2019年河北省邯郸市中考数学模拟试卷（二）


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2019年河北省邯郸市中考数学模拟试卷（二）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. （3分）如图，点，，，在数轴上，其中表示互为相反数的点是　　

A. 点与点 B. 点与点
C. 点与点 D. 点与点
2. （3分）下列单项式中，与是同类项的是　　
A. B. C. D.
3. （3分）把多项式分解因式，结果正确的是．
A．
B．
C．
D．
4. （3分）如图，D，E分别是△ABC的边BA，BC延长线上的点，连接DC．若∠ B=25°，∠ ACB=50°，则下列角中度数为75°的是（　　）

A. ∠ ACD B. ∠ CAD C. ∠ DCE D. ∠ BDC
5. （3分）下列各图中，OP 是∠ MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（　　）
A.
B.
C.
D.
6. （3分）在“百善孝为先”朗诵比赛中，晓晴根据七位评委所给的某位参赛选手的分数制作了如下表格：
　众数
　中位数
平均数　
方差　
　
　
　
　
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是．
A． 平均数 B． 中位数
C． 众数 D． 方差
7. （3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A.
B.
C.
D.
8. （3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）

A. 圆柱 B. 圆锥
C. 三棱锥 D. 三棱柱
9. （3分）当时，代数式的值是，则当时，这个代数式的值是　　
A. B. C. D.
10. （3分）如图，已知⊙O的直径为10，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠ CBD的值等于（　　）

A. B. C. D.
11. （2分）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，，依次规律，图中黑色正方形的个数是
　　

A. B. C. D.
12. （2分）如图，在▱中，对角线与相交于点，过点作交于点，交于点，连接、则四边形是　　

A. 梯形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
13. （2分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论错误的是（　　）
A. ac＜0
B. 当x＞1时，y的值随x的增大而减小
C. 3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根
D. 当-1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0
14. （2分）如图，的三个顶点分别为，，若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是　　

A. B. C. D.
15. （2分）如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点、分别在直角边、上，且，交于点则下列结论：
图形中全等的三角形只有两对；
的面积等于四边形的面积的倍；
；
其中正确的结论有　　

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
16. （2分）对于实数c、d，我们可用min{ c，d }表示c、d两数中较小的数，如min{3，-1}=-1．若关于x的函数y=min{2x2，a（x-t）2}的图象关于直线x=3对称，则a、t的值可能是（　　）
A. 3，6 B. 2，-6 C. 2，6 D. -2，6

评卷人
得分



二、 填空题（共3题）
17. （3分）若分式有意义，则x的取值范围是______．
18. （3分）如图，在平面直角坐标系中，A（-6，0），曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为-6，-4，-2的三点B，C，D分别向x轴、y轴作垂线，已知图中的阴影部分是由这些垂线围成的，且其面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为______．

19. （4分）如图，边长为4的正方形ABCD的顶点B，C在⊙O上，点A，D都在⊙O内，⊙O的半径为4，现将正方形ABCD绕点C顺时针旋转，当点B的对应点B′第一次落在⊙O上时，点B运动的路径长为______．


评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
20. （8分）先化简，再求值：，其中，．
21. （9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是高，AF是△ABC外角∠ CAD的平分线．
（1）用尺规作图：作∠ AEC的平分线EN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设EN与AF交于点M，判断△AEM的形状，并说明理由．

22. （9分）李莉在五张完全相同并且没有任何标记的卡片的一面分别写下数据-4，-1，0，3，5，将写有数据的一面朝下放置，并混合均匀．
（1）随机摸起一张，求上面的数据为负数的概率；
（2）随机摸起两张，其中一张表示x，另一张表示y，求点（x，y）在直线y=-x-1上的概率；
（3）随机摸起一张，记为x，然后放回，混合均匀后再随机摸起一张，记为y，求点（x，y）是第四象限内的点的概率．
23. （9分）甲、乙两人匀速从同一地点到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米分的速度沿同一路线行走设甲、乙两人相距米，甲行走的时间为分，关于的函数图象的一部分如图所示．
求甲行走的速度；
在坐标系中，补画关于的函数图象的其余部分；
问甲、乙两人何时相距米？

