九年级数学上册课时精讲（全册，含答案，212页）

 学期衔接训练一、选择题1．计算－9的结果是( B  )A．－　　B.　　C．－　　D.2．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D  )A．5  B.  C.  D．5或3．种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众数分别是( C  )A．13.5，20  B．15，5  C．13.5，14  D．13，14,第5题图) ,第8题图)4．根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为( A  )x－201y3p0A.1  B．－1  C．3  D．－35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是( B  )A．2  B．3  C．4  D．5二、填空题6．若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是__－2或3___．(只需填一个)7．若一组数据2，－1，0，2，－1，a的众数为2，则这组数据的平均数为_____．8．如图，已知一条直线经过点A(0，2)，B(1，0)，将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交于点C，D.若DB＝DC，则直线CD的函数解析式为__y＝－2x－2___ .三、解答题9．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB.(1)求证：∠ABE＝∠EAD；(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．解：(1)证∠ABE＝∠AEB＝∠EAD　(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE，∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，∴∠ABE＝2∠ADB，∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形      10．某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：(1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．解：(1)由图象得：出租车的起步价是8元；设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由函数图象，得解得故y与x的函数关系式为y＝2x＋2(2)当y＝32时，32＝2x＋2，x＝15，则这位乘客乘车的里程是15 km 
第二十一章　　　　　　第二十一章　一元二次方程21．1　一元二次方程 1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式为__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___．3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的__解___，也叫做一元二次方程的__根___．知识点1：一元二次方程的概念1．下列方程是一元二次方程的是( D  )A．ax2＋bx＋c＝0　　　　B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0  D．(x－1)2－1＝02．关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2－9＝0，其中a的取值范围为( C  )A．a＞3　　　　　　　　B．a≥3C．a≠3  D．a＜33．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当m__≠±2___时，它是一元二次方程；当m__＝－2___时，它是一元一次方程．知识点2：一元二次方程的一般形式4．方程3x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( B  )A．3，5，－1  B．3，－5，1C．3，－5，－1  D．3，5，15．将一元二次方程2y2－1＝y化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．解：一般形式为2y2－y－1＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－，常数项是－1       知识点3：一元二次方程的解(根)6．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( C  )A．x2－x＋2＝0  B．x2＋x－2＝0C．x2－x－2＝0  D．x2＋1＝07．(2014·长沙)已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝__2___．知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系8．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( B  )A．x(5＋x)＝6  B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6  D．x(10－2x)＝69．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；解：6x2＝54，一般形式为6x2－54＝0     (2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.解：x(x－1)＝30，一般形式为x2－x－30＝0       
10．下列是方程3x2＋5x－2＝0的解的是( C  )A．x＝－1  B．x＝1C．x＝－2  D．x＝211．已知实数a，b满足a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的说法中正确的是( D  )A．x＝a，x＝b都不是该方程的解B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解D．x＝a，x＝b都是该方程的解12．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2015－a－b的值是( A  )A．2020  B．2010C．2016  D．201413．若方程(m－2)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是__m≥0且m≠2___．14．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长__(17－x)___厘米，列方程得__x2＋(17－x)2＝132___．15．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等．设小矩形的长为x，则可列出的方程为__x(2x－8)＝24___．16．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式．(1)a＝5，b＝－4，c＝－1；(2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2.解：(1)5x2－4x－1＝0(2)3x2－7x＋2＝0       17．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息；(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．解：(1)x(x－1)＝756，x2－x－756＝0(2)设这两个连续奇数分别为n，n＋2，则n2＋(n＋2)2＝130，2n2＋4n－126＝0     18．关于x的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0是一元二次方程，求a的值．解：由定义可得解得a＝－3    19．已知k是方程x2－101x＋1＝0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k2－100k＋的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由．(用方程根的定义解答)解：∵k2－101k＋1＝0，∴k2－100k＝k－1，k2＋1＝101k，原式＝k－1＋＝－1＝－1＝100         
21．2　解一元二次方程21．2.1　配方法第1课时　直接开平方法 1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±___或mx＋n＝__±___．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法1．方程x2－16＝0的根为( C  )A．x＝4　　　　　　　　B．x＝16C．x＝±4  D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D  )A．m＞0  B．m≥0C．m＜0  D．m≤03．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C  )A．0个  B．1个C．2个  D．3个4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±___．5．解下列方程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3  (2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2   (3)5x2＋8＝3.解：没有实数根   知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D  )A．x－6＝－4  B．x－6＝4C．x＋6＝4  D．x＋6＝－47．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D  )A．k＜1  B．k＜－1C．k≥1  D．k＞18．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±2___．9．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0    (2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋，x2＝2－    (3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋，x2＝1－     
10．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝__1___．11．若的值为0，则x＝__2___．12．由x2＝y2得x＝±y，利用它解方程(3x－4)2＝(4x－3)2，其根为__x＝±1___．13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的根为__x1＝3，x2＝－7___．14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C  )A．x2－3＝0  B．(x－1)2－4＝0C．x2＋2x＝0  D．(x－1)2＝(2x＋1)215．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A  )A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于316．若(x2＋y2－3)2＝16，则x2＋y2的值为( A  )A．7  B．7或－1C．－1  D．1917．解下列方程：(1)3(2x＋1)2－27＝0；解：x1＝1，x2＝－2   (2)(x－)(x＋)＝10；解：x1＝2，x2＝－2    (3)x2－4x＋4＝(3－2x)2；解：x1＝1，x2＝    (4)4(2x－1)2＝9(2x＋1)2.解：x1＝－，x2＝－     18．若2(x2＋3)的值与3(1－x2)的值互为相反数，求的值．解：由题意得2(x2＋3)＋3(1－x2)＝0，∴x＝±3.当x＝3时，＝；当x＝－3时，＝0       19．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab－4x2　(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝，x2＝－(舍去)，即正方形的边长为     
第2课时　配方法 1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．2．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．知识点1：配方1．下列二次三项式是完全平方式的是( B  )A．x2－8x－16　　　　　　　B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16  D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C  )A．3  B．－3C．±3  D．以上都不对3．用适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋＝(m__±___)2.知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D  )A．(x＋2)2＝1  B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9  D．(x－2)2＝95．下列配方有错误的是( D  )A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C  )A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋，x2＝－1－C．x1＝1＋，x2＝1－D．x1＝－1＋，x2＝－1－7．解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋，x2＝2－    (2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋，x2＝－3－    知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程8．解方程3x2－9x＋1＝0，两边都除以3得__x2－3x＋＝0___，配方后得__(x－)2＝___．9．方程3x2－4x－2＝0配方后正确的是( D  )A．(3x－2)2＝6  B．3(x－2)2＝7C．3(x－6)2＝7  D．3(x－)2＝10．解下列方程：(1)3x2－5x＝－2；解：x1＝，x2＝1  (2)2x2＋3x＝－1.解：x1＝－1，x2＝－    
11．对于任意实数x，多项式x2－4x＋5的值一定是( B  )A．非负数  B．正数C．负数  D．无法确定12．方程3x2＋x＝6，左边配方得到的方程是( B  )A．(x＋)2＝－  B．(x＋)2＝C．(x＋)2＝  D．(x＋)2＝613．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( B  )A．(x－p)2＝5  B．(x－p)2＝9C．(x－p＋2)2＝9  D．(x－p＋2)2＝514．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x＝__2___时，式子200－(x－2)2有最大值，最大值为__200___；当y＝__－1___时，式子y2＋2y＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程：(1)x2＝2－x；解：x1＝，x2＝－2     (2)3y2＋1＝2y.解：y1＝y2＝     17．把方程x2－3x＋p＝0配方得到(x＋m)2＝，求常数m与p的值．解：m＝－，p＝   18．试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0，∴无论a取何值，该方程都是一元二次方程   19．选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2＋(2－4)x，或x2－4x＋2＝(x＋)2－(4＋2)x；③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2－x2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方；(2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值．解：(1)x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4＝(x－4)2－12；x2－8x＋4＝(x－2)2＋4x－8x＝(x－2)2－4x　(2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，(x2＋xy＋y2)＋(y2－3y＋3)＝0，(x＋y)2＋(y－2)2＝0，又∵(x＋y)2≥0，(y－2)2≥0，∴x＋y＝0，y－2＝0，∴x＝－1，y＝2，则xy＝(－1)2＝1    
21．2.2　公式法 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0___时，x＝，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式___．2．式子__b2－4ac___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x的方程有实数根的是( C  )A．x2－x＋1＝0　　　　　　　B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0  D．(x－1)2＋1＝02．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B  )A．b2－4ac＝0  B．b2－4ac＞0C．b2－4ac＜0  D．b2－4ac≥03．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D  )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)9x2－6x＋1＝0；解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根     (2)8x2＋4x＝－3；解：化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根  (3)2(x2－1)＋5x＝0.解：化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根  知识点2：用公式法解一元二次方程5．方程5x＝2x2－3中，a＝__2___，b＝__－5___，c＝__－3___，b2－4ac＝__49___．6．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__25___，可得x1＝__3___，x2＝__－2___．7．方程x2－x－1＝0的一个根是( B  )A．1－  B.C．－1＋  D.8．用公式法解下列方程：(1)x2－3x－2＝0；解：x1＝，x2＝  (2)8x2－8x＋1＝0；解：x1＝，x2＝  (3)2x2－2x＝5.解：x1＝，x2＝   
9．(2014·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B  )A．m＞  B．m＜C．m＝  D．m＜－10．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是( C  )A．k＞－1  B．k＜1且k≠0C．k≥－1且k≠0  D．k＞－1且k≠011．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__a≥－5___．13．用公式法解下列方程：(1)x(2x－4)＝5－8x；解：x1＝，x2＝     (2)(3y－1)(y＋2)＝11y－4.解：y1＝，y2＝    14．当x满足条件时，求出方程x2－2x－4＝0的根．解：解不等式组得2<x<4，解方程得x1＝1＋，x2＝1－，∴x＝1＋        15．(2014·梅州)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)a＝，另一个根为x＝－(2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根   16．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤且a≠6，∴a的最大整数值为7　(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝＝4±，即x1＝4＋，x2＝4－ 17．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形　(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形　(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1 
21．2.3　因式分解法 1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．知识点1：用因式分解法解一元二次方程1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( C  )A．x＝2　　　　　　　　　B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3  D．x1＝2，x2＝－32．一元二次方程x(x－5)＝5－x的根是( D  )A．－1  B．5C．1和5  D．－1和53．(2014·永州)方程x2－2x＝0的解为__x1＝0，x2＝2___．4．方程x2－2x＋1＝0的根是__x1＝x2＝1___．5．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4＝0；解：x1＝2，x2＝－2  (2)x2－2x＝0；解：x1＝0，x2＝2  (3)(3－x)2－9＝0；解：x1＝0，x2＝6   (4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.解：x1＝1，x2＝   知识点2：用适当的方法解一元二次方程6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0时，我们可以将x＋1看成一个整体，设x＋1＝y，则原方程可化为y2－5y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝3.当y＝2时，即x＋1＝2，解得x＝1；当y＝3时，即x＋1＝3，解得x＝2，所以原方程的解为x1＝1，x2＝2.利用这种方法求方程(2x－1)2－4(2x－1)＋3＝0的解为( C  )A．x1＝1，x2＝3  B．x1＝－1，x2＝－3C．x1＝1，x2＝2  D．x1＝0，x2＝－17．用适当的方法解方程：(1)2(x－1)2＝12.5；解：用直接开平方法解，x1＝3.5，x2＝－1.5   (2)x2＋2x－168＝0；解：用配方法解，x1＝12，x2＝－14    (3)x2＝2x；解：用因式分解法解，x1＝0，x2＝    (4)4x2－3x－2＝0.解：用公式法解，x1＝，x2＝   
8．方程x(x－1)＝－x＋1的解为( D  )A．x＝1  B．x＝－1C．x1＝0，x2＝－1  D．x1＝1，x2＝－19．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A  )A．(2x＋2)(3x＋4)＝0化为2x＋2＝0或3x＋4＝0B．(x－3)(x＋1)＝1化为x－3＝1或x＋1＝1C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3D．x(x－2)＝0化为x－2＝010．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C  )A．11  B．11或13C．13  D．以上都不对11．(2014·陕西)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值是( B  )A．1或4  B．－1或－4C．－1或4  D．1或－412．已知x＝1是关于x 的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为__0或1___．13．已知(x2＋2x－3)0＝x2－3x＋3，则x＝__2___．14．用因式分解法解下列方程：(1)x2－3x＝x－4；解：x1＝x2＝2   (2)(x－3)2＝3(x－3)．解：x1＝3，x2＝6   15．用适当的方法解下列方程：(1)4(x－1)2＝2；解：x1＝，x2＝    (2)x2－6x＋4＝0；解：x1＝3＋，x2＝3－   (3)x2－4＝3x－6；解：x1＝1，x2＝2    (4)(x＋5)2＋x2＝25.解：x1＝－5，x2＝0   16．一跳水运动员从10 m高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m)与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？ 解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s   17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___． 
专题训练(一)　一元二次方程的解法及配方法的应用 一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x－1)2＝225；解：x1＝4，x2＝－  (2)(x－2)2＝8；解：x1＝2＋2，x2＝2－2   (3)9x2－6x＋1＝9；解：x1＝，x2＝－   (4)3(2x＋1)2－2＝0.解：x1＝－＋，x2＝－－    2．用配方法解方程：(1)2t2－3t＝－1；解：t1＝，t2＝1    (2)2x2＋5x－1＝0；解：x1＝，x2＝    (3)(2x－1)(3x－1)＝3－6x；解：x1＝，x2＝－    (4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.解：x1＝4，x2＝2    3．用公式法解方程：(1)x2＝6x＋1; 解：x1＝3＋，x2＝3－    (2)0.2x2－0.1＝0.4x；解：x1＝，x2＝    (3)x－2＝2x2.解：原方程无实数根    4．用因式分解法解方程：(1)(x－1)2－2(x－1)＝0；解：x1＝3，x2＝1    (2)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)；解：x1＝3，x2＝    (3)(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.解：x1＝x2＝3   5．用适当的方法解方程：(1)2(x－3)2＝x2－9；解：x1＝3，x2＝9    (2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；解：x1＝，x2＝    (3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.解：x1＝1，x2＝－3    二、配方法的应用(一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x2－x－1＝－(x＋)2－，∵－(x＋)2≤0，∴－(x＋)2－＜0，故结论成立．当x＝－时，－x2－x－1有最大值－  7．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5     (二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝12     9．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形      
21．2.4　一元二次方程的根与系数的关系 1．若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－p___，x1x2＝__q___．2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－___，x1x2＝_____．3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax2＋bx＋c＝0___；(2)二次方程，即__a≠0___；(3)有根，即__b2－4ac≥0___．知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的值是( C  )A．0　　　　B．2　　　　C．－2　　　　D．42．(2014·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于( C  )A．－4  B．－1  C．1  D．43．已知方程x2－6x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( D  )A．－8  B．－4  C．8  D．44．已知x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝__－6___．5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x2＋3x＋1＝0；解：x1＋x2＝－3，x1x2＝1  (2)2x2－4x－1＝0；解：x1＋x2＝2，x1x2＝－  (3)2x2＋3＝5x2＋x.解：x1＋x2＝－，x1x2＝－1 6．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x12＋x22；　　　　　(2)＋.解：(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11(2)＋＝＝－3  知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则( B  )A．b＞0  B．b＝0  C．b＜0  D．c＝08．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根和c分别为( C  )A．1，2  B．2，4  C．4，8  D．8，169．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是( A  )A．－10  B．10  C．－6  D．－110．(2014·烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( D  )A．－1或5  B．1  C．5  D．－111．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．解：由根与系数的关系得又∵x1＝3x2③，联立①③，解方程组得∴k＝x1x2＋3＝3×1＋3＝6 
12．已知一元二次方程x2－2x＋2＝0，则下列说法正确的是( D  )A．两根之和为2  B．两根之积为2C．两根的平方和为0  D．没有实数根13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B  )A．x2＋6x＋8＝0  B．x2－6x＋8＝0C．x2－6x－8＝0  D．x2＋6x－8＝014．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为( B  )A．5  B．－5  C．1  D．－115．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( C  )A．－2或3  B．3C．－2  D．－3或216．(2014·呼和浩特)已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝__8___．17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x2－9x＋8＝0___．18．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，求(x1＋x2)2÷(＋)的值．解：由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴(x1＋x2)2÷(＋)＝x1x2(x1＋x2)＝4         19．已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．解：(1)方程整理为x2－2(k－1)x＋k2＝0，由题意得Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴k≤　(2)由题意得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1，∵k≤，∴－2(k－1)＝k2－1，整理得k2＋2k－3＝0，解得k1＝－3，k2＝1(舍去)，∴k＝－3        20．设x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，求x13＋2016x2－2015的值．解：x2－x－2015＝0，∴x2＝x＋2015，x＝x2－2015.又∵x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，∴x13＋2016x2－2015＝x1·x12＋2016x2－2015＝x1·(x1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016     
21.3　实际问题与一元二次方程第1课时　用一元二次方程解决传播问题 1．列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：①审题，弄清已知量、__未知量___；②设未知数，并用含有__未知数___的代数式表示其他数量关系；③根据题目中的__等量关系___，列一元二次方程；④解方程，求出__未知数___的值；⑤检验解是否符合问题的__实际意义___；⑥写出答案．2．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为__10b＋a___，若交换两个数位上的数字，则得到的新两位数为__10a＋b___．知识点1：倍数传播问题1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出小分支的个数为x，则依题意可列方程为__1＋x＋x2＝91___．2．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意得60(1＋x)2＝24000，解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)，则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌　(2)60×(1＋19)3＝60×203＝480000(个)，则经过三轮培植后共有480000个有益菌  知识点2：握手问题3．(2014·天津)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( B  )A.x(x＋1)＝28　　　　　B.x(x－1)＝28C．x(x＋1)＝28  D．x(x－1)＝284．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手210次，设有x人参加这次聚会，则依题意可列出方程为__＝210___．5．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？解：设有x家公司出席了这次交易会，根据题意得x(x－1)＝78，解得x1＝13，x2＝－12(不合题意，舍去)，故有13家公司出席了这次交易会   知识点3：数字问题6．两个连续偶数的和为14，积为48，则这两个连续偶数是__6和8___．7．已知一个两位数比它的个位上的数的平方小6，个位上的数与十位上的数的和是13，求这个两位数．解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(13－x)，由题意得10(13－x)＋x＋6＝x2，整理得x2＋9x－136＝0，解得x1＝8，x2＝－17(不合题意，舍去)，∴13－x＝5，则这个两位数是58  
