2019年河北省邯郸市育华中学等十一校联考中考数学模拟试卷（4月份）


绝密★启用前
2019年河北省邯郸市育华中学等十一校联考中考数学模拟试卷（4月份）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. ① a2+a2=a4② a2-a2=0 ③ a2•a2=a4④ a2÷a2=1，以上四个式子中，计算错误的是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
2. 2016年末，北京市常住人口2172.9万人，2017年末比上年末减少2.2万人，则2017年末北京市常住人口为（　　）
A. 2.1707×107人
B. 2.1751x107人
C. 2.1751×103人
D. 2.1707×103人
3. 下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是　　
A.
赵爽弦图
B.
科克曲线
C.
河图幻方
D.
谢尔宾斯基三角形
4. 用简便方法计算，将98×102变形正确的是（　　）
A. 98×102=1002+22
B. 98×102=（100-2）2
C. 98×102=1002-22
D. 98×102=（100+2）2
5. 图1是数学家皮亚特•海恩（Piet Hein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图（　　）

A.
B.
C.
D.
6. 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（　　）

A. P＞R＞S＞Q
B. Q＞S＞P＞R
C. S＞P＞Q＞R
D. S＞P＞R＞Q
7. 如图，是作线段AB的垂直平分线的尺规作图，其中没有用到依据是（　　）

A. 同圆或等圆的半径相等
B. 两点之间线段最短
C. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
D. 两点确定一条直线
8. 在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（　　）

A. （a+b）（a-b）=a2-b2
B. a2-b2=（a+b）（a-b）
C. a2+b2=（a+b）2
D. （a-b）2=a2-2ab+b2
9. 如图，，，，，与的面积分别是和，与的周长分别是和，则下列等式一定成立的是．

A． B．
C． D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点从出发，绕点顺时针旋转一周，则点不经过　　

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
11. 如图，这是健健同学的小测试卷，他应该得到的分数是（　　）

A. 40 B. 60 C. 80 D. 100
12. 在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于的是．

A． B． C． D．
13. A、B、C、D四名同学随机分为两组，两个人一组去參加辩论赛，问A、B两人恰好分到一组的概率（　　）
A. B. C. D.
14. 已知，平面直角坐标系中，在直线y=3上有A、B、C、D、E五个点，下列说法错误是（　　）

A. 五个点的横坐标的方差是2
B. 五个点的横坐标的平均数是3
C. 五个点的纵坐标的方差是2
D. 五个点的纵坐标的平均数是3
15. 二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是　　

A. B. C. D.
16. 如图，在四边形AOBC中，若∠ 1=∠ 2，∠ 3+∠ 4=180°，则下列结论正确的有（　　）
（1）A、O、B、C四点共圆
（2）AC=BC
（3）cos∠ 1=
（4）S=

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

评卷人
得分



二、 填空题（共2题）
17. 甲、乙、丙三名同学在某次数学考试中成绩都是80分，在接下来的两次考试当中他们的成绩增长率如表

第一次的增长率
第二次的增长率
甲
20%
10%
乙
15%
15%
丙
30%
0%
经过这两次考试后，成绩最好的同学是______．
18. 如图，边长为1的正方形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停止．第一次滚动时正方形旋转了______°，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是______．


评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
19. 已知，如图，数轴上有A、B两点．
（1）线段AB的中点表示的数是______；
（2）线段AB的长度是______；
（3）若A、B两点问时向右运动，A点速度是每秒3个单位长度，B点速度是每秒2个单位长度，问经过几秒时AB=2?

20. 2017年我国“十二五”规划圆满完成，“十三五”规划顺利实施，经济社会发展取得历史性成就，发生历史性变革．这五年来，经济实力跃上新台阶，国内生产总值达到82.7万亿元，2018年，我国国内生产总值达到900309亿元人民币，首次迈过90万亿元门槛，比上一年同比增长66%，实现了65%左右的预期发展目标．下面的统计图反映了我国2013年到2018年国内生产总值及其增长速度情况，其中国内生产总值绝对数按现价计算，增长速度按不变价格计算

根据以上信息，回答下列问题
（1）把统计图补充完整；
（2）我国2013年到2018年这六年的国内生产总值增长速度的中位数是______%；
（3）2019年政府工作报告提出，今年的预期目标是国内生产总值比2018年增长6‰-6.5%，通过计算说明2019年我国国内生产总值至少达到多少亿元，即可达到预期目标．
21. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-3，-2，-1，0，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
（1）求第五个台阶上的数x是多少?
（2）求前21个台阶上的数的和是多少?
（3）发现：数的排列有一定的规律，第n个-2出现在第______个台阶上；
（4）拓展：如果倩倩小同学一步只能上1个或者2个台阶，那么她上第一个台阶的方法有1种：1=1，上第二个台阶的方法有2种：1+1=2或2=2，上第三个台阶的方祛有3种：1+1+1=3、1+2=3或2+1=3，…，她上第五个台阶的方法可以有______种．

22. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O与BC交于点D，⊙O与AC交于点E，DF⊥AC于F，连接DE．
（1）求证：D为BC中点；
（2）求证：DF与⊙O相切；
（3）若⊙O的半径为5，tan∠ C=，则DE=______．

23. 已知，如图，A点坐标是（1，3），B点坐标是（5，1），C点坐标是（1，1）
（1）求△ABC的面积是______；
（2）求直线AB的表达式；
（3）一次函数y=kx+2与线段AB有公共点，求k的取值范围；
（4）y轴上有一点P且△ABP与△ABC面积相等，则P点坐标是______．

24. 如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP=1，则AE=______；
（2）① 点O与△APE的位置关系是______，并说明理由；
② 当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP=______，AE达到最大值，最大值是______．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax-3a（a＜0）与x轴相交于A、B两点与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a=-1时，抛物线顶点D的坐标为______，OE=______；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠ DEO=β，当β从30°增加到60°的过程中，点D运动的路径长；
（4）以DE为斜边，在直线DE的右上方作等腰Rt△PDE．设P（m，n），请直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．


参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】解：① a2+a2=a2，故① 错误；
② a2-a2=0，故② 正确；
③ a2•a2=a4，故③ 正确；
④ a2÷a2=1，故④ 正确；
故选：A．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2. 【答案】A
【解析】解：2172.9万-2.2万=2170.7万用科学记数法表示为：2.1707×107，
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 【答案】B
【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
4. 【答案】C
【解析】解：98×102=（100-2）（100+2）=1002-22，
故选：C．
根据（a+b）（a-b）=a2-b2进行计算．
此题考查了平方差公式，掌握（a+b）（a-b）=a2-b2是解题的关键，是一道基础题，比较简单．
5. 【答案】C
【解析】解：A、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；
B、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；
C、主视图左往右2列正方形的个数均依次为1，1，不符合所给图形；
D、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形．
故选：C．
依次分析所给几何体从正面看及从左面看得到的图形是否与所给图形一致即可．
考查由视图判断几何体；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从正面看及从左面看得到的图形．
6. 【答案】D
【解析】解：观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q，
所以S＞P＞R＞Q．
故选：D．
由三个图分别可以得到​​S>P​​①​P>R​​②​P+R>Q+S​③​​，由① 式可得Q+S＞Q+P，代入③ 式得到P+R＞Q+P，所以R＞Q．所以它们的大小关系为S＞P＞R＞Q．
本题考查了不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想．
7. 【答案】B
【解析】解：作线段AB的垂直平分线的尺规作图，其中用到的依据有：同圆或等圆的半径相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
故选：B．
利用同圆或等圆的半径相等得到PA=PB=QA=QB；利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可判断点P、Q在线段AB的垂直平分线上；利用两点确定一条直线得到直线PQ．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
8. 【答案】B
【解析】解：如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是：a2-b2=（a+b）（a-b），
故选：B．
分别求两图形的面积，可得出平方差公式．
本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个图形的面积相等列等式是关键，属于基础题．
9. 【答案】D
【解析】解：，，，，
，错误；
，错误；
，正确；
不能得出，错误．
故选
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
10. 【答案】C
【解析】解：由图形可得：，，，，，
所以点从出发，绕点顺时针旋转一周，则点不经过点，
故选：．
分别得出，，，，的长判断即可．
此题考查坐标与旋转问题，关键是根据各边的长判断．
11. 【答案】B
【解析】解：（1）（x≠0）是分式，故错误；
（2）（-2x）=-8x，故错误；
（3）（a-b）=a-2ab+b，故错误；
（4），故错误；
（5）65°的补角是115°，故错误，
故健健只做对了3道，得60分
故选：B．
根据分式的定义、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、算术平方根、补角的定义逐项判断即可．
此题考查分式的定义、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、算术平方根、补角的定义，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
12. 【答案】A
【解析】解：由图象可知：
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的一个交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
综上，解析式中的二次项系数一定小于的是．
故选
由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．
本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．
13. 【答案】C
【解析】解：根据题意画树状图如下：