24. （10分）问题情境：老师给出了这样一道题：如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，P是劣弧BC上的动点，连接PB并延长到点E，连接PC并延长到点F．鹏鹏同学发现∠ FPA=∠ EPA，理由是∠ ABC=∠ FPA，∠ ACB=∠ EPA．又因为AB=AC，所以∠ ABC=∠ ACB，所以∠ FPA=∠ EPA．请你说出鹏鹏运用的是圆周角的哪个性质：
深入探究：爱钻研的程程将动点P放到了劣弧AC上，连接CP并延长到点F，如图2所示，其他条件不变．请你判断∠ FPA与∠ EPA之间还相等吗?并证明；
拓展提高：当点P与点C重合，点E与点B重合时，过点P作∠ FPA=∠ EPA，如图3所示，其他条件不变．请你判断射线PF是否为⊙O的切线，并说明理由．

25. （11分）已知点A（-2，n）在抛物线y=x+bx+c上．
（1）若b=1，c=3，求n的值；
（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x+bx+c的最小值是-4，请画出点P（x-1，x+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
26. （12分）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，点分别为，的中点若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为．

Ⅰ如图，当时，求，的长；
Ⅱ如图，当时，求证，且；
Ⅲ若直线与直线相交于点，求点的纵坐标的最大值直接写出结果即可．

参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】解：与互为相反数，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了数轴、相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2. 【答案】B
【解析】解：、相同字母的指数不同，故A不符合题意；
B、字母相同且相同字母的指数也相同，故B符合题意；
C、相同字母的指数不同，故C不符合题意；
D、相同字母的指数不同，故D不符合题意；
故选：．
根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：与字母的顺序无关；与系数无关．
3. 【答案】A
【解析】解：．
故选
直接提取公因式即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
4. 【答案】B
【解析】解：由三角形的外角的性质可知：∠ DAC=∠ B+∠ ACB=75°．
故选：B．
依据三角形的外角的性质求解即可．
本题主要考查的是三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
5. 【答案】D
【解析】解：∵ OP是∠ MON 的平分线，且GE⊥OM，GF⊥ON，
∴ GE=GF，（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
故选：D．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等，这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
本题主要考查了角平分线的性质，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6. 【答案】B
【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响．
故选
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
7. 【答案】D
【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确．
故选D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
8. 【答案】B
【解析】解：由主视图和左视图都为三角形，而俯视图是圆，可得几何体是圆锥，
故选：B．
根据三视图得出几何体即可．
本题考查了圆锥的三视图，关键是根据三视图得出几何体．
9. 【答案】B
【解析】解：将代入得：
解得：
将代入得：原式．
故选：．
将代入原式可求得，然后将，代入原式即可求得代数式的值．
本题主要考查的是代数式求值，求得的值是解题的关键．
10. 【答案】D
【解析】解：过B作⊙O的直径BM，连接AM；
则有：∠ MAB=∠ CDB=90°，∠ M=∠ C；
∴ ∠ MBA=∠ CBD；
过O作OE⊥AB于E；
Rt△OEB中，BE=AB=4，OB=5；
由勾股定理，得：OE=3；
∴ tan∠ MBA=；
因此tan∠ CBD=tan∠ MBA=，
故选：D．
过B作⊙O的直径BM，连接AM；由圆周角定理可得：① ∠ C=∠ AMB，② ∠ MAB=∠ CDB=90°；由上述两个条件可知：∠ CBD和∠ MBA同为等角的余角，所以这两角相等，求出∠ MBA的正切值即可；过A作AB的垂线，设垂足为E，由垂径定理易求得BE的长，即可根据勾股定理求得OE的长，已知∠ MBA的对边和邻边，即可求得其正切值，由此得解．
此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理的综合应用能力；能够将已知和所求的条件构建到同一个直角三角形中，是解答此题的关键．