8．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是( B  )A．x(x＋1)＝132  B．x(x－1)＝132C．x(x＋1)＝132×2  D．x(x－1)＝132×29．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场( C  )A．4个　　　B．5个　　　C．6个　　　D．7个10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( D  )  日一二三四五六   12345678910111213141516171819202122232425262728293031 A.32　　　B．126　　　C．135　　　D．14411．一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的直角边长为x，则根据题意列出的方程为__x2＋(x－1)2＝(x＋1)2___．12．某剧场共有1050个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少17，求每行的座位数．解：设每行的座位数为x个，由题意得x(x＋17)＝1050，解得x1＝25，x2＝－42(不合题 意，舍去)，则每行的座位数是25个   13．有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信，经过两轮微信的发送，共有56人手机上获得同一条微信，则每轮一个人要向几个人发送微信？解：设每轮一个人要向x个人发微信，由题意得x(x＋1)＝56，解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)，则每轮一个人要向7个人发送微信    14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则1＋x＋x(x＋1)＝64，解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)，即每轮传染中平均一个人传染7个人　(2)64×7＝448(人)   15．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3，由题意得10(x－3)＋x＝x2，解得x1＝5，x2＝6.当x＝5时，周瑜的年龄为25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜的年龄为36岁，符合题意，则周瑜去世时的年龄为36岁　   16．(1)n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有__(n－3)___条；(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．解：(2)设这个凸多边形是n边形，由题意得＝14，解得n1＝7，n2＝－4(舍去)，则这个多边形是七边形　(3)不存在．理由：假设存在n边形有21条对角线，由题意得＝21，解得n＝，因为多边形的边数为正整数，但不是正整数，故不合题意，所以不存在有21条对角线的凸多边形 
第2课时　用一元二次方程解决增降率问题 1．若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)___，第二次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)(1±x)___，即__a(1±x)2___．2．某商品进价为a元，售价为b元，则利润为__(b－a)___元，若一天的销售量为c，则总利润为__(b－a)c___元．知识点1：平均变化率问题1．(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( D  )A．144(1－x)2＝100　　　B．100(1－x)2＝144C．144(1＋x)2＝100  D．100(1＋x)2＝1442．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是( A  )A．10%　　　B．15%　　　C．20%　　　D．25%3.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为__20%___．4．(2014·沈阳)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x，根据题意得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－1.2(不合题意，舍去)，则所求增长率为20%       知识点2：市场经济问题5．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为__10%___；经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件，若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品__880___件．6．(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价是x元，由题意得(x－40)[180－10(x－52)]＝2000，整理得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50，x2＝60.当x＝50时，进货180－10(x－52)＝200，不舍题意，舍去；当x＝60时，进货180－10(x－52)＝100，符合题意，则该商品应进货100个，定价为60元    7．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了x件这种服装，根据题意得[80－2(x－10)]x＝1200，解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不符合题意，舍去，∴x＝20，则她购买了20件这种服装   
8．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( C  )A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1969．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A  )A．(x＋3)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝1510．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x)2___万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.解：根据题意得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，∴可变成本平均每年增长的百分率是10%         11．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．(1)填表(不需化简)： 时间第1个月第2个月清仓时单价(元)8080－x 40销售量(件)200200＋10x 800－200－(200＋10x) (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？解：依据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000，整理得x2－20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10，当x＝10时，80－x＝70＞50，则第二个月的单价应是70元    12．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为__26.8___万元；(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)解：设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为28－[27－0.1(x－1)]＝(0.1x＋0.9)(万元)．当0＜x≤10，根据题意，得x(0.1x＋0.9)＋0.5x＝12，整理得x2＋14x－120＝0，解得x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6；当x＞10时，根据题意，得x(0.1x＋0.9)＋x＝12，整理得x2＋19x－120＝0，解得x1＝－24(不合题意，舍去)，x2＝5，因为5＜10，所以x2＝5舍去，则需要售出6部汽车    
第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与__已知量___的内在联系，根据__面积(体积)___公式列出一元二次方程．2．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为__5___cm.知识点1：一般图形的面积问题1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( C  )A．5 m　　　B．6 m　　　C．7 m　　　D．8 m2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B  )A．x(20＋x)＝64  B．x(20－x)＝64C．x(40＋x)＝64  D．x(40－x)＝643．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为__2_cm，7_cm___．4．(2014·湘潭)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.解：设AB＝ x m，则BC＝(50－2x) m，根据题意得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15，当x＝10，BC＝50－2×10＝30＞25，故x1＝10不合题意，舍去，∴x＝15，则可以围成AB为15 m，BC为20 m的矩形     知识点2：边框与通道问题5．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草．若种植花草的面积为540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( A  )A．(20－x)(32－x)＝540B．(20－x)(32－x)＝100C．(20＋x)(32－x)＝540D．(20－x)(32＋x)＝540,第5题图)　　,第6题图)6．(2014·兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程__(22－x)(17－x)＝300___．7．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度．解：由题意得(26－2x)(20－2x)＝280，整理得x2－23x＋60＝0，解得x1＝3，x2＝20(不合题意，舍去)，则相框边的宽度为3 cm      
8．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( B  )A．100 m2  B．64 m2C．121 m2  D．144 m29．如图，正方形ABCD的边长是1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( A  )A．2－  B．2＋C．2＋  D.－2,第9题图)　　,第11题图)10．在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽为__1___米．11．如图，已知点A是一次函数y＝x－4图象上的一点，且矩形ABOC的面积等于3，则点A的坐标为__(3，－1)或(1，－3)___．12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x)＝3600，整理得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70，∵x2＝70＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米    13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm，由题意得x2＋(10－x)2＝58，解得x1＝3，x2＝7，4×3＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段　(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48，化简得x2－10x＋26＝0，因为Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的  14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时 ，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1　(2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2　(3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7，此方程无解，所以不能  
专题训练(二)　一元二次方程的实际应用 一、循环、传播问题1．我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序且是国家法律明令禁止的，你了解传销吗？某传销组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人计划发展下线多少人？解：设每个人计划发展下线x人，由题意得2＋2x＋2x2＝114，解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)，∴每个人计划发展下线7人       2．参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有多少个队参加比赛？解：设共有x个队参加比赛，由题意得x(x－1)＝30，解得x1＝6，x2＝－5(不合题意，舍去)，∴x＝6，则共有6个队参加比赛        二、增长率与利润问题3．(2014·桂林)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1月至3月统计，该品牌电动自行车1月销售150辆，3月销售216辆．(1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率．(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？解：(1)设月平均增长率为x，由题意得150(1＋x)2＝216，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，∴x＝0.2＝20%，即月平均增长率为20%　(2)由(1)得2月份的销售量为150×(1＋20%)＝180，则1月至3月的销售总量为150＋180＋216＝546(辆)，∴1月至3月共盈利(2800－2300)×546＝27300(元)    4．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋(4－6)[600－200－(200＋50x)]＝1250，整理得x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，∴10－x＝9，则第二周的销售价格为9元   
5.某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？解：(1)设平均每次降价的百分率为x，依题意得5000(1－x)2＝4050，解得x1＝10%，x2＝(不合题意，舍去)，则平均每次降价的百分率为10%(2)方案①的房款是4050×100×0.98＝396900(元)，另外需在两年内付物业管理费1.5×100×12×2＝3600(元)；方案②的房款是4050×100＝405000(元)，故在同等条件下方案①需付款396900＋3600＝400500(元)．∵400500＜405000，∴选方案①更优惠    三、几何图形问题6．如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一蚂蚁由A以2 cm/s的速度向B爬行，同时另一蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，问几秒钟后两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2?解：分两种情况讨论：(1)当由A点出发的蚂蚁到达O点之前，设离开A点t s后，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2，根据题意得(50－2t)·3t＝450，整理得t2－25t＋150＝0，解得t1＝15，t2＝10；(2)当由A点出发的蚂蚁爬完OA这段距离用了＝25(s)后，开始由O向B爬行，设从O点开始x秒钟后，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2，根据题意得·2x·3(25＋x)＝450，整理得x2＋25x－150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题意，舍去)，当x＝5时，x＋25＝30，这只蚂蚁已由A点爬行了30 s．综上可知，分别在10 s，15 s，30 s时，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2     7．在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请你设计出草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．解：(1)不符合．设小路宽度均为x m，根据题意得(16－2x)(12－2x)＝×16×12，解得x1＝2，x2＝12，但x2＝12不符合题意，应舍去，∴x＝2，故小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m　(2)答案不唯一，略 
第二十二章　　　　　　　第二十二章　二次函数22．1　二次函数的图象和性质22．1.1　二次函数 1．设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y＝__x2___，其中变量是__x，y___，__y___是__x___的函数．2．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(__a，b，c为常数且a≠0___)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别为二次项系数、一次项系数、常数项．知识点1：二次函数的定义1．下列函数是二次函数的是( C  )A．y＝2x＋1　　　　　　　　B．y＝－2x＋1C．y＝x2＋2  D．y＝0.5x－22．下列说法中，正确的是( B  )A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数C．y＝(x－1)(x＋4)不是二次函数D．在y＝1－x2中，一次项系数为13．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a≠－3___．4．已知二次函数y＝1－3x＋2x2，则二次项系数a＝__2___，一次项系数b＝__－3___，常数项c＝__1___．5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.(1)当__a≠2___时，x，y之间是二次函数关系；(2)当__a＝2且b≠－2___时，x，y之间是一次函数关系．6．已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值．解：根据题意，得m2－2＝2，且m－2≠0，解得m＝－2     知识点2：实际问题中的二次函数的解析式7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y元与售价x元的函数关系式为( B  )A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350x＋7350D．y＝－10x2＋350x－73508．某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝x2(x＞0)，若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为( C  )A．40 m/s  B．20 m/sC．10 m/s  D．5 m/s9．(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝__a(1＋x)2___．10．多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为__d＝n2－n___，自变量n的取值范围是__n≥3且为整数___；当d＝35时，多边形的边数n＝__10___．11．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？解：(1)S＝x(24－3x)，即S＝－3x2＋24x　(2)当S＝45时，－3x2＋24x＝45，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，24－3x＝15＞10，不合题意，舍去；当x＝5时，24－3x＝9＜10，符合题意，故AB的长为5米    
12．已知二次函数y＝ x2－2x－2，当x＝2时，y＝__－2___；当x＝__3或－1___时，函数值为1.13．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为__y＝16－x2(0＜x＜4)___，它是__二次___函数．14．设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是( C  )A．正比例函数  B．一次函数C．二次函数  D．以上都不正确15．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( A  )A．6厘米  B．12厘米C．24厘米  D．36厘米16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.设底面的宽为x，抽屉的体积为y时，求y与x之间的函数关系式．(材质及其厚度等暂忽略不计)解：根据题意得y＝20x(90－x)，整理得y＝－20x2＋1800x      17．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围．解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)         18．一块矩形的草坪，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.(1)求y与x的函数关系式；(2)若使草坪的面积增加32 m2，求长和宽都增加多少米？解：(1)y＝x2＋14x(x≥0)(2)当y＝32时，x2＋14x＝32，x1＝2，x2＝－16(舍去)，即长和宽都增加2 m        19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.(1)求y与x之间函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)四边形APQC的面积能否等于172 mm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．解：(1)由运动可知，AP＝2x，BQ＝4x，则y＝BC·AB－BQ·BP＝×24×12－×4x(12－2x)，即y＝4x2－24x＋144(2)0＜x＜6　(3)当x＝172时，4x2－24x＋144＝172，解得x1＝7，x2＝－1.又∵0＜x＜6，∴四边形APQC的面积不能等于172 mm2  
22．1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质 1．由解析式画函数图象的步骤是__列表___、__描点___、__连线___．2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一条直线___．3．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛物线___，其对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，0)___．4．抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于__x___轴对称．抛物线y＝ax2，当a＞0时，开口向__上___，顶点是它的最__低___点；当a＜0时，开口向__下___，顶点是它的最__高___点，随着|a|的增大，开口越来越__小___．知识点1：二次函数y＝ax2的图象及表达式的确定1．已知二次函数y＝x2，则其图象经过下列点中的( A  )A．(－2，4)　　　　　　　　B．(－2，－4)C．(2，－4)  D．(4，2)2．某同学在画某二次函数y＝ax2的图象时，列出了如下的表格： x－3－2.5－1 012.5 3y3625 404 2536(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是__y＝4x2___；(2)将表格中的空格补全．3．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，－)．(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．解：(1)y＝－x2，图象略(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴          知识点2：二次函数y＝ax2的图象和性质4．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是( B  )A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大5．已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( A  )A．y1＜y2＜y3  B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1  D．y2＜y1＜y36．已知二次函数y＝(m－2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是__m＜2___．7．二次函数y＝－x2的图象是一条开口向__下___的抛物线，对称轴是__y轴___，顶点坐标是__(0，0)___；当x__＞0___时，y随x的增大而减小；当x＝0时，函数y有__最大___(填“最大”或“最小”)值是__0___． 8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y＝x2___，当x＝__0___时，函数图象的最低点为__(0，0)___．9．已知二次函数y＝mxm2－2.(1)求m的值；(2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x取何值时，y随x的增大而减小；(3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并指出x取何值时，y随x的增大而增大．解：(1)m＝±2(2)m＝2，y最小＝0；x＜0(3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜0   
10．二次函数y＝x2和y＝5x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( C  )A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个11．已知a≠0，同一坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( C  )12．如图是下列二次函数的图象：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为__a＞b＞d＞c___．,第12题图)　　　,第14题图)13．当a＝__4___时，抛物线y＝ax2与抛物线y＝－4x2关于x轴对称；抛物线y＝－7x2关于x轴对称所得抛物线的解析式为__y＝7x2___；当a＝__±2___时，抛物线y＝ax2与抛物线y＝－2x2的形状相同．14．已知二次函数y＝2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，则△AOB的面积为__2___．15．已知正方形的周长为C(cm)，面积为S(cm2)．(1)求S与C之间的函数关系式；(2)画出所示函数的图象；(3)根据函数图象，求出S＝1 cm2时正方形的周长；(4)根据列表或图象的性质，求出C取何值时S≥4 cm2?解：(1)S＝C2(C＞0)　(2)图象略　(3)由图象可知，当S＝1 cm2时，正方形周长C是4 cm(4)当C≥8 cm时，S≥4 cm2     16．二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大；(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．解：(1)将(1，m)代入y＝2x－1得m＝2×1－1＝1，所以P点坐标为(1，1)．将P点坐标(1，1)代入y＝ax2得1＝a×12，∴a＝1　(2)y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大　(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴           17．如图，抛物线y＝x2与直线y＝2x在第一象限内有一个交点A.(1)你能求出A点坐标吗？(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得解得∴A(2，4)(2)存在满足条件的点P.当OA＝OP时，∵OA＝＝2，∴P1(－2，0)，P2(2，0)；当OA＝AP时，过A作AQ⊥x轴于Q，∴PQ＝OQ＝2，∴P3(4，0)；当PA＝PO时，设P点坐标为(x，0)，则x2＝(x－2)2＋42，解得x＝5，∴P4(5，0)．综上可知，所求P点的坐标为P1(－2，0)，P2(2，0)，P3(4，0)，P4(5，0)          
22．1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 1．二次函数y＝ax2＋k的图象是一条__抛物线___．它与抛物线y＝ax2的__形状___相同，只是__顶点位置___不同，它的对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，k)___．2．二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2__平移___得到，当k＞0时，抛物线y＝ax2向上平移__k___个单位得y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向__下___平移|k|个单位得y＝ax2＋k.知识点1：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1．抛物线y＝2x2＋2的对称轴是__y轴___，顶点坐标是__(0，2)___，它与抛物线y＝2x2的形状__相同___．2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下___，对称轴是__y轴___，顶点坐标是__(0，－2)___．3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－x2＋1的图象上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为__y1＜y2___．4．对于二次函数y＝x2＋1，当x＝__0___时，y最__小___＝__1___；当x__＞0___时，y随x的增大而减小；当x__＜0___时，y随x的增大而增大．5．已知二次函数y＝－x2＋4.(1)当x为何值时，y随x的增大而减小？(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？(4)求图象与x轴、y轴的交点坐标．解：(1)x＞0　(2)x＜0　(3)x＝0时，y最大＝4(4)与x轴交于(－2，0)，(2，0)，与y轴交于(0，4)         知识点2：二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移6．将二次函数y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是__y＝x2＋1___．7．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，则a＝__－3___，c＝__4___．8．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？解：(1)图象略，y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；y＝x2－1开口向上，对轴轴为y轴，顶点坐标(0，－1)　(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位得到         知识点3：抛物线y＝ax2＋k的应用9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B  )A．3.5 m　　　　　　　　　　B．4 mC．4.5 m  D．4.6 m 
10．如果抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( C  )A．y＝(x－1)2＋2  B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1  D．y＝x2＋311．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是( A  )A．a＞0　　B．a＜0　　C．a≥0　　D．a≤012．已知抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为__2___．13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4___，c＝__－3___．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，则BC的长度为__6___．15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：(1)经过点(－3，2)；(2)与y＝x2的开口大小相同，方向相反；(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.解：(1)y＝x2－1(2)y＝－x2－1(3)－x2－1       16．把y＝－x2的图象向上平移2个单位．(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；(2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．解：(1)y＝－x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴　(2)图象略　(3)x＝0时，y有最大值，为2     17．已知抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)，且经过(1，3)，求此抛物线的解析式．解：设抛物线解析式为y＝ax2＋k，将(0，2)，(1，3)代入y＝ax2＋k，得k＝2，a＝1，∴y＝x2＋2     18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( D  )A．a＋c　　　B．a－c　　　C．－c　　　D．c19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．(≈2.24，结果精确到1米)解：由题意得点E，F的纵坐标为8，把y＝8代入y＝－x2＋10，解得x＝4或x＝－4，EF＝|4－(－4)|＝8≈18(米)，即这两盏灯的水平距离约为18米  