共有12种情况，A，B两名同学分在同一组的情况有2种，
则A、B恰好分到同一组的概率为=；
故选：C．
画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．
本题考查了概率公式、树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；画出树状图是解题的关键．
14. 【答案】C
【解析】解：根据题意可得：五个点的横坐标的平均数==3
五个点的横坐标的方差=，
五个点的纵坐标的平均数==3
五个点的纵坐标的方差是0，
故选：C．
根据方差和平均数的概念解答即可．
此题考查方差问题，关键是根据方差和平均数的概念解答．
15. 【答案】D
【解析】解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，

当时，，
当时，，
由图象可知关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，
直线在直线和直线之间包括直线，
．
故答案为．
如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
16. 【答案】D
【解析】解：∵ ∠ 3+∠ 4=180°，
∴ A、O、B、C四点共圆，（1）正确；
作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，如图所示：
则∠ CDA=∠ CEB=90°，
∵ ∠ 1=∠ 2，
∴ CD=CE，
∵ ∠ 3+∠ 4=180°，∠ 3+∠ CAD=180°，
∴ ∠ CAD=∠ 4，
在△ACD和△BCE中，​​∠​CAD=∠​4​​​​amp;​∠​DA=∠​CEB​​​​amp;​CD=CE​​​​amp;​，
∴ △ACD≌△BCE（AAS），
∴ AD=BE，AC=BC，（2）正确；
∵ cos∠ 1==，cos∠ 2==，
∴ cos∠ 1+cos∠ 2=+==，
∵ ∠ 1=∠ 2，
∴ cos∠ 1=cos∠ 2，
∴ 2cos∠ 1=，
∴ cos∠ 1=，（3）正确；
∵ CD=CE，sin∠ 1=，
∴ CD=c×sin∠ 1，
∴ S=S+S=a×CD+b×CE=（a+b）CD=（a+b）×c×sin∠ 1=，（4）正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
由圆内接四边形的判定定理得出A、O、B、C四点共圆，（1）正确；
作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，由角平分线的性质得出CD=CE，证出∠ CAD=∠ 4，由AAS证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，AC=BC，（2）正确；
由三角函数定义得出cos∠ 1+cos∠ 2=+=，即可得出（3）正确；
由三角形面积公式和三角函数得出S=，（4）正确；即可得出结论．
本题是四点共圆综合题目，考查了圆内接四边形的判定定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式、三角函数定义等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

二、 填空题
17. 【答案】乙
【解析】解：甲同学：80×（1+20%）×（1+10%）=105.6分，
乙同学：80×（1+15%）×（1+15%）=105.8分，
丙同学：80×（1+30%）=104分，
综合比较乙同学两次后成绩最好；
故答案为乙；
根据增长率的意义，分别求出三人的最后成绩为：甲同学：80×（1+20%）×（1+10%）=105.6分，乙同学：80×（1+15%）×（1+15%）=105.8分，丙同学：80×（1+30%）=104分；
本题考查增长率的意义；熟练掌握增长率的算法是解题的关键．
18. 【答案】150 +
【解析】解：如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．

易知EH=EA==，
在△AEF中，∵ AF=EF=1，∠ AFE=120°，
∴ AE=，
∴ AH=AE+EH=+．
∴ 点A在滚动过程中到出发点的最大距离为+．
故答案为：150，+
如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．
本题考查旋转变换，正方形的性质，正六边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找点A的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
三、 解答题
19. 【答案】 5
【解析】解：如图所示：

（1）∵ 有A、B两点在数轴上对应的数分别为-2，3
∴ 线段AB的中点表示的数是；
故答案为．
（2）线段AB的长度是|-2-3|=|-5|=5；
故答案为5．
（3）设经过x秒后，线段AB的长度为2，依题意得：
① A点还没有追上B点某一时刻相距2个单位长度时，
5+2x=3x+2
解得：x=3，
② A点追上B点后某一时刻相距2个单位长度时，
3x=2x+5+2
解得：x=7
综合所述经过3秒或7秒时，线段AB的长度为2．
（1）线段AB的中点对应的数为两端点对应的数的和的一半；
（2）线段AB的长度是两端点对应的数的差的绝对值；
（3）两个不同动点相距2个单位长度，两种情况：一是相遇前相距2单位长度，二是相遇后相距2个单位长度，最后根据路，速度和时间的关系建立等量关系．
本题考查了数轴上的点与实数的对应关系，两点之间的距离与绝对值的几何意义和一元一次方程的应用；易错点数轴上速度不同两个动点相遇前后两种不同情况相距2个单位长度．
20. 【答案】6.9
【解析】解：（1）把统计图补充完整，如图所示；