11. 【答案】B
【解析】解：观察图形发现：
图中有个黑色正方形，
图中有个黑色正方形，
图中有个黑色正方形，
图中有个黑色正方形，
，
图中有个黑色的正方形，
当时，，
故选B．
仔细观察图形，找到图形的个数与黑色正方形的个数的通项公式后代入后即可求解．
本题是对图形变化规律的考查，难点在于利用求和公式求出第个图形的黑色正方形的数目的通项表达式．
12. 【答案】C
【解析】解：四边形是菱形，
理由：在▱中，对角线与相交于点，
，，
在和中
，
≌，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
故选：．
首先利用平行四边形的性质得出，，进而得出≌，再利用平行四边形和菱形的判定得出即可．
此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．
13. 【答案】B
【解析】解：∵ 抛物线经过点（0，3）和（3，3），
∴ c=3，抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（1，5），
∴ 抛物线开口向上，
∴ a＜0，
∴ ac＜0，所以A选项的结论正确；
当x＞时，y的值随x的增大而减小，所以B选项的结论错误；
∵ 抛物线过点（-1，-1），（3，3），
即抛物线与直线y=x相交于点（-1，-1），（3，3），
∴ 3和-1是方程ax+bx+c=x的根，所以C选项的结论正确；
当-1＜x＜3时，ax+bx+c＞x，
即ax+（b-1）x+c＞0，所以D选项的结论正确．
故选：B．
利用表中各对应点的特征和抛物线的对称性得到c=3，抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（1，5），所以抛物线开口向上，则可对A进行判断；根据二次函数的性质可对B进行判断；利用抛物线过点（-1，-1），（3，3）得到抛物线与直线y=x相交于点（-1，-1），（3，3），则可对C进行判断；利用函数图象可得当-1＜x＜3时，ax+bx+c＞x，则可对D进行判断．
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．
14. 【答案】A
【解析】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为，
过点的反比例函数解析式为，
．
随着值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意，
经过，的直线解析式为，
，得
根据，得
综上可知．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为、与线段有交点，由此求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度注意自变量的取值范围．
15. 【答案】C
【解析】解：
结论错误理由如下：
图中全等的三角形有对，分别为≌，≌，≌．
由等腰直角三角形的性质，可知，易得≌．
，，．
在与中，

≌．
同理可证：≌．
结论正确理由如下：
≌，
，
，
即的面积等于四边形的面积的倍．
结论正确，理由如下：
≌，
，
．
结论正确，理由如下：
≌，；≌，．
在中，由勾股定理得：，．
≌，，
又，为等腰直角三角形，，．
，，
∽，
，即．
，
．
综上所述，正确的结论有个，
故选：．
结论错误因为图中全等的三角形有对；
结论正确由全等三角形的性质可以判断；
结论正确利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
结论正确利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点难点在于结论的判断，其中对于“”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．

16. 【答案】C
【解析】解：∵ y=2x中a=2，
∴ y=a（x-t），中，a=2，
∵ 二次函数y=ax+bx+c都可以化成y=a（x-m）+n形式，其中m=-，n=，
∵ 图象开口向上，即a＞0，那么a=2，点（3，y）为这两个函数的交点，
∴ 2×3=a（3-t），解得t=6．
故选：C．
先根据函数y=2x可知此函数的对称轴为y轴，由于函数关于直线x=3对称，所以数y=min{2x，a（x-t）}的图象即为y=a（x-t）的图象，据此解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先根据题意求出a的值是解答此题的关键．
二、 填空题
17. 【答案】x≠4
【解析】解：∵ 分式有意义，
∴ x≠4．
故答案为：x≠4．
分式有意义的条件是分母不等于零
本题主要考查的是分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
18. 【答案】27
【解析】解：由反比例函数系数k的几何意义可知：S=S，
∵ 图中的阴影部分是由这些垂线围成的，且其面积是6，
∴ S=12，
∴ S=3×12=36，
∴ HG=3，OG=6，
∴ CE=OH=9，
∴ S=×6×9=27．
故答案为27．
根据题意求得S=12，S=3×12=36，即可求得CE=9，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，由几何意义得出S=S是解题的关键．