第2课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 1．二次函数y＝a(x－h)2的图象是__抛物线___，它与抛物线y＝ax2的__形状___相同，只是__位置___不同；它的对称轴为直线__x＝h___，顶点坐标为__(h，0)___．2．二次函数y＝a(x－h)2的图象可由抛物线y＝ax2__平移___得到，当h＞0时，抛物线y＝ax2向__右___平移h个单位得y＝a(x－h)2; 当h＜0时，抛物线y＝ax2向__左___平移|h|个单位得y＝a(x－h)2.知识点1：二次函数y＝a(x－h)2的图象1．将抛物线y＝－x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( A  )A．y＝－(x＋2)2　　　　　　B．y＝－x2＋2C．y＝－(x－2)2  D．y＝－x2－22．抛物线y＝－3(x＋1)2不经过的象限是( A  )A．第一、二象限  B．第二、四象限C．第三、四象限  D．第二、三象限3．已知二次函数y＝a(x－h)2的图象是由抛物线y＝－2x2向左平移3个单位长度得到的，则a＝__－2___，h＝__－3___.4．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象略，抛物线y＝x2的对称轴是直线x＝0，顶点坐标为(0，0)；抛物线y＝(x＋2)2的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)；抛物线y＝(x－2)2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，0)   知识点2：二次函数y＝a(x－h)2的性质5．二次函数y＝15(x－1)2的最小值是( C  )A．－1  B．1C．0  D．没有最小值6．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a__＜___0，当x＝__－3___时，函数的最大值是__0___．7．对于抛物线y＝－(x－5)2，开口方向__向下___，顶点坐标为__(5，0)___，对称轴为__x＝5___．8．二次函数y＝－5(x＋m)2中，当x＜－5时，y随x的增大而增大，当x＞－5时，y随x的增大而减小，则m＝__5___，此时，二次函数的图象的顶点坐标为__(－5，0)___，当x＝__－5___时，y取最__大___值，为__0___．9．已知A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝－2(x＋2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y3＜y1＜y2___．10．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2，解得a＝－3，∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小    
11．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的解析式是( D  )A．y＝(x－6)2  B．y＝(x＋6)2C．y＝－(x－6)2  D．y＝－(x＋6)212．平行于x轴的直线与抛物线y＝a(x－2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( C  )A．(1，2)  B．(1，－2)C．(5，2)  D．(－1，4)13．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为( B  )14．已知二次函数y＝3(x－a)2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是__a≤2___．15．已知一条抛物线与抛物线y＝－x2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)，则该抛物线的解析式是__y＝(x＋5)2___．16．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，且过点(1，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的图象；(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?解：(1)y＝－(x＋2)2　(2)图象略　(3)x＜－2时，y随x的增大而增大；x＝－2时，函数有最大值           17．已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y＝－8x2都相同，并且它的顶点在抛物线y＝2(x＋)2的顶点上．(1)求这条抛物线的解析式；(2)求将(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的解析式；(3)将(2)中所求抛物线关于x轴对称，求所得抛物线的解析式．解：(1)y＝－8(x＋)2　(2)y＝－8(x＋)2　(3)y＝8(x＋)2      18．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.(1)求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D，C的坐标．解：(1)由题意得A(1，0)，A1(2，0)，B1(2，1)．设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，∵抛物线经过点B1(2，1)，∴1＝a(2－1)2，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝(x－1)2(2)令x＝0，y＝(0－1)2＝1，∴D点坐标为(0，1)．∵直线OB在第一、三象限的角平分线上，∴直线OB的解析式为y＝x，根据题意联立方程组，得解得∵x1＝＞1(舍去)，∴点C的坐标为(，)     
第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 1．抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状__相同___，位置__不同___，把抛物线y＝ax2向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据__h___，__k___的值来决定．2．抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：①当a＞0时，开口向__上___；当a＜0时，开口向__下___；②对称轴是直线__x＝h___；③顶点坐标是__(h，k)___．知识点1：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象1．(2014·兰州)抛物线y＝(x－1)2－3的对称轴是( C  )A．y轴　　　　　　　　　B．直线x＝－1C．直线x＝1  D．直线x＝－32．抛物线y＝(x＋2)2＋1的顶点坐标是( A  )A．(－2，1)  B．(－2，－1)C．(2，1)  D．(2，－1)3．把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( C  )A．y＝－2(x＋1)2＋2  B．y＝－2(x＋1)2－2C．y＝－2(x－1)2＋2  D．y＝－2(x－1)2－24．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：(1)y＝3(x－1)2＋2；解：开口向上，对称轴x＝1, 顶点(1，2)    (2)y＝－(x＋1)2－5.解：开口向下，对称轴x＝－1，顶点(－1，－5)     知识点2：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质5．在函数y＝(x＋1)2＋3中，y随x的增大而减小，则x的取值范围为( A  )A．x＞－1  B．x＞3C．x＜－1  D．x＜36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( A  )A．h＞0，k＞0  B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0  D．h＞0，k＜0,第6题图)　　,第9题图)7．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C  )A．1米  B．5米C．6米  D．7米8．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则该矩形面积的最大值为__144_m2___．9．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是__(1，0)___．10．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．解：(1)a＝－1(2)由题意得抛物线的对称轴为x＝3，∵抛物线开口向下，∴当x＜3时，y随x的增大而增大，而m＜n＜3，∴y1＜y2     
11．(2014·哈尔滨)将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( D  )A．y＝－2(x＋1)2－1  B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋1  D．y＝－2(x－1)2＋312．已知二次函数y＝3(x－2)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－2；③其图象顶点坐标为(2，－1)；④当x＜2时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有( A  )A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个13．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( C  ) A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限14．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上三点，则y1，y2，y3的大小关系为( A  )A．y1＞y2＞y3  B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1  D．y3＞y1＞y215．二次函数y＝a(x＋k)2＋k，无论k为何实数，其图象的顶点都在( B  )A．直线y＝x上  B．直线y＝－x上C．x轴上  D．y轴上16．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝(x＋1)2－1的图象．(1)试确定a，h，k的值；(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：(1)a＝，h＝1，k＝－5　(2)它的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－5)       17．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式．(不要求写出自变量的取值范围)解：∵点(，3)是抛物线的顶点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－)2＋3.∵抛物线经过点(0，1)，∴1＝(0－)2·a＋3，解得a＝－8，∴抛物线水柱的解析式为y＝－8(x－)2＋3     18．已知抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的交点为A，B(B在A的右边)，与y轴的交点为C.(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论；(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)正确的结论有：①顶点坐标为(1，1)；②图象开口向下；③图象的对称轴为x＝1；④函数有最大值1；⑤当x＜1时，y随x的增大而增大；⑥当x＞1时，y随x的增大而减小等　(2)由题意，若△BOC为等腰三角形，则只能OB＝OC.由－(x－m)2＋1＝0，解得x＝m＋1或x＝m－1.∵B在A的右边，所以B点的横坐标为x＝m＋1＞0，OB＝m＋1.又∵当x＝0时，y＝1－m2＜0.由m＋1＝m2－1，解得m＝2或m＝－1(舍去)，∴存在△BOC为等腰三角形的情形，此时m＝2      
22．1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可化为y＝a(x＋)2＋的形式，它的对称轴是__x＝－___，顶点坐标是__(－，)___．如果a＞0，当x＜－时，y随x的增大而__减小___，当x＞－时，y随x的增大而__增大___；如果a＜0，当x＜－时，y随x的增大而__增大___，当x＞－时，y随x的增大而__减小___．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y＝ax2的图象__形状完全相同___，只是__位置___不同；y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看成是y＝ax2的图象平移得到的，对于抛物线的平移，要先化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规则来平移．知识点1：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该二次函数有( B  )A．最小值－3　　　　　　　B．最大值－3C．最小值2  D．最大值22．(2014·成都)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( D  )A．y＝(x＋1)2＋4  B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4  D．y＝(x－1)2＋23．若抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是( C  )A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1C．当x＝1时，y的最大值为－4D．抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)4．抛物线y＝x2＋4x＋5的顶点坐标是__(－2，1)___．5．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当__x＜－2___时，y随x的增大而增大；当x＝__－2___时，y有最__大___值是__2___．知识点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的变换6．抛物线y＝－x2＋2x－2经过平移得到y＝－x2，平移方法是( D  )A．向右平移1个单位，再向下平移1个单位B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位C．向左平移1个单位，再向下平移1个单位D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位7．把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( A  )A．b＝3，c＝7  B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5  D．b＝－9，c＝218．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．解：(1)由抛物线过C(5，4)得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1，∴该二次函数的解析式为y＝x2－5x＋4.∵y＝x2－5x＋4＝(x－)2－，∴顶点坐标为P(，－)　(2)(答案不唯一，合理即正确)如：先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为y＝(x－＋3)2－＋4，即y＝(x＋)2＋，也即y＝x2＋x＋2   
9．(2014·河南)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点．若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为__8___．10．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是( B  )A．－8　　　B．8　　　C．±8　　　D．6,第10题图)　　　,第12题图)11．已知二次函数y＝－x2－7x＋.若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( A  )A．y1＞y2＞y3  B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1  D．y2＜y3＜y112．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( B  )A．有最小值－5，最大值0B．有最小值－3，最大值6C．有最小值0，最大值6D．有最小值2，最大值613．如图，抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象正确的是( D  )14．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？解：(1)∵图象过原点，∴k2＋k－2＝0，∴k1＝－2，k2＝1　(2)y＝x2－2kx＋k2＋k－2＝(x－k)2＋k－2，其顶点坐标为(k，k－2)．∵顶点在第四象限内，∴∴0＜k＜2   15．当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．解：①当k＝1时，函数为y＝－4x＋4，是一次函数，无最值；②当k＝2时，函数为y＝x2－4x＋3，为二次函数，此函数图象的开口向上，函数只有最小值而无最大值；③当k＝－1时，函数为y＝－2x2－4x＋6，为二次函数，此函数图象的开口向下，函数有最大值，因为y＝－2x2－4x＋6＝－2(x＋1)2＋8，所以当x＝－1时，函数有最大值，为8  16．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．解：(1)将(0，0)代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1中，得0＝m2－1，解得m＝±1，∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x　(2)当m＝2时，二次函数解析式为y＝x2－4x＋3，即y＝(x－2)2－1，∴C(0，3)，顶点坐标为D(2，－1)　(3)存在．连接CD，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P位于CD与x轴的交点时，PC＋PD最短．可求经过C，D两点的直线解析式为y＝－2x＋3，令y＝0，可得－2x＋3＝0，解得x＝，∴当P点坐标为(，0)时，PC＋PD最短   
第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y＝ax2＋bx＋c___．(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y＝a(x－h)2＋k___．以下有三种特殊情况：①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为__y＝ax2___；②当已知抛物线的顶点在y轴上或以y轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为__y＝ax2＋c___；③当已知抛物线的顶点在x轴上，可设抛物线的解析式为__y＝a(x－h)2___，其中(h，0)为抛物线与x轴的交点坐标．(3)交点式：已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为__y＝a(x－x1)(x－x2)___．知识点1：利用“三点式”求二次函数的解析式1．由表格中信息可知，若设y＝ax2＋bx＋c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是( A  )x－101ax2  1ax2＋bx＋c83 A.y＝x2－4x＋3　　　　　B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3　　　　　D．y＝x2－4x＋82．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为__y＝x2－x－2___．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．解：由题意，得解得∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1   知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( D  ) A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－85．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入得3＝a(0－4)2－1，解得a＝，∴y＝(x－4)2－1       知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式6．如图，抛物线的函数表达式是( D  )A．y＝x2－x＋4B．y＝－x2－x＋4C．y＝x2＋x＋4D．y＝－x2＋x＋47．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．解：由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2)代入得－2＝－2a，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2    
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( D  ) A．y＝x2－x－2B．y＝－x2－x＋2C．y＝－x2－x＋1D．y＝－x2＋x＋29．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( D  )A．b＝2，c＝4　　　　　　　B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4  D．b＝－2，c＝－410．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…－2－1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是__①③④___．(填序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是x＝0.5；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为__y＝x2－2x－3___．12．将二次函数y＝(x－1)2＋2的图象沿x轴对折后得到的图象的解析式为__y＝－(x－1)2－2___．13．(2014·杭州)设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2___．14．已知二次函数的图象的对称轴为x＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，求此二次函数的表达式．解：由题意设y＝a(x－1)2－6，∵图象经过点(2，－8)，∴－8＝a(2－1)2－6，解得a＝－2，∴y＝－2(x－1)2－6，即y＝－2x2＋4x－8      15．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，∴c＝3，∴解得∴y＝－x2－2x＋3　(2)∵当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴与x轴的交点为(－3，0)，(1，0)，∴AB＝4，则S△PAB＝×4×3＝6     16．(2014·安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的解析式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．解：(1)答案不唯一，符合题意即可，如y1＝2x2，y2＝x2　(2)∵函数y1的图象经过点A(1，1)，则2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1，∴y1＝2x2－4x＋3，即y1＝2(x－1)2＋1.∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴可设y1＋y2＝k(x－1)2＋1(k＞0)，则y2＝k(x－1)2＋1－y1，∴y2＝(k－2)(x－1)2.由题意可知函数y2的图象经过点(0，5)，则(k－2)×12＝5，∴k－2＝5，∴y2＝5(x－1)2，即y2＝5x2－10x＋5.当0≤x≤3时，根据y2的函数解析式可知，y2的最大值＝5×(3－1)2＝20     
专题训练(三)　用待定系数法求二次函数解析式 一、已知三点求解析式1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( D  )A．y＝2x2＋x＋2　　　　　　B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3  D．y＝x2－3x＋22．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式． 解：将点A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c得解得所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3         二、已知顶点或对称轴求解析式3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．解：∵二次函数的图象顶点为A(1，－4)，∴设y＝a(x－1)2－4，将点B(3，0)代入得a＝1，故y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3              4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．解：∵抛物线对称轴是直线x＝2且经过点A(1，0)，由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(3，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把(0，3)代入得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3             三、已知抛物线与x轴的交点求解析式5．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为__y＝2x2＋2x－4___．6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．解：∵抛物线与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的解析式可表示为y＝－(x－3)(x－1)，即y＝－x2＋4x－3              
四、已知几何图形求解析式7．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．求该二次函数的解析式．解：由题意，得C(0，2)，B(2，2)，∴解得所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2         五、已知面积求解析式8．直线l过点A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝，求二次函数关系式．解：易求直线AB的解析式为y＝－x＋4，∵S△AOP＝，∴×4×yp＝，∴yp＝，∴＝－x＋4，解得x＝，把点P的坐标(，)代入y＝ax2，解得a＝，∴y＝x2           六、已知图形变换求解析式9．已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．解：(1)y＝x2－2x－3(2)抛物线C1向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐标原点，所求抛物线C2的解析式为y＝x(x＋4)，即y＝x2＋4x        七、运用根与系数的关系求解析式10．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.(1)直线l：y＝－x＋2是否经过抛物线的顶点；(2)设该抛物线与x轴交于M，N两点，当OM·ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式．解：(1)将y＝－x2＋2mx－m2－m＋2配方得y＝－(x－m)2－m＋2，由此可知，抛物线的顶点坐标是(m，－m＋2)，把x＝m代入y＝－x＋2得y＝－m＋2，显然直线y＝－x＋2经过抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2的顶点(2)设M，N两点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是方程－x2＋2mx－m2－m＋2＝0的两个实数根，∴x1x2＝m2＋m－2，∵OM·ON＝4, 即|x1x2|＝4，∴m2＋m－2＝±4.当m2＋m－2＝4时，解得m1＝－3，m2＝2，当m＝2时，可得OM＝ON不合题意，所以m＝－3；当m2＋m－2＝－4时，方程没有实数根，因此所求的抛物线的解析式只能是y＝－x2－6x－4    
22．2　二次函数与一元二次方程第1课时　二次函数与一元二次方程之间的关系 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c，当__y＝0___时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的__横坐标___．2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式的关系：当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴__无___交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有__一个___交点；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有__两个___交点．知识点1：二次函数与一元二次方程1．抛物线y＝－3x2－x＋2与坐标轴的交点个数是( A  )A．3　　　　　　　　　　　B．2C．1  D．02．如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(2，0)，对称轴是x＝－1，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是( C  )A．(－2，0)  B．(－3，0)C．(－4，0)  D．(－5，0)3．抛物线y＝x2＋6x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为__9___．4．绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度h(米)与前行距离s(米)之间的关系为h＝s－s2，那么当足球落地时距离原来的位置有__50___米．知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( C  )x2.232.242.252.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09A.2＜x＜2.23  B．2.23＜x＜2.24C．2.24＜x＜2.25  D．2.25＜x＜2.266．用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解．解：设y＝2x2－4x－1，画出图象(略)．由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0，即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2       知识点3：二次函数与不等式7．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( C  )A．x＜－1  B．x＞2C．－1＜x＜2  D．x＜－1或x＞2,第7题图)　　,第8题图)8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( D  )A．－1＜x＜5  B．x＞5C．x＜－1且x＞5  D．x＜－1或x＞59．(2014·南京)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…－10123…y…105212…则当y＜5时，x的取值范围是__0＜x＜4___．
10．已知函数y＝x2＋2x－3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是( B  )A．－4　　　B．0　　　C．2　　　D．311．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的个数是( C  )x5.175.185.195.20ax2＋bx＋c0.02－0.010.020.04A.0  B．1  C．2  D．1或212．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的情况是( C  )A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根13．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为__(2，0)，(－3，0)___．14．(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3化成y＝(x－h)2＋k的形式；(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系；(直接写结果)(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．解：(1)y＝(x－2)2－1　(2)图象略　(3)y1＞y2(4)该方程的根是二次函数图象在y＝2时对应点的横坐标    15．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 解：(1)x1＝1，x2＝3(2)x＞2(3)k＜2    16．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？解：(1)∵a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，又∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3，∴该函数的图象在x轴的上方，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点　(2)沿y轴向下平移3个单位长度 17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．　　解：(1)解方程x2＋4x－5＝0，得x＝－5或x＝1，由于x1＜x2，则有x1＝－5，x2＝1，∴A(－5，0)，B(1，0)．抛物线的解析式为y＝a(x＋5)(x－1)(a＞0)，则D(－2，－9a)，∴C(0，－5a)．依题意画出图形(如图)，则OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a.S△ACD＝S梯形ADEO－S△CDE－S△AOC＝×(2＋5)·9a－×2×4a－×5×5a＝15a，而S△ABC＝×6×5a＝15a，∴S△ABC∶S△ACD＝15a∶15a＝1∶1　(2)在Rt△DCE中，CD2＝DE2＋CE2＝4＋16a2，在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2＝25＋25a2，设对称轴x＝－2与x轴交于点F，则AF＝3，在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2＝9＋81a2.∵∠ADC＝90°，∴△ACD为直角三角形，∴AD2＋CD2＝AC2，即(9＋81a2)＋(4＋16a2)＝25＋25a2，化简得a2＝，∵a＞0，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－ 
