店将标价为元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第天算起，第天（为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天） | |
销量（斤） | |
储藏和损耗费用（元） |
已知该水果的进价为元/斤，设销售该水果第（天）的利润为（元），求与（）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
23.
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
① 请按要求画图：将绕点顺时针方向旋转，点的对应点为点，点的对应点为点．连接；
② 在① 中所画图形中，________．
（2）【问题解决】
如图，在中，，，延长到，使，将斜边绕点顺时针旋转到，连接，求的度数．
（3）【拓展延伸】
如图，在四边形中，，垂足为，，，，(为常数），求的长（用含的式子表示）．
24. 如图，抛物线交轴于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点为轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度；
（3）如图，连接，点在抛物线上，且满足，求点的坐标．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】实数的绝对值是：．
故选：
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2. 【答案】C
【解析】由三视图知，该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，
符合这一条件的是选项几何体．
故选：
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
3. 【答案】C
【解析】由题意得：，
解得：，
在数轴上表示为．
故选：
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件和在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．
4. 【答案】D
【解析】．，原式计算正确，不合题意；
．，原式计算正确，不合题意；
．，原式计算正确，不合题意；
．，原式计算错误，符合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5. 【答案】B
【解析】四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
故选：
【点评】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
6. 【答案】D
【解析】设丙的成绩为，
则，
解得，
丙的成绩为，
在这名学生的成绩中出现次数最多，
所以众数为，
所以被遮盖的两个数据依次是，．
故选：
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
7. 【答案】A
【解析】如图，
连接，
由题可得，点和点在的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，．
在中，
，
，
即，
解得．
故选：
【点评】本题考查了基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定垂直平分是解决问题的关键．
8. 【答案】B
【解析】①的值约为，大于，此说法正确；
② 正六边形的内角和是，它的边长等于半径，此说法正确；
③ 从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是，此说法错误；
④ ，，
，故乙的射击成绩比甲稳定，此说法正确．
故选：
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握多边形的内角和与半径的定义与性质、概率公式、方差的意义．
9. 【答案】B
【解析】
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
同理可求：，，
，
．
故选：
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到的规律是解题的关键．
10. 【答案】C
【解析】由题意得，可设第一班车离入口处的距离（米）与时间（分）的解析式为：，
把，代入，得，
解得，
第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达为；
故选项不合题意；
把代入，解得，
（分），
第一班车从入口处到达塔林所需时间分钟；
故选项不合题意；
设小聪坐上了第班车，则
，解得，
小聪坐上了第班车，
故选项符合题意；
等车的时间为分钟，坐班车所需时间为：（分），
步行所需时间：（分），
（分），
比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了分钟．
故选项不合题意．
故选：
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】万．
故答案为：．
【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法中的要求和的指数的表示规律为关键，
12. 【答案】；
【解析】原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
13. 【答案】；
【解析】连接．
，
，，
，
，
，
，
，都是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
14. 【答案】；
【解析】过点作轴的垂线，交的延长线于点，
轴，
，
，两点在反比例函数的图象，且纵坐标分别为，，
，，
，，
菱形的面积为，
，即，
，
在中，，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
15. 【答案】；
【解析】如图，
是等边三角形，
，，
，
，
又，
，
，
，
点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动（，），
连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值．
故答案为．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16. 【答案】① ② ③ ④ ；
【解析】如图，
连接，．
由题可得，，
，
四边形是正方形，，
，，，
，
，
，，
，是等腰直角三角形，
，故② 正确；
当时，，
，
中，，
即，故① 正确；
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形不可能是菱形，故③ 错误，
点是边延长线上的动点（不与点重合），且，
，
，故④ 正确；
由上可得正确结论的序号为① ② ④ ．
故答案为① ② ④ ．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、 解答题
17. 【答案】（1）；
（2）；
【解析】（1）解不等式① ，得：，
解不等式② ，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的最小整数解为；
（2）原式
，
，
，
则原式．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和分式的化简求值，正确求出每一个不等式解集是基础，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
18. 【答案】（1）；
（2）
（3）名
（4）
【解析】（1）由题意知，该班女生一周复习时间的中位数为（小时），
故答案为：，；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为小时所对应的百分比为，
该班男生一周复习时间为小时所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）估计一周复习时间为小时的学生有（名）；
故：估计一周复习时间为小时的学生有名．
（4）画树状图得：
一共有种可能出现的结果，它们都是等可能的，恰好选中和的有种结果，
恰好选中和的概率为．
故答案为：恰好选中和的概率为．
【点评】本题考查的是扇形统计图和频数分布表及树状图法求概率的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
19. 【答案】（1）；
（2）
【解析】（1）把点代入函数得：，
．
，
，
，
点的坐标为，
把，代入得：
解得：
．
（2）方法一：点在一次函数上，
设点的坐标为，
，
解得：，
点的坐标为．
方法二：、，
，
的中垂线为：直线，
当时，，即，
点的坐标为．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
20. 【答案】
【解析】如图，
过点作地面的垂线，垂足为，过点作地面的平行线，交于点，
交于点，
在中，，，
则，
在中，，，
则，
，
故答案为：旋转头的固定点与地面的距离应为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
21. 【答案】（1）
（2）① 答案见解析
② 存在，；
【解析】（1）以为圆心，为半径的圆的方程为，
故答案为：；
（2）① 证明：是切线，
，
，，
，
又，，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
② 如图，连接，，
点，
，
，，
，
．
，
，
，
点，
，
点是的中点，
点，点，
点，
以为圆心，以为半径的的方程为．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，理解圆的方程定义是本题的关键．
22. 【答案】（1）
（2）；元
【解析】（1）设该水果每次降价的百分率为，
，
解得，，（舍去），
故：该水果每次降价的百分率是；
（2）由题意可得，
，
当时，取得最大值，此时，
由上可得，与（）之间的函数解析式是，第天时销售利润最大，最大利润是元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
23. 【答案】（1）① 所画图形见解析
②
（2）
（3）
【解析】（1）① 如图，即为所求．
由作图可知，是等腰直角三角形，
，
故答案为．
（2）如图中，过点作交的延长线于．
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）如图③ 中，
，，
，将绕点逆时针旋转得到，连接．则，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
24. 【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】（1）抛物线交轴于点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）抛物线与轴于，两点，
点，
点，点，
，
，
如图，当点在点上方时，
，
，
，
，
；
若点在点下方时，
，
，
，
，
，
综上所述：线段的长度为或；
（3）如图，在上截取，连接，过点作，
点，点，
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，当点在的下方时，设与轴交于点，
，
，
，
点，
又点，
直线解析式为：，
联立方程组得：，
解得：或，
点坐标为：，
当点在的上方时，同理可求直线解析式为：，
联立方程组得：，
解得：或，
点坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，求出是本题的关键．