19. 【答案】π
【解析】解：如图连接OC、OB′．

∵ OB=OC=BC=4，OC=OB′=CB′=4，
∴ △OBC，△OCB′是等边三角形，
∴ BCO=∠ OCB′=60°，
∴ ∠ BCB′=120°，
∴ 点B运动的路径长==．
故答案为．
如图连接OC、OB′．只要证明△OBC，△OCB′是等边三角形即可解决问题．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、以及弧长公式的运用，解题的关键是正确的求出圆心角的度数．
三、 解答题
20. 【答案】解：原式，
当，时，原式．
【解析】
原式利用单项式乘以多项式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21. 【答案】解：（1）如图，射线EN即为所求；

（2）△ADF是等腰直角三角形．
在△ABC中，
∵ AB=AC，AE⊥BC，
∴ AE平分∠ BAC，
∴ ∠ EAC=∠ BAC．
∵ AF平分∠ CAD，
∴ ∠ CAF=∠ CAD，
∴ ∠ EAF=（∠ BAC+∠ CAD）=×180°=90°，
∵ ∠ AEC=90°，EN是∠ AEC的平分线，
∴ ∠ AEM=45°，
∴ ∠ AME=45°，
∴ AE=AM，即△AEM是等腰直角三角形．

【解析】
（1）根据角平分线的作法作∠ AEC的平分线EN即可；
（2）先根据题意得出AE平分∠ BAC，再由AF是△ABC外角∠ CAD的平分线可得出∠ EAM=90°，根据EN是∠ AEC的平分线可得出∠ AEM=45°，据此可得出结论．
本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
22. 【答案】解：（1）上面的数据为负数的概率；
（2）树状图如图所示，

一共有20种情形，点（x，y）在y=-x-1上的有4种情形，
点（x，y）在直线y=-x-1的概率为=；

（3）树状图如图所示，

一共有25种情形，点（x，y）在第四象限有4种情形，
点（x，y）是第四象限内的点的概率为．
【解析】
（1）负数有两个，根据概率公式计算即可；
（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再判断在直线y=-x-1上的结果数，然后根据概率公式求解；
（3）先画树状图展示所有25种等可能的结果数，再判断在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解；
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
23. 【答案】解：甲行走的速度：米分；
当时，甲行走的路程为：米，乙行走的路程为：米，
当时，乙已经到达图书馆，甲距图书馆的路程还有米，
甲到达图书馆还需时间；分，
分，
当时，横轴上对应的时间为．
补画的图象如图所示横轴上对应的时间为，

如图，

设乙出发经过分和甲第一次相遇，根据题意得：，
解得：，
分，
由函数图象可知，当时，，
点的坐标为，
当时，设的解析式为：，，
把，代入可得：
解得：，
，
当时，设的解析式为，，
把，代入得：
解得：
，
甲、乙两人相距米，即，
解得：，，
当甲行走分钟或分钟时，甲、乙两人相距米．
【解析】
由图象可知时，米，根据速度路程时间，即可解答；
根据图象提供的信息，可知当时，乙已经到达图书馆，甲距图书馆的路程还有米，甲到达图书馆还需时间；分，所以分，所以当时，横轴上对应的时间为．
分别求出当时和当时的函数解析式，根据甲、乙两人相距米，即，分别求出的值即可．
本题考查了行程问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
24. 【答案】解：问题情境：同弧所对的圆周角相等．理由如下：
∵ ∠ ABC和∠ FPA都是弧AC对着的圆周角，
∴ ∠ ABC=∠ FPA，即同弧所对的圆周角相等，
同理可得∠ ACB=∠ EPA；