第2课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数的关系 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)当a＞0时，开口__向上___，当a＜0时，开口__向下___；(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b__同号___，若对称轴在y轴的右边，则a，b__异号___；(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c__＞___0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c__＜___0，若抛物线经过原点，则c__＝___0；(4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；(5)当对称轴x＝1时，x＝－＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0; 当对称轴x＝－1时，x＝－＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；(6)b2－4ac＞0⇔二次函数与横轴有两个交点；b2－4ac＝0⇔二次函数与横轴有一个交点；b2－4ac＜0⇔二次函数与横轴无交点．知识点1：二次函数图象与字母系数的关系1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是( D  )A．a＞0　　　　　　　　　　B．c＞0C．b2－4ac＞0  D．a＋b＋c＞0,第1题图)　,第2题图)　,第4题图)2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是( D  )A．a＜0  B．b2－4ac＜0C．当－1＜x＜3时，y＞0  D．－＝13．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象一定过点( D  )A．(1，－1)  B．(－1，1)C．(－1，－1)  D．(1，1)4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有( A  )A．3个  B．2个C．1个  D．0个知识点2：函数图象的综合5．若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象大致是( A  )6．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( C  )7．在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是( D  )  
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( D  )A．ac＞0B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．b－2a＝0D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根,第8题图),第9题图),第11题图)9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.下列结论中错误的是( D  )A．abc＜0  B．2a＋b＝0C．b2－4ac＞0  D．a－b＋c＞010．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( D  )A．k＞－  B．k＞－且k≠0C．k≥－  D．k≥－且k≠011．(2014·天津)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中正确结论的个数是( D  )A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．312．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为__0___．,第12题图)　　　,第13题图)13．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C.在下面四个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c＞0；③c＝－3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形．其中正确的结论是__③④___．(只填序号) 14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称轴的位置可知：－＜1，可得－b＞2a，∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0   15．已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A，B，点A的坐标是(1，0)．(1)求c的值；(2)求a的取值范围．解：(1)c＝1　(2)由C(0，1)，A(1，0)得a＋b＋1＝0，故b＝－a－1，由b2－4ac＞0，可得(－a－1)2－4a＞0，即(a－1)2＞0，故a≠1，又a＞0，所以a的取值范围是a＞0且a≠1  16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比较y1与y2的大小．解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1.∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(3，2)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2(2)x＞3或x＜1　(3)∵M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在函数y＝x2－3x＋2的图象上，∴y1＝a2－3a＋2，y2＝(a＋1)2－3(a＋1)＋2＝a2－a.y2－y1＝(a2－a)－(a2－3a＋2)＝2a－2，∴当2a－2＜0，即a＜1时，y1＞y2；当2a－2＝0，即a＝1时，y1＝y2；当2a－2＞0，即a＞1时，y1＜y2    
综合练习(一)　二次函数的图象和性质(22.1－22.2) 一、选择题1．若抛物线y＝ax2经过点P(1，－3)，则它也经过( A  )A．P1(－1，－3)　　　　　　　B．P2(－1，3)C．P3(1，3)  D．P4(3，1)2．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的顶点坐标为( B  )A．(－3，－3)  B．(－2，－2)C．(－1，－3)  D．(0，－6)3．把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( A  )A．b＝3，c＝7  B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5  D．b＝－9，c＝214．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( C  )A．y＝x2－4  B．y＝4－x2C．y＝(4－x2)  D．y＝(2－x2),第4题图)　　,第6题图)5．函数y＝ax＋b与y＝ax2＋b在同一坐标系中的大致图象是( D  )6．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( A  )A．m＝n，k＞h  B．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝h  D．m＜n，k＝h7．如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中正确的是( B  )A．a＋b＝－1  B．a－b＝－1C．b＜2a  D．ac＜0,第7题图)　　,第8题图)8．(2014·烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2.下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有( B  )A．1个  B．2个C．3个  D．4个二、填空题9．(2014·南京)已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有__①③___．(填写所有正确选项的序号)10．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上，若x1＜x2＜1，则y1__＞___y2.(填“＞”“＝”或“＜”)11．已知以x为自变量的二次函数y＝(m－3)x2＋m2－m－6的图象经过原点，则m＝__－2___．12．已知抛物线的顶点是(0，1)，对称轴是y轴，且经过(－3，2)，则此抛物线的解析式为__y＝x2＋1___，当x＞0时，y随x的增大而__增大___．13．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是__－(答案不唯一，－2＜b＜2即可)___． 14．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则a的值是__4或－8或－2___．三、解答题15．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．解：(1)a＝－1　(2)y1＜y2     16．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况__有两个相等的实数根___；(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围__x＞2___；(3)求函数y＝ax2＋bx＋c的表达式．解：y＝－2(x－2)2＋2      17．如图，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象过原点，与x轴交于点A(－4，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请求出点P的坐标． 解：(1)y＝－x2－4x(2)令P(m，n)，则S△AOP＝AO·|n|＝×4|n|＝8，解得n＝±4.又∵P(m，n)在抛物线y＝－x2－4x上，∴－m2－4m＝±4，分别解得m1＝－2，m2＝－2＋2和m3＝－2－2，∴P1(－2，4)，P2(－2＋2，－4)，P3(－2－2，－4)        18．(2014·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一交点为D，求点D的坐标．(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．解：(1)y＝x2－x－1　(2)点D的坐标为(－1，0)(3)经过D(－1，0)，C(4，5)两点的直线即为直线y＝x＋1的图象，由图象得：当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值    19．如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为A(－2，0)，B(6，0)，C(0，3)．(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD，BC的交点E的坐标；(3)若抛物线的顶点为P，连接PC，PD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由．解：(1)y＝－x2＋x＋3　(2)D点的坐标为(4，3)，直线AD的解析式为y＝x＋1，直线BC的解析式为y＝－x＋3，由求得交点E的坐标为(2，2)　(3)连接PE交CD于点F，P点的坐标为(2，4)，又∵E(2，2)，C(0，3)，}，∴PF＝EF＝1，CF＝FD＝2，且CD⊥PE，∴四边形CEDP是菱形   
22．3　实际问题与二次函数第1课时　二次函数与图形面积 1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c最值的方法：(1)用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，当自变量x＝__h___时，函数y有最大(小)值为__k___．(2)用公式法，当x＝__－___时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大(小)值_____．2．面积最值问题应该设图形一边长为__自变量___，所求面积为因变量，建立__二次函数___的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的__取值范围___．知识点1：用配方法或公式法求二次函数的最大(小)值1．当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x＋3的最大值为__11___，最小值为__2___．知识点2：二次函数与图形面积问题2．在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图)，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y与x之间的函数关系是( A  )A．y＝(60＋2x)(40＋2x)B．y＝(60＋x)(40＋x)C．y＝(60＋2x)(40＋x)D．y＝(60＋x)(40＋2x),第2题图)　　,第4题图)3．已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( B  )A．25 cm2　　　　　　　　B．50 cm2C．100 cm2  D．不确定4．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( C  )A. m2　　B. m2　　C. m2　　D．4 m25．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地，当AD＝__20_m___时，矩形场地的面积最大，最大值为__800_m2___．,第5题图)　　,第6题图)6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为__2___s.7．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x的变化而变化．(1)S与x之间的函数关系式为__S＝－x2＋20x___；(2)当x＝__20_cm___时，这个三角形面积S最大，最大面积是__200_cm2___．8．如图，一个正方形纸板的边长为10 cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设AE＝BF＝CG＝DH＝x(cm)，阴影部分的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；(2)当x取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？解：(1)y＝－2x2＋20x(0＜x＜10)　(2)配方得y＝－2(x－5)2＋50，∴当x＝5时，阴影面积最大，y最大＝50     
9．将一条长20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5_cm2___．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝__6_cm___时，四边形PECF的面积最大，最大值为__9_cm2___．11．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？解：(1)S＝－x2＋30x(2)∵S＝－x2＋30x＝－(x－30)2＋450，且a＝－＜0，∴当x＝30时，S有最大值，最大值为450.即当x为30 cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm2     12．(2014·成都)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．解：(1)由AB＝x，得BC＝28－x，根据题意， 得x(28－x)＝192，解得x1＝12，x2＝16　(2)S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196，∵x≥6，28－x≥15，∴6≤x≤13.∵a＝－1＜0，∴当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S有最大值195 m2   13．如图，等腰直角三角形ABC以2 cm/s的速度沿直线m匀速向正方形CDEF移动，直到AB与EF重合．设移动x s时，三角形与正方形重合部分的面积为y cm2.(1)当x＝2，7时，y的值分别为多少？(2)求从开始移动时到AB与EF重合时，y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．解：(1)当x＝2时，y＝8；当x＝7时，y＝42(2)当0＜x≤5时，△ABC与正方形CDEF重合部分是三角形，y＝2x2；当5＜x＜10时，△ABC与正方形CDEF重合部分是梯形，y＝－2x2＋20x，当x＝0和10时，重合部分的面积为0，∴y＝    
第2课时　二次函数与商品利润 1．单件利润＝__售价－成本___；总利润＝__销售量×单件利润___．2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为( B  )A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－7350知识点：销售中的最大利润1．“佳宝”牌电缆的日销量y(米)与销售价格x(元/米)之间的关系是y＝－50x＋6000，则日销售额w(元)与销售价格x(元/米)之间的函数关系是__w＝－50x2＋6000x___．2．某电脑店销售某种品牌电脑，所获利润y(元)与所销售电脑台数x(台)之间的函数关系满足y＝－x2＋120x－1200，则当卖出电脑__60___台时，可获得最大利润为__2400___元．3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝__4___元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．4．若一种服装销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋5，则盈利( B  )A．最大值为5万元B．最大值为7万元C．最小值为5万元D．最大值为6万元5．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润y(元)与降价金额x(元)之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则获利最多为( D  )A．15元　　B．400元　　C．80元　　D．1250元6．喜迎国庆，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数关系为( A  )A．y＝－10x2＋100x＋2000B．y＝10x2＋100x＋2000C．y＝－10x2＋200xD．y＝－10x2－100x＋20007．某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件．(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元？(2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？解：(1)(130－100)×80＝2400(元)(2)设应将售价定为x元，则销售利润y＝(x－100)(80＋×20)＝－4x2＋1000x－60000＝－4(x－125)2＋2500，当x＝125时，y有最大值2500，∴将售价定为125元，销售利润最大，最大销售利润是2500元   
8．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( C  )A．4元或6元　　B．4元　　C．6元　　D．8元9．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车，已知在甲、乙两地的销售利润y(单位：万元)与销售量x(单位：辆)之间分别满足y甲＝－x2＋10x，y乙＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为__46___万元．10．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数y＝kx＋b的解析式；(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？解：(1)y＝－x＋120(2)W＝(x－60)·(－x＋120)＝－x2＋180x－7200＝－(x－90)2＋900，∵60×(1＋45%)＝87，∴60≤x≤87.∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，∴当x＝87时，W取得最大值，且W最大＝－(87－90)2＋900＝891，∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，且最大利润是891元   11．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)由y＝－0.1x2＋2.6x＋43，得y＝－0.1(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，根据二次函数的性质可知，当0≤x＜13时，学生的接受能力逐步增强；当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低　(2)由此函数的二次项系数为－0.1＜0知，抛物线开口向下，y有最大值，所以当x＝13，即第13分钟时，学生的接受能力最强    12．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数y＝－10x＋500.(1)李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝300，∴政府这个月为他承担的总差价为300×(12－10)＝600(元)(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10(x－30)2＋4000.∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元　(3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000，解得x1＝20，x2＝40，结合图象可知，当20≤x≤40时，w≥3000，又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为P元，∴P＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，P随着x的增大而减小，∴当x＝25时，P有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元    
第3课时　拱桥问题与运动中的抛物线 建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：(1)根据题意建立适当的__平面直角坐标系___；(2)把已知条件转化为__点的坐标___；(3)合理设出函数__解析式___；(4)利用__待定系数___法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．知识点1：二次函数在桥梁中的应用1．有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．在如图所示的直角坐标系中，该抛物线的解析式为__y＝－x2___．,第1题图)　　,第2题图)2．有一座抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心M点5 m处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为__15___m.3．如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为__48___m.知识点2：二次函数在隧道中的应用4．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为__y＝－x2___．知识点3：二次函数在其他建筑问题中的应用5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的高度应小于( B  )A．2.80米　　　　　　　　B．2.816米C．2.82米  D．2.826米,第5题图)　　　,第6题图)6．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为__y＝－0.2x2___．知识点4：二次函数在运动中的应用7．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A  )A．4米  B．3米C．2米  D．1米8．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y＝－x2＋10x.经过__25___秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是__125___米，经过__50___秒炮弹落到地上爆炸了．
9．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为h＝at2＋bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( C  )A．第3秒  B．第3.5秒C．第4.2秒  D．第6.5秒,第9题图)　　,第10题图)10．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶离水面2 m，水面宽为4 m，水面下降1 m后，水面宽为( D  )A．5 m　　B．6 m　　C. m　　D．2 m11．某一型号飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是y＝60x－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行__600___m才能停下来．12．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．解：(1)配方得y＝－(x－)2＋，当x＝时，y有最大值，∴演员弹跳离地面的最大高度是4.75米　(2)能表演成功．理由：把x＝4代入抛物线解析式得y＝3.4，即点B(4，3.4)在抛物线y＝－x2＋3x＋1上，∴能表演成功   13．如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成．已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋11，由题意得B(8，8)，∴64a＋11＝8，解得a＝－，∴y＝－x2＋11(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6米，∴6＝－(t－19)2＋8，解得t1＝35，t2＝3，∴35－3＝32(小时)，则需32小时禁止船只通行   14．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2) 当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2 m的A处发出，∴y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－.故y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6(2)当x＝9时，y＝－(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过球网；当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋2，x2＝6－2(舍去)，因为6＋2＞18，所以球会出界    
专题训练(四)　实际问题与二次函数　　　　　　　　　——以利润、隧道、球类运动为背景 一、以利润为背景1．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)y＝－x＋180(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)，即W＝－(x－140)2＋1600，当x＝140时，W最大＝1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W为1600元               2．随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示．(注：利润与投资量的单位：万元)(1)分别求出利润y1 与y2关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？解：(1)y1＝2x，y2＝x2　(2)设种植花卉的资金投入为x万元，那么种植树木的资金投入为(8－x)万元，两项投入所获得的总利润为y万元，则y＝y1＋y2＝2(8－x)＋x2＝(x－2)2＋14，∴当x＝2时，y最小＝14，这位专业户至少获利14万元，又∵0≤x≤8，抛物线的对称轴为x＝2，①当0≤x≤2时，y值随x的增大而减小，∴当x＝0时，y最大＝16；②当2＜x≤8时，y值随x的增大而增大，∴x＝8时，y最大＝32，综合①②可知，最大利润是32万元            二、以桥梁、隧道为背景3．如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用y＝0.0225x2＋0.9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称．(1)钢缆最低点到桥面的距离是多少？(2)两条钢缆的最低点之间的距离是多少？(3)写出右边钢缆抛物线的解析式．解：y＝0.0225x2＋0.9x＋10＝0.0225(x＋20)2＋1，(1)钢缆最低点到桥面的距离是1 m(2)两钢缆的最低点之间的距离是40 m　(3)∵右边钢缆的抛物线与左边的关于y轴对称，∴此抛物线的顶点为(20，1)，∴y＝0.0225(x－20)2＋1，即y＝0.0255x2－0.9x＋10         
4.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解：(1)M(12，0)，P(6，6)(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋6.∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0，0)，∴a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x　(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－m2＋2m)，D(m，－m2＋2m)，∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－m2＋2m)＋(12－2m)＋(－m2＋2m)＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.∵此二次函数的图象开口向下，∴当m＝3时，AD＋DC＋CB有最大值，最大值为15米        三、以球类运动为背景5．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O，A两点相距8米．(1)求出点A的坐标及直线OA的解析式；(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．解：(1)在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝8，∴AC＝8×＝4，由勾股定理可求OC＝12，∴点A的坐标为(12，4)，从而可求OA的解析式为y＝x　(2)∵顶点B的坐标是(9，12)，点O的坐标是(0，0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－9)2＋12，把点O的坐标代入得0＝a(0－9)2＋12，解得a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－(x－9)2＋12(或y＝－x2＋x)(3)∵当x＝12时，y＝－×(12－9)2＋12＝≠4，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点        6．如图，在水平地面点A处有一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行的最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米．(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？解：(1)以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D(，0)，设抛物线的解析式为y＝ax2＋k，抛物线过点M和点B，可求k＝5，a＝－，即抛物线解析式为y＝－x2＋5.当x＝1时，y＝；当x＝时，y＝，即(1，)，(，)在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高＝×5＝.∵＜，且＜，∴网球不能落入桶中　(2)设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，由题意，得≤m≤，解得7≤m≤12.∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12，∴当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内      
专题训练(五)　二次函数与一次函数、几何类问题 一、二次函数与三角形1．如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝x2＋bx－2的图象过C点．求抛物线的解析式．解：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD.又∵AB＝AC，∴△AOB≌△CDA(ASA)，∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．∵点C(3，1)在抛物线y＝x2＋bx－2上，∴1＝×9＋3b－2，解得b＝－，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2   2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x＝－.(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．解：(1)y＝－(x＋)2＋，即y＝－x2－x＋3(2)由y＝0得，－(x＋)2＋＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形，∴M点坐标(0，0)；②BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝3，∴BM＝3，∴M点坐标(3－3，0)；③当MC＝BC时，易知M不在线段AB上．综上可知，符合条件的M点坐标为(0，0)或(3－3，0)  二、二次函数与四边形3．如图，抛物线经过点A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝x2－2x－　(2)存在．如图，①当点N在x轴的下方，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN⊥对称轴，∴点C与点N关于对称轴x＝2对称，∵C点的坐标为(0，－)，∴点N的坐标为(4，－)；②当点N′在x轴上方时，作N′H⊥x轴于点H，∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC，∵点C的坐标为(0，－)，∴N′H＝，即N点的纵坐标为，∴x2－2x－＝，解得x1＝2＋，x2＝2－，∴点N′的坐标为(2－，)和(2＋，)．综上所述，满足条件的点N共有三个，分别为(4，－)，(2－，)和(2＋，)    4．(2014·兰州)如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点坐标，如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．解：(1)y＝－x2＋x＋2(2)在抛物线的对称轴上存在点P，使得△PCD是以CD为腰的等腰三角形，如图1，P1(，4)，P2(，)，P3(，－)　(3)当y＝0时，－x2＋x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0)，可求直线BC的表达式是y＝－x＋2.如图2，过点C作CM⊥EF于点M，设E(a，－a＋2)，则F(a，－a2＋a＋2)，∴EF＝－a2＋a＋2－(－a＋2)＝－a2＋2a(0≤a≤4)，∴S四边形CDBF＝S△BCD＋S△CEF＋S△BEF＝××2＋(－a2＋2a)[a＋(4－a)]＝－a2＋4a＋＝－(a－2)2＋(0≤a≤4)，∴当a＝2时，S四边形CDBF的最大值为，此时E(2，1)　　  三、二次函数与一次函数5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，且A点坐标为(－3，0)，抛物线顶点P的纵坐标为－4，经过B点的一次函数y＝x－1的图象交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求当二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围；(3)求△BPD的面积．解：(1)∵一次函数y＝x－1的图象经过B点，∴B点坐标为(1，0)．∵A点坐标为(－3，0)，抛物线顶点P的纵坐标为－4，∴抛物线顶点P的坐标为(－1，－4)，∴解方程组得故抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3　(2)联立一次函数y＝x－1和抛物线的解析式可得解得则D点坐标为(－2，－3)，由图象可得当二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围为－2＜x＜1(3)过点P作PM∥y轴交BD于点M，则当x＝－1时，y＝x－1＝－2，∴M(－1，－2)，则PM＝2，则S△BPD＝S△BPM＋S△MPD＝×2×[1－(－1)]＋×2×[(－1)－(－2)]＝3    6．如图，一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根x1，x2(x1＜x2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A(3，6)．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，求P点和G点坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MG＋MA取得最小值时，求点M的坐标．解：(1)解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为C(－3，0)，B(1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．∵A(3，6)在抛物线上，∴6＝a(3＋3)·(3－1)，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－(2)由y＝x2＋x－＝(x＋1)2－2，∴抛物线顶点P的坐标为(－1，－2)，对称轴为x＝－1.可求直线AC的解析式为y＝x＋3，将x＝－1代入得y＝2，∴G点坐标为(－1，2)　(3)作A关于x轴的对称点A′(3，－6)，连接A′G，A′G与x轴交于点M即为所求的点．可求直线A′G的解析式为y＝－2x，令x＝0，则y＝0，∴M点坐标为(0，0)   7．(2014·武汉)如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝x2交于A，B两点．(1)直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C的坐标；(2)当k＝－时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5.解：(1)直线过定点(－2，4)　(2)如图，直线y＝－x＋3与y轴交于点N(0，3)．联立得∴x2＋x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝2.在y轴上N点下方取点Q，使S△ABQ＝5，则×(3－yQ)×[2－(－3)]＝5，∴yQ＝1，∴Q(0，1)．过点Q作PQ∥AB交抛物线于点P，则PQ的解析式为y＝－x＋1.由解得∴P点的坐标是P1(－2，2)，P2(1，)  
第二十三章　　　　　　　第二十三章　旋转23．1　图形的旋转第1课时　认识图形的旋转 1．图形旋转的定义：把一个图形绕着平面内某一点O转动一定的角度就叫做图形的__旋转___，点O叫做__旋转中心___，转动的角度叫做__旋转角___．2．图形旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离__相等___；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__旋转角___；(3)旋转前后的图形__全等(或重合)___．知识点1：认识旋转现象1．将左图按顺时针方向旋转90°后得到的是( A  ) 2．下列图案中能由一个图形通过旋转而构成的有__①②___． 3．如图，△AOB绕着点O旋转至△A′OB′，此时：(1)点B的对应点是__点B′___；(2)旋转中心是__点O___，旋转角为__∠AOA′或∠BOB′___；(3)∠A的对应角是__∠A′___，线段OB的对应线段是__OB′___．知识点2：图形旋转的性质4．如图，以点O为旋转中心，将∠1按顺时针方向旋转110°得到∠2.若∠1＝40°，则∠2＝__40°___．,第4题图),第5题图),第6题图)5．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB＝__70°___．6．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝__20___°.7．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置．(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？解：(1)旋转中心是点A(2)顺时针旋转300°或逆时针旋转60°(3)点M旋转到了AC的中点处          8．(2014·咸宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n°后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．(1)求n的值；(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．解：(1)n＝60(2)四边形ACFD是菱形．理由：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，F是DE的中点，∴FC＝DF＝FE，∵∠CDF＝∠A＝60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF＝DC＝FC.∵△ADC是等边三角形，∴AD＝AC＝DC，∴AD＝AC＝FC＝DF，∴四边形ACFD是菱形     
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，△AB1C1是由△ABC绕点A旋转得到的，下列说法错误的是( C  )A．AB＝AB1　　　　　　B．∠BAB1＝∠CAC1C．旋转角为∠B1AC  D．AB不一定等于BB1,第9题图)　　　,第10题图)10．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则下列结论错误的是( B  )A．AE∥BC  B．∠ADE＝∠BDCC．△BDE是等边三角形  D．△ADE的周长是911．(2014·南昌)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为( B  )A．4，30°　　B．2，60°　　C．1，30°　　D．3，60°,第11题图)　　,第12题图)12．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为( D  )A．0.5  B．1.5  C.  D．113．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°___．,第13题图)　　,第14题图)14．(2014·陕西)如图，在正方形ABCD中，AD＝1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为__2－___．15．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°，得到线段BE，连接AE，若AB＝2 cm，CD＝3 cm，过B点作BF⊥AB，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，试求△ABE的面积．解：易证△BCF≌△BEG，∴EG＝FC＝DC－AB＝1 (cm)，∴S△ABE＝×2×1＝1(cm2)         16．四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心__A___点，按顺时针方向旋转__90___度得到；(3)若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF＝∠D＝90°.又∵AB＝AD，DE＝BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)　(3)∵BC＝8，∴AD＝8，在Rt△ADE中，DE＝6，AD＝8，∴AE＝＝10.∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到，∴AE＝AF，∠EAF＝90°.∴△AEF的面积＝AE2＝×100＝50     
第2课时　旋转作图 1．在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了应了解图形原来的位置外，还应了解__旋转中心___、__旋转方向___和__旋转角___．2．旋转作图的步骤：(1)首先确定__旋转中心___、旋转方向和__旋转角___；(2)其次确定图形的关键点；(3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；(4)连接__对应点___，形成相应的图形．知识点1：旋转作图1．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心一定是__点B___．2．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置以及旋转后的三角形．解：图略      3．任意画一个△ABC，作下列旋转：(1)以点A为旋转中心，把这个三角形逆时针旋转45°；解：图略       (2)以三角形外任意一点O为旋转中心，把这个三角形顺时针旋转120°；解：图略       (3)以AB边的中点D为旋转中心，把这个三角形旋转180°.解：图略        知识点2：在平面直角坐标系中的图形旋转4．将等腰直角三角形AOB按如图所示位置放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为( C  )A．(1，1)　　　　　　　　　B．(，)C．(－1，1)  D．(－，),第4题图)　　,第5题图)5．如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为( D  )A．(－a，－b)  B．(－a，－b－1)C．(－a，－b＋1)  D．(－a，－b＋2)6．(2014·烟台)如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( B  )A．(1，1)  B．(1，2)C．(1，3)  D．(1，4),第6题图)　　,第7题图)7．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( C  )A．(2，10)  B．(－2，0)C．(2，10)或(－2，0)  D．(10，2)或(－2，0) 
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，若OA＝2，OC＝4，则点B′的坐标为( C  )A．(2，4)  B．(－2，4)C．(4，2)  D．(2，－4)  ,第8题图)　　　,第9题图)9．如图，将平面直角坐标系中的△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′.已知∠AOB＝60°，∠B＝90°，AB＝，则点B′的坐标是( A  )A．(，)  B．(，)C．(，)  D．(，)10．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点 ，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．(1)将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；(2)以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．解：图略    11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．解：(1)△A1B1C和△A2B2C2图略　(2)旋转中心坐标(，－1)       12．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？解：(1)根据旋转的意义和性质知，∠OCD＝60°，CO＝CD，∴△COD是等边三角形　(2)当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形．由旋转的性质可知，△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°.又∵△COD是等边三角形，即∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，即△AOD是直角三角形　(3)①若要AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO.∵∠AOB＝110°，∠DOC＝60°，∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠DOC＝360°－110°－α－60°＝190°－α.∵∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝α－60°，∴190°－α＝α－60°.∴α＝125°；②若使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.由①知，∠AOD＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③若使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.由①知，∠AOD＝190°－α.由②知，∠OAD＝50°，∴190°－α＝50°.∴α＝140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形      
专题训练(六)　利用旋转证明或计算 一、利用旋转进行计算1．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长．解：易证△APO≌△COD，∴AP＝OC，又∵AC＝9，AO＝3，∴AP＝OC＝6      2．如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H.(1)求证：BH＝GH；(2)求BH的长．解：(1)连接AH，依题意，得正方形ABCD与正方形AEFG全等，∴AB＝AG，∠B＝∠G＝90°，可证Rt△ABH≌Rt△AGH，∴BH＝GH(2)∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，∴∠2＝∠3＝30°，设BH＝x，AH＝2x，在Rt△ABH中，BH2＋AB2＝AH2，即x2＋62＝(2x)2，∴x＝2，∴BH＝2      3．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7.把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)，求线段AD1的长度．解：易求∠OFE1＝120°，∴∠D1FO＝60°，∵∠CD1F＝30°，∴∠COB＝90°.∵∠BCE1＝15°，∴∠BCD1＝45°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°.又∵AC＝BC，AB＝6，∴OA＝OB＝3，∵∠ACB＝90°，∴CO＝3，又∵CD1＝7，∴OD1＝CD1－OC＝7－3＝4，在Rt△AD1O中，AD1＝＝5       4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图①，直接写出∠ABD的大小；(用含α的式子表示)(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．解：(1)∠ABD＝30°－　(2)△ABE是等边三角形．证明：连接AD，CD，∠DBC＝60°，BD＝BC，∴△BDC是等边三角形，∠BDC＝60°，BD＝DC，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，∴∠ADB＝150°，∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，又∵BD＝BC，∠ADB＝∠ECB＝150°，∴△ABD≌△EBC，∴AB＝EB，∴△ABE是等边三角形　(3)∵BDC是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE－∠BCD＝90°，又∵∠DEC＝45°，∴CE＝CD＝BC.∴∠EBC＝15°.∵∠EBC＝∠ABD＝30°－，∴α＝30°     
二、利用旋转进行证明5．某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图①所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF会是什么样的特殊四边形？并说明理由．解：(1)由旋转可知，AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，∠B＝∠F＝60°，∴△ABM≌△AFN(ASA)，∴AM＝AN　(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α＝30°，∴∠FAN＝30°，∴∠FAB＝120°，∵∠B＝60°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形ABPF是菱形     6．(1)如图①，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到点E′处)，连接DE′.求证：DE′＝DE.(2)如图②，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜45°)．求证：DE2＝AD2＋EC2.解：(1)∵△BE′A是由△BEC以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转而得到，∴BE＝BE′，∠CBE＝∠ABE′，∠E′BE＝∠ABC.∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBE＝∠DBE′，又∵BD＝BD，BE＝BE′，∴△DBE≌△DBE′，∴DE′＝DE　(2)将△CBE以点B为中心按逆时针方向旋转90°，得到△ABF，则AF＝CE，∠FAB＝∠C.∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠C＝45°.∴∠FAD＝90°.∴DF2＝AD2＋AF2＝AD2＋CE2.由(1)知DF＝DE，故DE2＝AD2＋EC2     7．如图①，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD；(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为__60___度时，边AD′落在边AE上；②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．解：(1)∵△ACE，△ABD都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC，∴△BAE≌△DAC，∴BE＝CD　(2)②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等，证明：由旋转可知AB′与AD重合，∴AB＝BD＝DD′＝AD′，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝30°，DP∥BC.∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′，∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝30°，∴DP∥BC，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°，∴BD′＝CD′，∴△BDD′≌△CPD′   
23．2　中心对称23．2.1　中心对称 1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点__中心对称___，这个点叫做__对称中心___，这两个图形中的对应点叫做关于中心的__对称点___．2．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__对称中心___，而且被对称中心__平分___，且这两个图形是全等的．知识点1：认识中心对称1．如图，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是( A  ) 2．下面四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有( C  )A．1组　　　B．2组　　　C．3组　　　D．4组3．如图，▱ABCD中，点A关于点O对称的点是点__C___．,第3题图)　　,第6题图)4．如图，图形①与图形__④___成轴对称，图形②与图形__③___成中心对称． 知识点2：中心对称的性质5．下列说法中正确的有( C  )A．全等的两个图形成中心对称B．成中心对称的两个图形必须重合C．成中心对称的两个图形全等D．旋转后能够重合的两个图形成中心对称6．如图，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是( D  )A．AB＝A′B′，BC＝B′C′B．AB∥A′B′，BC∥B′C′C．S△ABC＝S△A′B′C′D．△ABC≌△A′OC′7．如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接BC，AD.(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；(2)若△AOB的面积为15 cm2，求四边形ABCD的面积．解：(1)∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形　(2)四边形ABCD的面积为60 cm2      知识点3：画中心对称的图形8．如图，两个圆形的卡通图案是关于某点成中心对称的两个图案，试在图中确定其对称中心．解：连接两个对称的眼睛，交点O为对称中心，图略  9．画出下图关于点O对称的图形．  解：图略
10．下列四组图形中成中心对称的有( C  )A．1组　　　B．2组　　　C．3组　　　D．4组11．下列说法中，正确的是( B  )A．在成中心对称的图形中，连接对称点的线段不一定都经过对称中心B．在成中心对称的图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分C．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称D．以上说法都正确12．如图，已知△ABC与△CDA关于AC的中点O成中心对称，添加一个条件__∠B＝90°___，使四边形ABCD为矩形．,第12题图)　　　,第13题图)13．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是__(3，－1)___．14．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；(3)△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成轴对称，画出对称轴；(4)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．解：(1)图略　(2)图略(3)成轴对称　(4)成中心对称，对称中心的坐标为(，)   15．如图，AD是△ABC的边BC的中线．(1)画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形；(2)若AB＝10，AC＝12，求AD长的取值范围．解：(1)图略(2)1＜AD＜11        16．如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.(1)试猜想AE与BF有何关系，并说明理由；(2)若△ABC的面积为3 cm2，求四边形ABFE的面积；(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．解：(1)AE与BF平行且相等．理由：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，∴△ABC与△FEC关于C点成中心对称，∴AC＝CF，BC＝CE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE綊BF　(2)∵AC＝CF，∴S△BCF＝S△ABC＝3，又BC＝CE，∴S△ABC＝S△ACE＝3，∴S△ABC＝S△BCF＝S△ECF＝S△ACE＝3，则S四边形ABFE＝4×3＝12(cm2)　(3)当∠ACB＝60°时，四边形ABFE为矩形．理由：∵AB＝AC，∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴AC＝BC，而四边形ABFE为平行四边形，∴AF＝2AC＝2BC＝BE，∴四边形ABFE为矩形  
23．2.2　中心对称图形 1．把一个图形绕着某一个点旋转__180°___，如果旋转后的图形能够与原来的图形__重合___，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的__对称中心___．2．如果将中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形的整体就是__中心对称图形___；反过来，如果将一个中心对称图形沿过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成__中心对称___．知识点1：认识中心对称图形1．(2014·广州)下列图形是中心对称图形的是( D  ) 2．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( C  ) 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( C  ) 4．(2014·烟台)下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D  ) 5．如图，下列汉字或字母中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( B  )A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个6．在正三角形、直角三角形、矩形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( C  )A．正三角形  B．直角三角形C．矩形  D．平行四边形知识点2：中心对称图形的性质7．如图，若用这两个三角形拼四边形，则拼成中心对称图形的有__3___个．,第7题图)　　　,第8题图)8．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若AE＝3 cm，四边形AEFB的面积为15 cm2，则CF＝__3_cm___，四边形EDCF的面积为__15_cm2___．9．如图是某种标志的一部分，其对称中心是点A.请补全图形．解：图略     10．下列各图是中心对称图形吗？如果是，请找出它们的对称中心．解：都是中心对称图形．图①为两对对应对角线的交点A；图②为中间小菱形对角线的交点B；图③为矩形对角线的交点P   
11．下列图形是中心对称图形的是( B  ) 12．在方格纸中，选择有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是( B  )A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④,第12题图)　　　,第13题图)13．三张扑克牌如图①所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图②所示，则她所旋转的牌从左数起是( A  )A．第一张  B．第二张C．第三张  D．都不是14．两个人轮流在一张圆形的桌子上摆放同样大小的硬币，规则规定每人每次摆一个，硬币不能相互重叠，也不能有一部分在桌子的外部．若规定最后没地方摆放硬币者为输，则要想获胜，先下者应下在__圆心处___．15．如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，求点D的坐标．解：D点的坐标为(0，1)      16．如图，在一平行四边形的菜地中，有一口圆形的水井，现张大爷要在菜地上修一条笔直的小路将菜地面积两等分以播种不同蔬菜，且要使水井在小路上，利用它对两地浇水．请你帮助张大爷画出小路修建的位置．解：作图如下：      17．用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形．(1)试移动AC，BC这两根小棒，使六根小棒成为中心对称图形；(2)若移动AC，DE这两根，能不能也达到要求呢？(画出图形)解：(1)如图1　(2)能，如图2     
23．2.3　关于原点对称的点的坐标 1．若P(x，y)与P′关于原点对称，则P′的坐标为__(－x，－y)___．2．点P(x，y)，P1(－x，y)，P2(x，－y)，P3(－x，－y)，则点P与点P1的关系是__关于y轴对称___，点P与点P2的关系是__关于x轴对称___，点P与点P3的关系是__关于原点对称___．知识点1：求关于原点对称的点的坐标1．点P(3，2)关于原点对称的点在( C  )A．第一象限　　　　　　　　　B．第二象限C．第三象限  D．第四象限2．将点A(3，2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于原点对称的点的坐标是( D  )A．(－3，2)　 B．(－1，2)　 C．(1，2)　 D．(1，－2)3．已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为( A  )A．(3，－2)  B．(－3，2)  C．(2，－3)  D．(－2，3)知识点2：利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的取值范围4．点A(a－1，－4)与点B(－3，1－b)关于原点对称，则(a＋b)2015的值为__1___．5．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，则A′的坐标为( B  )A．(－3，1)  B．(3，－1)  C．(1，－3)  D．(1，3),第5题图)　　,第6题图)知识点3：平面直角坐标系中的中心对称6．如图，△ABC与△DEF关于原点O对称，点A(－1.2，2)，B(－3，2.5)，C(－1，1)，则点D的坐标为__(1.2，－2)___，点E的坐标为__(3，－2.5)___，点F的坐标为__(1，－1)___． 7．如图，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(3，2)，则点N的坐标为( A  )A．(－3，－2)  B．(－3，2)  C．(－2，3)  D．(2，3)8．已知点A(2a＋2，3－3b)与点B(2b－4，3a＋6)关于坐标原点对称，则a＝__－1___，b＝__2___．9．抛物线y＝x2－2x－3关于原点对称的抛物线的解析式为__y＝－x2－2x＋3___．10．如图，下列网格中，每个小方格的边长都是1.(1)分别作出四边形ABCD关于x轴、y轴、原点的对称图形；(2)求出四边形ABCD的面积．解：(1)图略(2)S四边形ABCD＝2×(3×1－×3×1－×1×1)＝2  11．(2014·毕节)在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；(2)若点B的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并写出A，C两点的坐标；(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2，C2两点的坐标．解：(1)图略(2)图略，A(0，1)，C(－3，1)(3)图略，B2(3，－5)，C2(3，－1)  
23．3　课题学习　图案设计 1．图案设计一般是利用图形的__平移___、__旋转___、__轴对称___来完成的．2．下列图形均可由“基本图案”变换得到：(只填序号)(1)平移但不能旋转的是__①___；(2)可以旋转但不能平移的是__②④___；(3)既可以平移，也可以旋转的是__③___． 知识点1：分析图案1．如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是( B  ) 2．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( C  ) 知识点2：设计图案3．如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中设计符合要求的图案(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)．(1)是轴对称图形又是中心对称图形；(2)是轴对称图形但不是中心对称图形；(3)是中心对称图形但不是轴对称图形． 解：答案不唯一，图略 4．下面四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( A  )A．4个　　　B．3个　　　C．2个　　　D．1个5．(2014·徐州)顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点．得到如图所示的图形，该图形( B  )A．既是轴对称图形也是中心对称图形B．是轴对称图形但并不是中心对称图形C．是中心对称图形但并不是轴对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形6．把一张正方形纸片如图①，图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是( C  ) 7．右边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是__②⑤___ 8．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地种植花草，现向学生征集设计方案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案．解：答案不唯一，如图： 