深入探究：∠ FPA与∠ EPA相等，
证明：如图2，在圆内接四边形ABCP中，∠ APC+∠ ABC=180°，∠ APC+∠ FPA=180°，
∴ ∠ ABC=∠ FPA．
∵ ∠ ABC=∠ ACB，∠ ACB=∠ EPA，
∴ ∠ EPA=∠ ABC=∠ FPA，
即∠ FPA与∠ EPA相等；

拓展提高：射线PF是⊙O的切线，理由如下：
如图3，连接PO并延长，交⊙O于点D，连接AD．易得∠ DAP=90°，
∴ ∠ ADP+∠ DPA=90°．
∵ ∠ ABC=∠ ACB，∠ ACB=∠ FPA，∠ ABC=∠ ADP，
∴ ∠ FPA=∠ ADP，
∴ ∠ FPA+∠ DPA=90°，即∠ DPF=90°．
∵ DC是直径，
∴ 射线PF是⊙O的切线．



【解析】
因为∠ ABC和∠ FPA都是弧AC对着的圆周角，所以∠ ABC=∠ FPA，即同弧所对的圆周角相等，同理可得∠ ACB=∠ EPA，进而可知道小明使用的是圆周角的哪个性质；
深入探究：△ABC仍是等腰三角形，由圆的内接四边形定理以及圆周角定理证明；
拓展提高：射线PF是⊙O的切线，如图3，连接PO并延长，交⊙O于点D，欲证明射线PF是否为⊙O的切线，只需推知∠ DPF=90°即可．
本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有圆周角定义及其推论、角平分线的定义、圆的内接四边形定理以及切线的性质定理，题目的设计新颖，对学生理解问题的能力要求较高，特别是拓展提高部分正确作出图形的辅助线是解题关键．
25. 【答案】解：（1）∵ b=1，c=3，A（-2，n）在抛物线y=x+bx+c上．
∴ n=4+（-2）×1+3=5．
（2）∵ 此抛物线经过点A（-2，n），B（4，n），
∴ 抛物线的对称轴x==1，
∵ 二次函数y=x+bx+c的最小值是-4，
∴ 抛物线的解析式为y=（x-1）-4，
令x-1=x′，
∴ 点P（x-1，x+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′-4，
点P（x-1，x+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的如图：

【解析】
（1）代入b=1，c=3，以及A点的坐标即可求得n的值；
（2）根据题意求得抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，从而求得点P（x-1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2-4，然后利用5点式画出函数的图象即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值等，根据题意求得抛物线的解析式是解题的关键．
26. 【答案】解：Ⅰ当时，点与点重合，如图．
点点，
．
点，点分别为，的中点，

正方形是正方形绕点顺时针旋转得到的，
，．
在中，
．
在中，
．
，的长都等于．

Ⅱ当时，如图．
正方形是由正方形绕点顺时针旋转所得，
．
在和中，
，
≌．
，且．
，，

．

Ⅲ，
点、、、四点共圆，
当点在劣弧上运动时，点的纵坐标随着的增大而增大．
，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当与相切时，即最大，
此时，点与点重合，点的纵坐标达到最大．
过点作轴，垂足为，如图所示．
，，，
，．
．
，，
．
点的纵坐标的最大值为．



【解析】
利用勾股定理即可求出，的长．
运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．
首先找到使点的纵坐标最大时点的位置点与点重合时，然后运用勾股定理及角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点的纵坐标的最大值．
本题是在图形旋转过程中，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、角所对的直角边等于斜边的一半等知识，而找到使点的纵坐标最大时点的位置是解决最后一个问题的关键．