第二十四章　　　　　　　(这是单页眉，请据需要手工删加) 第二十四章　圆24．1　圆的有关性质24．1.1　圆 1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周___，__另一个端点A___所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做__圆心___，线段OA叫做__半径___．2．连接圆上任意两点间的线段叫做__弦___．圆上任意两点间的部分叫做__弧___．直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦．3．在同圆或等圆中，能够__互相重合___的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是__圆心___，二是__半径___，圆心确定__位置___，半径确定__大小___．知识点1：圆的有关概念1．以已知点O为圆心，已知长为a的线段为半径作圆，可以作( A  )A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．无数个2．下列命题中正确的有( A  )①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个  B．2个  C．3个  D．4个3．如图，图中弦的条数为( B  )A．1条B．2条C．3条D．4条4．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A  )A．1条  B．2条  C．3条  D．无数条5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：在，圆心是线段BD的中点．图略      知识点2：圆中的半径相等6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( C  )A．38°  B．52°  C．76°  D．104°,第6题图)　　　,第7题图)7．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( D  )A．45°  B．60°  C．90°  D．30°8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF      9．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D    
10．M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( D  )A．MN＞6 cm  B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm  D．MN≤6 cm11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( B  )A．a＞b＞c  B．a＝b＝cC．c＞a＞b  D．b＞c＞a12．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( C  )A．50°  B．60°  C．70°  D．80°,第12题图)　　　,第13题图)13．如图是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D  ) 14．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__3或4___．15．如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．解：∵AO＝BO，E，F分别是AO和BO的中点，∴EO＝FO，又CO＝DO，∴四边形CEDF为平行四边形         16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF    17．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°    18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF　(2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S正方形FGHK＝12＝1    
24．1.2　垂直于弦的直径 1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧；(2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．3．在圆中，弦长a，半径R，弦心距d，它们之间的关系是__(a)2＋d2＝R2___．知识点1：认识垂径定理1．(2014·毕节)如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( B  )A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．3,第1题图),第3题图),第4题图)2．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是( C  )A．8  B．2  C．2或8  D．3或73．(2014·北京)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为( C  )A．2  B．4  C．4  D．84．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为__24___．知识点2：垂径定理的推论5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是的中点，半径OC与AB相交于点D，AB＝120 m，CD＝20 m，则这段弯道的半径是( C  )A．200 m  B．200 m  C．100 m  D．100 m,第5题图)　　　　,第6题图)6．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD为( C  )A．正方形  B．菱形  C．矩形  D．梯形知识点3：垂径定理的应用7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，则输水管的半径为( C  )A．3 cm  B．4 cm  C．5 cm  D．6 cm,第7题图)　　　,第8题图)8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，则直径AB的长为__26___寸．9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD⊥AB，且CD过圆心O，∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°.在Rt△OAD中，设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R，OD＝5－R.由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为2.6米 
10．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( C  )A．2.5  B．3.5  C．4.5  D．5.5,第10题图)　　　,第11题图)11．(2014·黄冈)如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD＝__4___．12．已知点P是半径为5的⊙O内一点，OP＝3，则过点P的所有弦中，最长的弦长为__10___；最短的弦长为__8___．13．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为__(6，0)___．,第13题图)　　　,第14题图)14．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为__4___．15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出所在⊙O的半径r.解：由题意知OA＝OE＝r，∵EF＝1，∴OF＝r－1.∵OE⊥AB，∴AF＝AB＝×3＝1.5.在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，即(r－1)2＋1.52＝r2，解得r＝，即圆O的半径为米     16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C.(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8 cm，腰AB＝5 cm，求圆片的半径R.解：(1)分别作AB，AC的垂直平分线，其交点O为所求圆的圆心，图略　(2)连接AO交BC于E.∵AB＝AC，∴AE⊥BC，BE＝BC＝4.在Rt△ABE中，AE＝＝＝3.连接OB，在Rt△BEO中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝42＋(R－3)2，解得R＝，即所求圆片的半径为 cm    17．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB，CD之间的距离为( D  )A．17 cm  B．7 cmC．12 cm  D．17 cm或7 cm18．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．解：(1)连接AC，∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴AF＝BF，∴AC＝BC.延长AO交⊙O于G，则AG为⊙O的直径，又AO⊥BC，∴BE＝CE，∴AC＝AB，∴AB＝BC＝2　(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF＝，可求OA＝2，即⊙O的半径为2     
24．1.3　弧、弦、圆心角 1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心．2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___．4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别__相等___．知识点1：认识圆心角1．如图，不是⊙O的圆心角的是( D  )A．∠AOB　　　　　　　　B．∠AODC．∠BOD  D．∠ACD,第1题图)　　　,第3题图)2．已知圆O的半径为5 cm，弦AB的长为5 cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝__60°___．3．(2014·菏泽)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为__50°___．知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系4．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE是( C  )A．40°  B．60°C．80°  D．120°,第4题图)　　　,第5题图)5．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D  )①＝；　　　　②＝；③AC＝BD；　　　　④∠BOD＝∠AOC.A．1个  B．2个C．3个  D．4个6．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为( C  )A．100°  B．110°C．120°  D．135°,第6题图)　　　,第7题图)7．如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则与2的大小关系为( C  )A.＞2  B.＜2C.＝2  D．不能确定8．如图，已知D，E分别为半径OA，OB的中点，C为的中点．试问CD与CE是否相等？说明你的理由．解：相等．理由：连接OC.∵D，E分别为⊙O半径OA，OB的中点，∴OD＝AO，OE＝BO.∵OA＝OB，∴OD＝OE.∵C是的中点，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC.又∵OC＝OC，∴△DCO≌△ECO(SAS)，∴CD＝CE   
9．如图，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝__40°___．,第9题图)　　　,第10题图)10．如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.在下列结论中：①＝＝；②ME＝NF；③AE＝BF；④ME＝2AE.正确的有__①②③___．11．如图，A，B，C，D在⊙O上，且＝2，那么( C  )A．AB＞2CDB．AB＝2CDC．AB＜2CDD．AB与2CD大小不能确定12．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，且AC＝BD，求证：AB＝CD.解：∵AC＝BD，∴＝，∴＝，∴AB＝CD        13．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：＝.解：连接AF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠GAE＝∠B，∠EAF＝∠AFB.又∵AB＝AF，∴∠B＝∠AFB，∴∠GAE＝∠EAF，∴＝          14．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC∥BD.解：(1)△AOC是等边三角形．理由：∵＝，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形(2)∵＝，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形，∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD  15．如图，在△AOB中，AO＝AB，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于D，交AO于点E，AD＝BO.试说明＝，并求∠A的度数．解：设∠A＝x°.∵AD＝BO，又OB＝OD，∴OD＝AD，∴∠AOD＝∠A＝x°，∴∠ABO＝∠ODB＝∠AOD＋∠A＝2x°.∵AO＝AB，∴∠AOB＝∠ABO＝2x°，从而∠BOD＝2x°－x°＝x°，即∠BOD＝∠AOD，∴＝.由三角形的内角和为180°，得2x＋2x＋x＝180，∴x＝36，则∠A＝36°  16．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，的度数为60°，点B为的中点，P是直径MN上的一个动点，求PA＋PB的最小值．　　解：作点B关于MN的对称点B′.因为圆是轴对称图形，所以点B′在圆上．连接AB′，与MN的交点为P点，此时PA＋PB最短，ABB′⌒所对的圆心角为90°，连接OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB′＝＝，∴PA＋PB＝AB′＝，即PA＋PB的最小值为   
24．1.4　圆周角 1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___．4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B  ) 2．在⊙O中，A，B是圆上任意两点，则所对的圆心角有__1___个，所对的圆周角有__无数___个，弦AB所对的圆心角有__1___个，弦AB所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( A  )A．2∠C　　　　　　　　　B．4∠BC．4∠A  D．∠B＋∠C,第3题图)　　　,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是( C  )A．30°　　　　B．45°　　　　C．60°　　　　D．70° 知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是( C  )A．35°  B．45°  C．55°  D．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD⊥AB于E，若∠B＝60°，则∠A＝__30°___．7．如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC＝48°，则∠BDC＝__24°___．8．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.解：∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDC＝∠ADB，∴DB平分∠ADC         知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( B  )A．115°  B．105°  C．100°  D．95°,第9题图)　　　,第10题图)10．如图，A，B，C，D是⊙O上顺次四点，若∠AOC＝160°，则∠D＝__80°___，∠B＝__100°___.
11．如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是( B  )A．44°  B．54°  C．72°  D．53°,第11题图)　　　,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于( D  )A.  B.  C．4  D．313．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC内接于⊙O，点P是上任意一点(不与A，C重合)，∠ABC＝55°，则∠POC的取值范围是__0°＜∠POC＜110°___．15．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为__(0，2)___．16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长．解：(1)连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形　(2)连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．又∵D是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×2＝1     17．(2014·武汉)如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.(1)如图①，若点P是的中点，求PA的长；(2)如图②，若点P是的中点，求PA的长．解：(1)连接PB.∵AB是⊙O的直径，P是的中点，∴PA＝PB，∠APB＝90°，可求PA＝AB＝　(2)连接BC，OP交于点D，连接PB.∵P是的中点，∴OP⊥BC，BD＝CD.∵OA＝OB，∴OD＝AC＝.∵OP＝AB＝，∴PD＝OP－OD＝－＝4.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理可求BC＝12，∴BD＝BC＝6，∴PB＝＝＝2.∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴PA＝＝＝3   18．已知⊙O的直径为10，点A，B，C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.(1)如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；(2)如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．解：(1)∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°.在Rt△CAB中，AC＝＝＝8.∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD.在Rt△BDC中，CD2＋BD2＝BC2＝100，∴BD2＝CD2＝50，∴BD＝CD＝5　(2)连接OB，OD.∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°.又∵⊙O中OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∵⊙O的直径为10，∴OB＝5，∴BD＝5   
综合练习(二)　圆的基本性质(24.1)一、选择题1．(2014·舟山)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( D  )A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8,第1题图)　　　,第2题图)2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是( B  )A．DE＝BE  B.＝C．△BOC是等边三角形  D．四边形ODBC是菱形3．(2014·南昌)如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为( D  )A．40°  B．45°  C．50°  D．55°,第3题图)　　　,第4题图)4．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则圆弧所在圆的圆心坐标为( B  )A．(2，－2)  B．(2，0)  C．(－2，0)  D．(0，－2)5．如图，在⊙O中，半径OD垂直弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为( D  )A．2  B．8  C．2  D．2,第5题图)　　　,第6题图)6．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上一点，在以下判断中，不正确的是( C  )A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形二、填空题7．(2014·兰州)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于__36°___．,第7题图)　　　,第8题图)8．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，如图，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__8___mm.9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB＝__30___°.,第9题图)　　　,第10题图)10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为__(3，2)___．11．(2014·陕西)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是__4___．,第11题图)　　　,第12题图)12．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度绕点C旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是__144___度． 13．如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点(不含A，B)，点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是__y＝－x＋90___．三、解答题14．如图，已知CD平分∠ACB，DE∥AC.求证：DE＝BC. 解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∵DE∥AC，∴∠ACD＝∠CDE，∴＝，∴＝，∴＝，∴DE＝BC      15．(2014·无锡)如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．解：(1)∠CAD＝35°(2)DE＝2－      16．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF. 解：连接BC.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠CAB＝90°.∵C为的中点，∴∠ABC＝∠EAC.又∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠EAC，∴AF＝CF        17．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D　(2)设BC＝x，则AC＝x－2.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)．∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋      18．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面跨度为7.2 m，过O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形，并高出水面AB为 2 m的货船要经过拱桥．问此货船能否顺利地通过这座拱桥？解：连接OA，ON，设CD交MN于H.AB＝7.2 m，CD＝2.4 m，EF＝3 m，且D为AB，EF的中点，OC⊥AB，OC⊥MN.设OA＝R，则OD＝OC－DC＝R－2.4，AD＝AB＝3.6 m．在Rt△OAD中，有OA2＝AD2＋OD2，即R2＝3.62＋(R－2.4)2，解得R＝3.9 m．在Rt△ONH中，OH＝＝＝3.6 m，∴FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1 m＞2 m，∴货船可以顺利通过这座拱桥       
24．2　点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1　点和圆的位置关系 1．如图，⊙O的半径为r.(1)点A在⊙O外，则OA__＞___r；点B在⊙O上，则OB__＝___r；点C在⊙O内，则OC__＜___r.(2)若OA＞r，则点A在⊙O__外___；若OB＝r，则点B在⊙O__上___；若OC＜r，则点C在⊙O__内___．2．在同一平面内，经过一个点能作__无数___个圆；经过两个点可作__无数___个圆；经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆．3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是__三边垂直平分线的交点___．4．反证法首先假设命题的__结论___不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设__错误___，从而得到原命题成立．知识点1：点与圆的位置关系1．已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是( D  )A．8 cm　　　B．6 cm　　　C．4 cm　　　D．2 cm2．已知圆的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是__OP＞6_cm___．3．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系：(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.解：(1)在圆内　(2)在圆上　(3)在圆外          知识点2：三角形的外接圆 4．如图，点O是△ABC的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___．5．直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__25π___．6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( C  )A．任意三角形  B．直角三角形C．锐角三角形  D．钝角三角形7．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．解：图略．连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，且相交于点O，点O 即为所求   知识点3：反证法8．用反证法证明：“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D  )A．相交B．两条直线不垂直C．两条直线不垂直于同一条直线D．垂直于同一条直线的两条直线相交9．用反证法证明：“△ABC中至少有两个锐角”，第一步假设为__△ABC中至多有一个锐角___．10．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°，求证：l1__∥___l2.证明：假设l1__不平行___l2，即l1与l2相交于一点P，则∠1＋∠2＋∠P__＝___180°(__三角形内角和定理___)，所以∠1＋∠2__＜___180°，这与__已知___矛盾，故__假设___不成立，所以__l1∥l2___．
11．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中，不正确的是( A  )A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外12．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是__(－2，－1)___．13．在平面直角坐标系中，⊙A的半径是4，圆心A的坐标是(2，0)，则点P(－2，1)与⊙A的位置关系是__点P在⊙A外___．14．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝__30°或150°___.15．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1)当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？解：(1)0＜r＜3　(2)3＜r＜4         16．如图，⊙O′过坐标原点，点O′的坐标为(1，1)，试判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)与⊙O′的位置关系．解：点P在⊙O′外，点Q在⊙O′内，点R在⊙O′上           17．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为所求作的花坛的位置(图略)(2)25π平方米        18．如图①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．解：(1)由SAS可证　(2)四边形BECD是菱形．证明：∵△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD，∴四边形BECD是菱形      
24．2.2　直线和圆的位置关系第1课时　直线和圆的位置关系 1．直线和圆有__相交___、__相切___、__相离___三种位置关系．2．直线a与⊙O__有唯一___公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O__有两个___公共点，则直线b与⊙O相交；直线c与⊙O__没有___公共点，则直线c与⊙O相离．3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为d，则：(1)直线l1与⊙O__相离___，则d__＞___r；(2)直线l2与⊙O__相切___，则d__＝___r；(3)直线l3与⊙O__相交___，则d__＜___r.知识点1：直线与圆的位置关系的判定1．(2014·白银)已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( A  )A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．无法判断2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( D  )A．相离  B．相切  C．相交  D．相切或相交3．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( C  )A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r＝1.5 cm；(2)r＝ cm；(3)r＝2 cm.解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，可求CD＝.(1)r＝1.5 cm时，相离；(2)r＝ cm时，相切；(3)r＝2 cm时，相交   知识点2：直线与圆的位置关系的性质5．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是( A  )A．r＞5  B．r＝5C．0＜r＜5  D．0＜r≤56．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，则l沿OC所在的直线向下平移，当l与⊙O相切时，平移的距离为( B  )A．1 cm  B．2 cm  C．3 cm  D．4 cm7．已知⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，若d，r是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且直线l与⊙O相切，则m的值为__4___．8．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？解：过点O作OD⊥AB于D，可得OD＝OB＝x.当AB所在的直线与⊙O相切时，OD＝r＝2，∴BO＝4，∴0＜x＜4时，相交；x＝4时，相切；x＞4时，相离  
9．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( C  )A．相交  B．相切  C．相离  D．无法确定10．已知⊙O的半径为3，直线l上 有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( D  )A．相切  B．相离C．相离或相切  D．相切或相交11．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.若直线l与⊙O相切，则以d，r为根的一元二次方程可能为( B  )A．x2－3x＝0  B．x2－6x＋9＝0C．x2－5x＋4＝0  D．x2＋4x＋4＝012．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是__相切___．13．已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有__3___个点到直线AB的距离为3.14．如图，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．解：(1)图略，⊙P′与直线MN相交　(2)连接PP′并延长交MN于点Q，连接PN，P′N.由题意可知：在Rt△P′QN中，P′Q＝2，P′N＝3，由勾股定理可求出QN＝；在Rt△PQN中，PQ＝3＋5＝8，QN＝，由勾股定理可求出PN＝＝       15．如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．(1)当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时y轴与⊙P的位置关系；(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时x轴与⊙P的位置关系；(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．解：∵⊙P的圆心在直线y＝2x－1上，∴圆心坐标可设为(x，2x－1)．(1)当⊙P和x轴相切时，2x－1＝2或2x－1＝－2，解得x＝1.5或x＝－0.5，∴P1(1.5，2)，P2(－0.5，－2)．∵1.5＜2，|－0.5|＜2，∴y轴与⊙P相交　(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2，得2x－1＝3或2x－1＝－5，∴P1(2，3)，P2(－2，－5)．∵|－5|＞2，且|3|＞2，∴x轴与⊙P相离　(3)不能．∵当x＝2时，y＝3，当x＝－2时，y＝－5，|－5|≠2，3≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切  16．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？解：(1)过O点作OF⊥AM于F，当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4，故x＝AD＝2(2)过O点作OG⊥AM于G，∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴BC＝2，∴BG＝CG＝，∴OG＝.∵∠A＝30°，∴OA＝2，∴x＝AD＝2－2  
第2课时　切线的判定与性质 1．经过半径的__外端___，并且__垂直___于这条半径的直线是圆的切线．2．圆的切线必__垂直___于过__切点___的半径．知识点1：切线的判定1．下列说法中，正确的是( D  )A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线2．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__∠ABC＝90°___．3．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°.求证：CD是⊙O的切线．解：连接OC.∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线            4．(2014·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．　解：(1)如图　(2)AB与⊙O相切．证明：作OD⊥AB于点D，∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OD⊥AB，∴OD＝OC，∴AB与⊙O相切   知识点2：切线的性质5．(2014·邵阳)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是( A  )A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．40°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝__4___.7．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切于点A.若∠MAB＝30°，则∠B＝__60°___.8．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.解：∵AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC   
9．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠PCA＝( D  )A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．67.5°,第9题图),第10题图),第11题图)10．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是( A  )A．30°  B．45°  C．60°  D．90°11．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是( D  )A．OC∥AE  B．EC＝BCC．∠DAE＝∠ABE  D．AC⊥OE12．(2014·自贡)如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为__3___cm.,第12题图)　　　,第13题图)13．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆于点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为__4___．14．(2014·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．解：(1)∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD　(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由：如图，连接DO.∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切       15．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数．解：∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥OP，即∠OCP＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB－∠OCB＝∠OCP－∠OCB，即∠ACO＝∠BCP.又OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠BCP＝∠BAC.∵PD是∠APC的平分线，∴∠CPD＝∠APD.∵∠ABC＝∠CPD＋∠APD＋∠BCP，∠BAC＋∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠CPD＋∠APD＋∠BCP＝90°，∴∠CDP＝∠APD＋∠BAC＝45°      16．(2014·德州)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求AC，AD的长；(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．解：(1)连接BD.∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AC＝＝＝8(cm)．∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD.在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝AB＝×10＝5(cm)(2)直线PC与⊙O相切．理由：连接OC.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE.∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，∴∠PCB＝∠CAE，∴∠PCB＝∠ACO.∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝∠ACB＝90°，∴OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切     
第3课时　切线长定理 1．经过__圆外___一点作圆的切线，这点与切点之间__线段___的长，叫做这点到圆的切线长．2．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的__两___条切线，它们的切线长__相等___，这一点和圆心的连线__平分___两条切线的夹角．3．与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的__内___心，它是三角形__三条角平分线___的交点．知识点1：切线长定理1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( B  )A．4　　　　B．8　　　　C．4　　　　D．8,第1题图)　　　,第2题图)2．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG＝－1，则△ABC的周长为( A  )A．4＋2  B．6C．2＋2  D．4 3．(2014·天水)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠P＝__80°___．4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的度数； (2)当OA＝3时，求AP的长．解：(1)∠APB＝60°(2)AP＝3      知识点2：三角形的内切圆 5．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝( A  )A．130°  B．120°  C．100°  D．90°6．已知△ABC的周长为24，若△ABC的内切圆半径为2，则△ABC的面积为__24___．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径为__2___．8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．解：根据切线长定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AE＝AF＝ x cm，则CE＝CD＝(26－x) cm，BF＝BD＝(18－x) cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8，∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm    
9．正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( B  )A．2  B．2  C.  D．310．如图，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是( C  )A．65°  B．115°C．65°或115°  D．130°或50°,第10题图)　　　,第11题图)11．(2014·泰安)如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( A  )A．4  B．3  C．2  D．112．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O上，∠BCA＝65°，则∠P＝__50°___．,第12题图)　　　,第13题图)13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是__4___．14．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，若∠BOC＝140°，求∠BIC的度数．解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝140°，∴∠A＝70°.又∵点I为△ABC的内心，∴∠BIC＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A＝125°       15．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线相交于点D.(1)若∠1＝20°，求∠APB的度数；(2)当∠1为多少度时，OP＝OD？并说明理由．解：(1)∵PA是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°－∠1＝70°.又∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝70°，∴∠APB＝180°－70°×2＝40°　(2)当∠1＝30°时，OP＝OD.理由：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP＝∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°－60°×2＝60°.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OPB＝∠APB＝30°.又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°＝30°，∴∠OPB＝∠D，∴OP＝OD    16．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.(1)求证：OD∥BE；(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．解：(1)连接OE，∵AM，DE是⊙O的切线，OA，OE是⊙O的半径，∴∠ADO＝∠EDO，∠DAO＝∠DEO＝90°，∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE.∵∠ABE＝∠OEB，∠ABE＋∠OEB＝∠AOE，∴∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE(2)OF＝CD，理由：连接OC，∵BC，CE是⊙O的切线，∴∠OCB＝∠OCE.同理：∠ADO＝∠EDO.∵AM∥BN，∴∠ADO＋∠EDO＋∠OCB＋∠OCE＝180°，∴∠EDO＋∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°.在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，∴OF＝CD    
专题训练(七)　切线证明的方法 一、有交点，连半径，证垂直(一)利用角度转换证垂直1．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD＝ED.求证：AD是⊙O的切线．解：连接OA.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.又∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，而∠DEA＝∠BEO，∠B＋∠BEO＝90°，∴∠DAE＋∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O 的切线            2．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：PA是⊙O的切线．解：连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACP＝∠AOP＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠PAO＝90°，∴OA⊥AP，∴PA是⊙O的切线              (二)利用全等证垂直3．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O的切线．解：连接OD.由SAS证△CBO≌△CDO，得∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线                (三)利用勾股定理逆定理证垂直4．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12.求证：PC是⊙O的切线．解：连接OC.根据题意，可得OC＝6，PO＝10，PC＝8，∴OC2＋PC2＝PO2，∴△POC为直角三角形且∠PCO＝90°，∴OC⊥CP，∴PC是⊙O的切线    
二、无交点，作垂直，证半径5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证：AC与⊙D相切．解：连接DE，过D作DF⊥AC于F，易证△BDE≌△CDF，∴DF＝DE，∴AC与⊙O相切                6．如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．解：连接OE，过O作OF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，∵AB＝CD，∴OE＝OF，∴CD与小⊙O相切                     7．如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.解：(1)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∴CD是⊙O的切线　(2)过D点作DF⊥BC于点F，易证四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.又∵AM，BN，CD分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13.在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋FC2，∴DF＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6    三、与切线证明方法有关的综合问题8．(2014·江西)如图①，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.(1)求△OPC的最大面积；(2)求∠OCP的最大度数；(3)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB 时，求证：CP是⊙O的切线．解：(1)△OPC的边长OC是定值，∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大．∵AB＝4，BC＝2，∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4，∴S△OPC＝·OC·OP＝×4×2＝4，即△OPC的最大面积为4　(2)当PC与⊙O相切，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大，可求∠OCP＝30°(3)连接AP，BP.∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.∵CP＝DB，∴AP＝PC，∴∠A＝∠C.∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.∵OC＝PD＝4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD，∴∠OPC＝∠PBD.∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°，∴∠OPC＝90°，∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线   
24．3　正多边形和圆 1．各边__相等___，各角也__相等___的多边形是正多边形．2．正多边形外接圆的圆心叫这个正多边形的__中心___，外接圆的__半径___叫做这个正多边形的半径，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的__中心角___，中心到正多边形的一边的__距离___叫做正多边形__边心距___．3．正多边形都是轴对称图形，但不一定是__中心___对称图形．知识点1：认识正多边形1．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( C  )A．正六边形　　　　　　　B．正八边形C．正十边形  D．正十二边形2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( C  )①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．A．3个  B．4个C．5个  D．6个 3．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝__30°___．知识点2：与正多边形有关的计算4．(2014·天津)正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是( B  )A.  B．2C．3  D．25．(2014·呼和浩特)已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( C  )A．3  B．3C.  D.6．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( B  )A．6，3  B．3，3C．6，3  D．6，37．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，则所对的圆周角∠FPG的大小为__60___度．,第7题图)　　　,第8题图)8．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，则这个正方形的边长等于__1＋___．(结果保留根号)9．已知圆外切正四边形的边长为6，求该圆的内接正三角形的边心距．解：   
10．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( D  )A．4R＝5r  B．3R＝4rC．2R＝3r  D．R＝2r11．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB交⊙O于点C，则下列结论错误的是( D  )A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.＝D．∠BAC＝30°,第11题图)　　　,第12题图)12．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ＝( D  )A．60°　　　B．65°　　　C．72°　　　D．75°13．如图，正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，以中心为原点，顶点A，D在x轴上，且OA＝4，则点A的坐标为__(－4，0)___，点E的坐标为__(2，2)___．,第13题图)　　　,第14题图)14．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC，PD，则△PCD的周长的最小值是__6___．15．如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.求证：(1)AC∥DE；(2)ME＝AE.解：(1)由题意，得∠EDC＝×3×＝108°，∠DCA＝×2×＝72°，∠EDC＋∠DCA＝108°＋72°＝180°，∴AC∥DE　(2)由题意得∠DEB＝∠EAC＝×2×＝72°.∵AC∥DE，∴∠AME＝∠DEB＝72°，∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE   16．如图，⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形EFGH是正方形．(1)求正六边形与正方形的面积比；(2)连接OF，OG，求∠OGF.解：(1)　(2)∠OGF＝15°        17．如图1，2，3，…，n，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中∠MON的度数是__90°___，图③中∠MON的度数是__72°___；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)解：(1)连接OA，OB.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN，又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON(SAS)，∴∠AOM＝∠BON，∴∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM，∴∠AOB＝∠MON＝120°　(3)∠MON＝  
24．4　弧长和扇形面积第1课时　弧长和扇形面积 1．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C＝__2πR___，所以n°的圆心角所对的弧长为l＝_____．2．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S＝__πR2___，所以圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝_____．3．用弧长表示扇形面积为__lR___，其中l为扇形弧长，R为半径．知识点1：弧长公式及应用1．点A，B，C是半径为15 cm的圆上三点，∠BAC＝36°，则弧BC的长为__6π___cm.2．扇形的半径是9 cm，弧长是3π cm，则此扇形的圆心角为__60___度．3．已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是__2___．4．(2014·兰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为( B  )A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．π5．如图，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧的长．解：连接OB，OC.∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴劣弧的长为＝2π(cm)   知识点2：扇形的面积公式及应用6．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是( A  )A.π  B.π  C.π  D．π7．(2014·成都)在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是( C  )A．6π cm2  B．8π cm2C．12π cm2  D．24π cm28．如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为( C  )A.  B.C.  D.,第8题图)　　　,第9题图)9．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，且点A′，C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是__7.2___．(π≈3.14，结果精确到0.1)10．如图，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)解：连接OC，可求∠AOB＝120°，OC＝2，AC＝2，∴S阴影＝S△AOB－S扇形＝2××2×2－×π×22＝4－π     
11．如图，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( B  )A. cm　　B. cm　　C. cm　　D．7π cm,第11题图)　　　,第12题图)12．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为( C  )A.π  B．π－C.  D.π＋13．(2014·南充)如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( A  )A.π  B．13π  C．25π  D．25,第13题图)　　　,第14题图)14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则的长为__2π___．15．如图，已知菱形ABCD的边长为3 cm，B，C两点在扇形AEF的上，求的长度及扇形ABC的面积．解：∵四边形ABCD是菱形且边长为3 cm，∴AB＝BC＝3 cm.又∵B，C两点在扇形AEF的上，∴AB＝BC＝AC＝3 cm，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，的长l＝＝π(cm)，S扇形ABC＝lR＝×π×3＝π(cm2)    16．(2014·昆明)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)解：(1)连接OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2∠1＝∠A.在Rt△ABC中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，∴AC为圆O的切线　(2)当∠A＝60°时，在Rt△OCD中，有∠C＝30°，OD＝r＝2，∴∠DOC＝60°，CD＝2，S△ODC＝OD·DC＝2，S扇形＝＝π，∴S阴影＝S△ODC－S扇形＝2－π   17．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.(1)求证：EF∥CG；(2)求点C，A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG　(2)∵AB＝2，E是AB的中点，∴FB＝BE＝AB＝×2＝1，∴AF＝＝＝.由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－＝－   
第2课时　圆锥的侧面积与全面积 1．圆锥是由一个__侧___面和一个底面围成的，连接圆锥的__顶点___和底面圆上任一点的线段叫做圆锥的母线．2．圆锥的侧面展开图是一个__扇___形，扇形的半径为圆锥的__母线___长，扇形的弧长即为圆锥底面圆的__周长___．3．圆锥的全面积＝S侧＋S__底___．知识点1：圆锥的侧面积1．用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，则扇形的半径为( B  )A．3 cm　　　　　　　　　　　B．5 cmC．6 cm  D．8 cm,第1题图)　　　,第2题图)2．(2014·淮安)如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为( B  )A．3π  B．3C．6π  D．63．圆锥的底面半径为6 cm，母线长为10 cm，则圆锥的侧面积为__60π___cm2.4．圆锥的侧面积为6π cm2，底面圆的半径为2 cm，则这个圆锥的母线长为__3___cm.5．圆锥的底面半径是1，侧面积是2π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为__180°___．6．已知圆锥的母线AB＝6，底面半径r＝2，求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角．解：设圆心角为n°，则有2πr＝·AB，∴4π＝×6，∴n＝120，故扇形的圆心角α＝120°   知识点2：圆锥的全面积7．一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积为( C  )A．5π  B．4πC．3π  D．2π8．已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12 cm，另一条直角边BC＝5 cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是( A  )A．90π cm2  B．209π cm2C．155π cm2  D．65π cm29．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，求该几何体的全面积(即表面积)是多少？(结果保留π)解：圆锥的母线长是＝5，圆锥的侧面积是×8π×5＝20π，圆柱的侧面积是8π×4＝32π，几何体的下底面面积是π×42＝16π，所以该几何体的全面积(即表面积)是20π＋32π＋16π＝68π  
10．一个圆锥的底面半径是6 cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为( B  )A．9 cm  B．12 cmC．15 cm  D．18 cm11．(2014·襄阳)用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( B  )A.  B．1C.  D．212．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5 cm，弧长是6π cm，那么这个圆锥的高是( A  )A．4 cm  B．6 cmC．8 cm  D．2 cm,第12题图)　　　,第13题图)13．(2014·南京)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为__6___cm.14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是__180___°.15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．解：侧面积为×12×12π＝72π(cm2)．设底面半径为r，则有2πr＝12π，∴r＝6 cm.由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高h＝＝6(cm)   16．如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示，单位：m)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形，如图②是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为点O，车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，由垂径定理，知E是AB的中点，F是的中点，从而EF是弓形的高，∴AE＝AB＝2 m，EF＝2 m．设半径为R m，则OE＝(R－2) m．在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝(R－2)2＋(2)2，解得R＝4，∴OE＝4－2＝2(m)．在Rt△AEO中，AO＝2OE，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴的长为＝(m)，故帆布的面积为×60＝160π(m2)   17．如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( D  )A．5  B．10C．15  D．2018．如图，有一个直径是1 m的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？解：(1)连接OA，OB，OC，由SSS可证△ABO≌△ACO，∵∠BAC＝120°，∴∠BAO＝∠CAO＝60°，又OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，可知AB＝ m，点O在扇形ABC的上，∴扇形ABC的面积为π·()2＝(m2)，∴被剪掉阴影部分的面积为π·()2－＝(m2)　(2)由2πr＝π·，得r＝，即圆锥底面圆的半径是 m 
专题训练(八)　平面图形的运动及不规则图形面积问题 一、求动态中弧长或扇形面积1．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是__(2π＋50)m___．(结果用π表示),第1题图)　　,第2题图)2．如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动地在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成图形的面积为( C  )A.＋　　　　　　　　　B.＋1C．π＋1  D．π＋3．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，求点P运动的路径长．解：点P运动的路径长为＋＋＋＋＋＝(12＋10＋8＋6＋4＋2)＝14π(cm)    4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路线长．解：如图，A″C1＝＝5，＝＝π，A′A″⌒＝＝2π，A″A1⌒＝＝π，则点A第一次翻滚到点A1位置时，点A经过的路线长为＋A′A″⌒＋A″A1⌒＝π＋2π＋π＝6π   5．如图，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上按顺时针方向在l上转动两次，使它转动到三角形A″B′C′的位置．若BC＝1，AC＝，当顶点A运动到点A″的位置时．(1)求点A所经过的路线长；(2)求点A所经过的路线与l所围成的图形的面积．解：点A所经过的路线图略．(1)在Rt△ABC中，AB＝＝2，∴∠BAC＝30°，则∠ABC＝60°，∴∠ABA′＝120°，∴的长为＝.又∵∠A′C′A″＝90°，∴A′A″⌒的长为＝π，∴点A所经过的路线长为π＋π(2)S扇形BAA′＝××2＝，S扇形C′A′A″＝××＝，S△A′BC′＝×1×＝，∴点A经过的路线与l所围成的图形的面积是π＋π＋＝π＋    
二、求不规则图形面积问题6．(用割补法)如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.(1)求线段EC的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)在矩形ABCD中，AB＝2DA，DA＝2，∴AB＝AE＝4，∴DE＝＝2，∴EC＝CD－DE＝4－2(2)在Rt△DEA中，∵＝，∴∠DEA＝30°，∴∠DAE＝60°，∴S阴影＝S扇形EAF－S△DAE＝－×2×2＝π－2       7．(用旋转法)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5 cm，AC＝2 cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置，求线段AB扫过区域(图中阴影部分)的面积．解：∵∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29.∵S阴影＝S扇形CBB1＋S△A1B1C－S△ABC－S扇形CAA1.又∵△ABC旋转得到△A1B1C，∴S△ABC＝S△A1B1C，∴S阴影＝S扇形CBB1－S扇形CAA1＝－＝π(cm2)         8．(用平移法)如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB＝24.求图中阴影部分的面积．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆(如图)，连接OB.过O作OC⊥AB于C点，则AC＝BC＝12.∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影＝S大半圆－S小半圆＝π·OB2－π·OC2＝π·AC2＝72π        9．(用等积变形法)如图，已知点A，B，C，D均在已知⊙O上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15.(1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)易证∠DBC＝30°，AB＝AD＝DC，BC＝2DC，∴BC＋BC＝15，∴BC＝6，∴此圆的半径为3　(2)连接OA，OD，过O作OE⊥AD于点E.可求∠AOD＝60°，∴S扇形AOD＝＝π.在Rt△AOE中，可求AE＝，OE＝，∴S△AOD＝×3×＝，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝   
第二十五章　　　　　　　(这是单页眉，请据需要手工删加) 第二十五章　概率初步25．1　随机事件与概率25．1.1　随机事件 1．在一定条件下某些事件有可能发生，也有可能__不发生___，事先无法确定，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为__随机事件___．2．必然事件和不可能发生的事件都是确定的，称为__确定___事件．3．一般地，随机事件发生的可能性是有__大小___的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能__不同___．知识点1：必然事件、不可能事件、随机事件、确定事件1．(2014·梅州)下列事件是必然事件的是( C  )A．明天太阳从西边升起B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C．实心铁球投入水中会沉入水底D．抛出一枚硬币，落地后正面朝上2．下列事件中是确定事件的是( D  )A．篮球运动员身高都在2米以上B．弟弟的体重一定比哥哥轻C．今年教师节一定是晴天D．吸烟有害身体健康3．“若a是实数，则|a|≥0”这一事件是( A  )A．必然事件　　　　　　　B．不确定事件C．不可能事件  D．随机事件4．(2014·孝感)下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是__①③___．(填序号)5．下列成语：①水中捞月；②守株待兔；③拔苗助长；④水涨船高，所描述的事件是不可能事件的是__①③___．(填序号)6．九年级有六个班，每个班派一名学生参加演讲比赛，以抽签的方式决定每个人的出场顺序，现有六个相同的纸签，分别写有出场的序号1，2，3，4，5，6.王刚先抽签，在看不到纸签上的数字的情况下随机地抽取一张纸签，请回答下列问题：(1)抽到的号有几种可能的结果？(2)抽到的号可能是0吗？(3)抽到的号可能是4吗？(4)抽到的号可能大于6吗？解：(1)6种可能的结果(2)不可能(3)可能(4)不可能       7．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，请你写出一个必然发生的事件、一个不可能发生的事件、一个随机事件．解：答案不唯一，略             知识点2：事件发生可能性的大小8．九年级(8)班共有学生54人，其中男生有30人，女生有24人，若在此班上任意找一名学生，找到男生的可能性比找到女生的可能性__大___．(填“大”或“小”)9．从一副扑克牌中任意抽出一张，摸到红桃的可能性为a，摸到黑桃的可能性为b，则a__＝___b．(填“＞”“＝”或“＜”) 
10．(2014·黔东南州)掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( A  )A．可能有5次正面朝上B．必有5次正面朝上C．掷2次必有1次正面朝上D．不可能有10次正面朝上11．一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( D  )A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大12．小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( D  )A．必然事件  B．不可能事件C．确定事件  D．随机事件13．同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别标有1至6的点数，下列事件中是不可能事件的是( D  )A．点数的和是12  B．点数的和小于3C．点数的和大于4小于8  D．点数的和是1314．如图是一个被均匀分成六份的转盘，当随意转动一次，停止后指针落在阴影部分的可能性比指针落在非阴影部分的可能性( A  )A．大  B．小C．相等  D．不能确定15．现有两个布袋，里面放着一些除颜色外没有其他区别的小球，布袋中的小球已经搅匀，各色小球的具体数目如图．在下列事件中，请说出哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？为什么？(1)随机地从第一个布袋中同时取出两个球，两球都是白色的；(2)随机地从第二个布袋中取出一个球，该球是白色的；(3)随机地挑选一个布袋，从中取出一个球，该球的颜色不外乎红、白、黑、黄四种．解：(1)第一个布袋中只有1个白球，所以不可能同时取出两个白球，所以该事件是不可能事件(2)从第二个布袋中取出一个球，可能是白球，也可能不是白球，所以该事件是随机事件(3)两个布袋中的球的颜色不外乎红、白、黑、黄四种，所以该事件是必然事件    16．一个不透明的口袋里有5个红球、3个白球、2个绿球，这些球的形状和大小完全相同，小亮从中任意摸出一个球．(1)你认为小亮摸到的球很可能是什么颜色？为什么？(2)摸到三种颜色球的可能性一样吗？(3)如果想让小亮摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案．解：(1)红球，因为红球最多(2)不一样(3)取出2个红球，或添加2个白球        17．如图是几个转盘，若分别用它们做转盘游戏，你认为每个转盘转出红色和黄色的可能性相同吗？若不同，哪个可能性大？解：①③可能性相同；②④可能性不同，②转出红色的可能性大，④转出黄色的可能性大        18．从6名男生和4名女生中选6名学生参加智力竞赛，规定男生选m名，要使女生中的小颖当选是：(1)必然事件；(2)不可能事件；(3)随机事件，分别求出m的值．解：(1)m＝2(2)m＝6(3)2＜m＜6且m为整数   
25．1.2　概率 1．一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的__概率___，记为__P(A)___．2．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种可能，那么事件A发生的概率为__P(A)＝___，其中的范围是__0≤≤1___，因此，P(A)的范围是__0≤P(A)≤1___．当A为必然事件时，P(A)＝__1___；当A为不可能事件时，P(A)＝__0___．知识点1：概率的意义1．“我市明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是( C  )A．我市明天将有30%的地区降水B．我市明天将有30%的时间降水C．我市明天降水的可能性较小D．我市明天肯定不降水2．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状、大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球__12___个．知识点2：概率的计算3．(2014·北京)如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率是( D  )A.　　　B.　　　C.　　　D.4．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是( C  )A.  B.  C.  D.5．如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是( D  )A.  B.  C.  D.6．(2014·长沙)100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是_____．知识点3：必然事件、不可能事件、随机事件的概率7．请写出一个概率小于0.5的随机事件：__答案不唯一，略___．8．下列事件中：①2016年在巴西的里约热内卢举办奥运会；②夜间12点有太阳；③哈尔滨某年冬天的温度达到32℃.概率为1的事件有( B  )A．0个  B．1个  C．2个  D．3个9．将下列事件发生的概率标在下图中．①|a|＜0；②投一枚硬币正面朝上；③3个苹果分装2个果盘里，一定有1个果盘里至少装2个苹果．解：如图　 
10．如图，A，B是数轴上的两点，在线段AB上任取一点C，则点C到表示－1的点的距离不大于2的概率是( D  )A.  B.  C.  D.,第10题图)　　,第12题图)11．将1，2，3三个数字随机生成的点的坐标列成下表．如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，这个点在函数y＝x图象上的概率是( C  ) (1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)(2，3)(3，1)(3，2)(3，3)A.0.3  B．0.5  C.  D.12．如图，在4×4正方形网格中，任选一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是( A  )A.  B.  C.  D.13．小强与小红两人下军棋，小强获胜的概率为46%，小红获胜的概率是30%，那么两人下一盘棋，小红不输的概率是__54___%.14．(2014·天津)如图是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌．将它们洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则抽出的牌点数小于9的概率为_____．15．掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：(1)点数为偶数；(2)点数大于3且小于6.解：(1)P(点数为偶数)＝(2)P(点数大于3且小于6)＝   16．如图是一个转盘，小王和小赵在做游戏，两人各转动这个转盘一次，若指针落在红色上面，则小王得1分；若指针落在白色上面，则小赵得1分；若指针落在黄色上面，双方均不得分，重新再转．问这个规则对双方公平吗？解：由于在四个等可能结果中，红色占两种情况，白色占一种，所以小王获胜的概率为，小赵获胜的概率为，所以游戏不公平         17．有一个质地均匀的正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数(每个面上只有一个整数且互不相同)．投掷这个正十二面体一次，记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”，记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”，请你判断等式P(A)＝＋P(B)是否成立，并说明理由．解：投掷这个正十二面体一次，符合事件A“向上一面的数字是2或3的整数倍”的数有2，3，4，6，8，9，10，12，一共有8个，则P(A)＝；符合事件B“向上一面的数字是3的整数倍”的数有3，6，9，12，一共有4个，则P(B)＝.∵＋＝≠，∴P(A)≠＋P(B)   
25．2　用列举法求概率第1课时　用列表法求概率 1．在一次试验中，如果可能出现的结果有__有限___个，且各种结果出现的可能性大小__相等___，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率．2．当一次试验要涉及的因素有两个(即两步操作试验)，我们常通过__列表___的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的结果，再利用公式__P(A)＝___求概率．知识点1：用直接列举法求概率1．将一枚硬币抛掷两次，所产生的面朝上的结果分别是__正正、正反、反正、反反___，其中出现一次正面朝上、一次反面朝上(记为事件A)的概率P(A)＝_____．2．合作小组的四位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位的概率是_____．,第2题图)　　,第3题图)3．如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为( B  )A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.知识点2：用列表法求概率4．有A，B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”、“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”、“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是( B  )A.  B.  C.  D.5．(2014·杭州)让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于( C  )A.  B.  C.  D.6．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是( C  )A.  B.  C.  D.7．在1，2，3，4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40的概率是_____．8．某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为某次国际马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是_____．9．如图是两个可以自由转动的转盘被分成相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了钢笔，转盘B转出了文具盒，那么配对成功就赢了．求游戏者获胜的概率是多少？并写出所有可能的结果．解：所有可能结果为(文苹)、(文钢)、(文篮)、(胶苹)、(胶钢)、(胶篮)，故获胜概率为    
 10．(2014·宁波)如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是( D  )A.  B.  C.  D.11．“服务他人，提升自我”，某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的五名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是( D  )A.  B.  C.  D.12．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是( B  )A.  B.  C.  D.13．在四边形ABCD中，①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC，在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是_____．14．小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是_____．15．将正面分别标有数字6，7，8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．(1)随机地抽取一张，求P(偶数)；(2)随机地抽取一张作为个位上的数字(不放回)，再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？恰好为“68”的概率是多少？解：(1)P(偶数)＝　(2)因为能组成的两位数为86，76，87，67，68，78，所以P(恰好为“68”)＝    16．如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色，小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余三张洗匀后再摸出一张．(1)用列表法表示两次摸牌所有可能出现的结果；(纸牌用A，B，C，D表示)(2)求摸出的两张纸牌同为红色的概率. 解：(1)列表略(2)P(摸出两张纸牌同为红色)＝      17．田忌赛马是一个为人熟知的故事．传说，战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强……(1)如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？(2)如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？(要求写出双方对阵的所有情况)解：(1)田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜　(2)当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况有6种(列表略)，只有一种对阵情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P＝      
第2课时　用树状图法求概率 1．当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用__列表___或画__树状图___法．2．对于二元事件(两次型问题)要分清摸球放回与不放回．3．若试验只有两步，用__列表法___和__画树状图法___都可以；若试验在三步或三步以上，只能用__画树状图法___来计算．知识点1：用树状图求概率1．小球从A点入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从E点落出的概率为( C  )A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.,第1题图)　　　　,第2题图)2．有一个布袋中装着只有颜色不同，其他都相同的红、黄、黑三种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，两次摸球的所有可能的结果如图所示，则摸出的两个球中，一个是红球，一个是黑球的概率是( B  )A.  B.  C.  D.3．同时抛掷三枚质地均匀的硬币一次，则出现全是正面的概率是( D  )A.  B.  C.  D.4．经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为_____．5．北京是中国“八大古都”之一，拥有众多历史名胜古迹和人文景观．李老师和刚初中毕业的儿子准备到故宫、颐和园、天安门三个景点去游玩，如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同)，那么他们都选择天安门为第一站的概率是_____．知识点2：列表法与树状图法的灵活应用6．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，那么三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是( B  )A.  B.  C.  D.7．(2014·黄石)学校团委在“五四青年节”举行“感动校园十大人物”颁奖活动中，九(4)班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加活动，则甲、乙两人恰有一人参加此活动的概率是( A  )A.  B.  C.  D.8．在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A，B两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有－5，－1，1.每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y.(1)若甲抽出的数字是2，乙抽出的数字是－1，它们恰好是ax－y＝5的解，求a的值；(2)求甲、乙随机抽取一张的数恰好是方程ax－y＝5的解的概率．解：(1)a＝2(2)图或表略，P(恰好是方程ax－y＝5的解)＝    
9．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加综合实践活动的概率为( B  )A.  B.  C.  D.10．若从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为( A  )A.  B.  C.  D.11．(2014·台州)抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各一双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，他们恰好同色的概率是_____．12．元旦联欢会上，小明、小华、小聪各准备了一个节目，若他们出场先后的机会是均等的，则按“小明——小华——小聪”的顺序演出的概率是_____．13．从甲地到乙地有A1，A2两条路线，从乙地到丙地有B1，B2，B3三条路线，从丙地到丁地有C1，C2两条路线．一个人任意选了一条从甲地到丁地的路线，求他恰好选到B2路线的概率是多少？解：P(选到B2路线)＝＝   14．有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果；(2)求一次打开锁的概率．解：(1)设两把不同的锁分别为A，B，能把两锁打开的钥匙分别为a，b，其余两把钥匙为m，n，依题意，画树状图：　(2)由上图知，上述试验共有8种等可能性结果，一次打开锁的结果有2种，∴P(一次打开锁)＝＝   15．袋中装有除颜色外，其他都相同的红、黄、蓝球各1个，小明从中随机摸出1球，再放回，共摸3次，问摸到3红、2黄1蓝、1红1蓝1黄的概率各是多少？解：画树状图(略)，由图中可以看出，共有27种等可能的结果，摸到3红的结果只有1种，摸到2黄1蓝的结果有3种，摸到1红1黄1蓝的结果有6种，所以摸到3红的概率为，摸到2黄1蓝的概率为＝，摸到1红1黄1蓝的概率为＝       16．甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另一个人手中，共传球三次．(1)若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回甲手中的概率是多少？(2)若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中？请说明理由．解：(1)画树状图(略)，可看出：三次传球有8种等可能结果，其中传回甲手中的有2种，所以P(传球三次回到甲手中)＝＝　(2)由(1)可知：从甲开始传球，传球三次后球传到甲手中的概率为，球传到乙、丙手中的概率均为，所以三次传球后球回到乙手中概率最大值为，所以乙会让球开始时在甲手中或丙手中     
25．3　用频率估计概率 1．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数P附近，那么事件A发生的概率P(A)＝_____，__0___≤P(A)≤__1___．2．用频率估计概率，其适用范围更广，既可以用于有限的等可能性事件，也可以用于无限的或可能性不相等的事件．只要试验的次数n足够大，频率就可以作为概率P的__近似值___．知识点1：频率与概率的关系1．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是( B  )A．频率等于概率B．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等2．某人做投硬币试验时，投掷m次，正面朝 n次(即正面朝上的频率P＝)，则下列说法正确的是( D  )A．P一定等于B．P一定不等于C．多投一次，P更接近D．投掷次数逐渐增加，P稳定在附近3．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近_____．知识点2：用频率估计概率4．在一所有2000名学生的小学学校中，随机调查了300名学生，其中269人认为月球上有水，那么在这所小学学校里随机问1名学生，认为月球上有水的概率约是( A  )A．0.9　　　B．0.10　　　C．0.8　　　D．0.25．从某玉米种子中抽取6批种子，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数8529865279316044005发芽频率0.8500.7450.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为__0.8___．(精确到0.1)6．在一个不透明布袋中，红色、黑色、白色乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后，发现其中摸到红色、黑色乒乓球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色乒乓球的个数很可能是__16___．7．一个不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，4，5，x.甲，乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：摸球总次数1020306090120180240330450“和为8”          出现的频数210132430375882110150“和为8”          出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，“和为8”出现的频率稳定在它的概率附近，估计“和为8”出现的概率是__0.33___；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x的值．解：x不可以取7，画树状图(略)，从图中可知，数字和为9的概率为＝.当x＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是   
8．为了估计水塘中的鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放回鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼．如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数估计为( C  )A．3000条　B．2200条　C．1200条　D．600条9．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……如此大量的摸球试验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%.对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量的摸球试验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中随机摸出一球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是( B  )A．①②③　　　B．①②　　　C．①③　　D．②③10．如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子．小鹏在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在一、三、五环(阴影)内的频率分别是0.04，0.2，0.36，如果最大圆的半径是1米，那么黑色石子区域的总面积约为__1.88___平方米．(精确到0.01平方米)11．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)这种树苗成活的频率稳定在__0.9___，成活的概率估计值为__0.9___；(2)该地区已经移植这种树苗5万棵．①估计这种树苗成活__4.5___万棵；②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？解：18÷0.9－5＝15(万棵)     12．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．活动结果：摸球试验活动一共做了50次，统计结果如下表：球的颜色    无记号有记号   红色黄色红色黄色 摸到的次数182822推测计算：由上述的摸球试验可推算：(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？(2)盒中有红球多少个？解：(1)红球占40%，黄球占60%　(2)设总球数为x个，由题意得＝，解得x＝100，100×40%＝40，即盒中红球有40个   13．小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2 m和3 m的同心圆(如图)，蒙上眼睛，在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．(1)你认为游戏公平吗？为什么？(2)游戏结束，小明边走边想：“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题．(要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式)解：(1)不公平，因为P(阴影)＝＝.即小红获胜的概率为，则小明获胜的概率为，所以游戏对双方不公平　(2)能用频率估计概率的方法估算非规则图形的面积．设计方案：①如图，设计一个可测量面积的规则图形，将非规则图形围起来(如正方形面积为S)；②往图形中掷点(如蒙上眼睛往图形中随意掷石子，掷在图形外不作记录)；③当掷点数充分大(如1万次)记录并统计结果，设掷入正方形内m次，其中n次掷入非规则图形内；④设非规则图形面积为S′，概率P(掷入非规则图形内)＝，故≈，∴S′≈    
专题训练(九)　概率的求法及应用 一、用列举法求概率(一)　两步概率1．(2014·扬州)商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．(1)若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是_____；(2)若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．解：画树状图(略)，∵共有12种可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种等可能情况，∴P(他恰好买到雪碧和奶汁)＝＝          2．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1，BB1，CC1.(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？(2)小明先从左端A，B，C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1，B1，C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．解：(1)P(恰好选中绳子AA1)＝　(2)画树状图(略)，可知分别在两端随机任选两个绳头打结，总共有9种等可能情况，其中能连接成一根长绳的有6种，故P(这三根绳子连接成一根长绳)＝＝               3．在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取了不同的摸取方法，分别是：小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机地摸取一个小球，记下标号；小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机地摸取一个小球，记下标号．(1)用画树状图(或列表法)分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；(2)分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率．解：(1)略　(2)由树状图可知：小明摸取小球，可能出现的结果有16个，它们出现的可能性相等，其中满足标号之和为5(记为事件A)的结果有4个，即(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(A)＝＝；小强摸取小球，可能出现的结果有12个，它们出现的可能性相等，其中满足标号之和为5(记为事件B)的结果有4个，即(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(B)＝＝          4．(2014·黄冈)红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．(1)请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；(2)求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．解：(1)画树状图(略)，一共有12种选派方案(2)恰有一男一女参赛，共有8种可能，∴P(一男一女)＝＝         
(二)　三步概率5．如图，用红、蓝两种颜色随机地对A，B，C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法(画树状图或列表)求A，C两个区域所涂颜色不相同的概率．解：画树状图(略)，所有等可能的情况有8种，其中A，C两个区域所涂颜色不相同的有4种，则P＝＝             6．两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同)，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：(1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？(2)你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？解：(1)略　(2)对于乙，共有6种等可能结果，乘上等车的有3种，所以乙乘上等车的可能性为＝，而甲乘上等车的可能性为，故乙乘上等车的可能性大               二、概率的应用7．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；(2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？解：(1)P(转动一次转盘获得购物券)＝＝(2)200×＋100×＋50×＝40(元)．∵40元＞30元，∴选择转转盘对顾客更合算            8．(2014·怀化)甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．(1)求从袋中随机摸出一个球，标号是1的概率；(2)从袋中随机摸出一个球然后放回，摇匀后再随机摸出一个球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．试分析这个游戏公平吗？请说明理由．解：(1)P(标号是1)＝　(2)这个游戏不公平，理由如下：列表(略)，P(和为偶数)＝，P(和为奇数)＝，二者不相等，说明游戏不公平    
三、统计与概率9．某校九年级有10个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书籍的阅读情况，准备抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n＜5时为一般读者；当5≤n＜10时为良好读者；当n≥10时为优秀读者．(1)下列四种抽取方法最具有代表性的是__B___；A．随机抽取一个班的学生　B．随机抽取50名学生C．随机抽取50名男生  D．随机抽取50名女生(2)由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读本数的数据如下：8　　10　　6　　9　　7　　16　　8　　110  13  10  5  8  2  6  97  5  7  6  4  12  10  116  8  14  15  7  12  13  89  7  10  12  11  8  13  104  6  8  13  6  5  7  1112  9根据以上数据回答下列问题：①求样本中优秀读者的频率；②估计该校九年级优秀读者的人数；③在样本为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率．解：①　②200人　③                              10．每年3月12日，是中国的植树节．某街道办事处为进一步改善人居环境，准备在街道两边种植行道树，行道树的树种选择取决于居民的喜爱情况．为此，街道办事处的人员随机调查了部分居民，并将结果绘成如图中扇形统计图，其中∠AOB＝126°.请根据扇形统计图，完成下列问题：(1)本次调查了多少名居民？其中喜爱“香樟”的居民有多少人？(2)请将条形统计图补全；(在图中完成)(3)某中学的一些同学也参与了投票，喜爱“小叶榕”的有四人，其中一名男生；喜爱“黄葛树”的也有四人，其中三名男生．若街道办事处准备分别从这两组中随机选出一名同学参与到街道植树活动中去，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名同学恰好一名女生和一名男生的概率．解：(1)800人；40人　(2)补图略　(3)