（2）我国2013年到2018年这六年的国内生产总值增长速度的中位数是6.9%；
（3）900309×（1+6%）=954327.54亿元，
答：2019年我国国内生产总值至少达到954327.54亿元，即可达到预期目标．
（1）根据题意把统计图补充完整即可；
（2）根据中位线的定义即可得到结论；
（3）根据题意列式计算即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21. 【答案】（4n-2） 8
【解析】解：（1）由题意得：-3-2-1+0=-2-1+0+x，
x=-3，
答：第五个台阶上的数x是-3；
（2）由题意知：台阶上的数字是每4个一循环，
-3-2-1+0=-6，
∵ 21÷4=5…1，
∴ 5×（-6）+（-3）=-33，
答：前21个台阶上的数的和是-33；
（3）第一个-2在第2个台阶上，
第二个-2在第6个台阶上，
第三个-2出现在第10个台阶上；
…
第n个-2出现在第（4n-2）个台阶上；
故答案为：（4n-2）；
（4）上第五个台阶的方法：1+1+1+1+1=5，1种，
1+1+1+2=5，1+2+2=5，1+2+1+1=5，1+1+2+1=5，4种，
2+2+1=5，2+1+2=5，2+1+1+1=5，3种，
∴ 1+4+3=8种，
答：她上第五个台阶的方法可以有8种．
故答案为：8．
（1）将两组相邻4个数字相加可得；根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得x；
（2）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；
（3）台阶上的数字是每4个一循环，根据规律可得结论．
（4）根据第一步上1个台阶和2个台阶分情况讨论可得结论．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中数字的变化特点，求出相应的结果．
22. 【答案】6
【解析】（1）证明：连接AD，∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ ADB=90°，
∴ AD⊥BC，
∵ AB=AC，
∴ D为BC中点；
（2）解：连接OD，
∵ AO=BO，BD=CD，
∴ OD∥AC，
∴ ∠ DFC=∠ ODF，
∵ DF⊥AC，
∴ ∠ ODF=90°，
°OD⊥DF，
∴ DF与⊙O相切；
（3）解：∵ OD⊥DF，DF⊥AC，
∴ AC∥OD，
∴ ∠ AED+∠ ODE=180°，
∵ ∠ AED+∠ B=180°，
∴ ∠ B=∠ EDO，
∵ ∠ EDF+∠ EDO=∠ CDF+∠ ODB=90°，
∴ ∠ EDF=∠ CDF，
∴ DE=CD，
∵ ⊙O的半径为5，tan∠ C=，
∴ AB=10，BD=6，
∴ DE=CD=BD=6．
故答案为：6．
（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ ADB=90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OD，根据平行线的性质得到∠ DFC=∠ ODF，根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质和圆内接四边形的性质得到∠ B=∠ EDO，根据余角的性质得到∠ EDF=∠ CDF，得到DE=CD，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

23. 【答案】4 （0，）或（0，）
【解析】解：（1）∵ A点坐标是（1，3），B点坐标是（5，1），C点坐标是（1，1），
∴ AC=3-1=2，BC=5-1=4，∠ C=90°，
∴ S=AC•BC=×2×4=4．
故答案为4；

（2）设直线AB的表达式为y=kx+b．
∵ A点坐标是（1，3），B点坐标是（5，1），
∴，解得，
∴ 直线AB的表达式为y=-x+；

（3）当k＞0时，y=kx+2过A（1，3）时，
3=k+2，解得k=1，
∴ 一次函数y=kx+2与线段AB有公共点，则0＜k≤1；
当k＜0时，y=kx+2过B（5，1），
1=5k+2，解得k=-，
∴ 一次函数y=kx+2与线段AB有公共点，则-≤k＜0．
综上，满足条件的k的取值范围是0＜k≤1或-≤k＜0；

（4）过C点作AB的平行线，交y轴于点P，此时△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形，所以面积相等．
设直线CP的解析式为y=-x+n，
∵ C点坐标是（1，1），
∴ 1=-+n，解得n=，
∴ 直线CP的解析式为y=-x+，
∴ P（0，）．
设直线AB：y=-x+交y轴于点D，则D（0，）．
将直线AB向上平移-=2个单位，得到直线y=-x+，与y轴交于点P′，此时△ABP′与△ABP是同底等高的两个三角形，所以△ABP与△ABC面积相等，易求P′（0，）．
综上所述，所求P点坐标是（0，）或（0，）．
故答案为（0，）或（0，）．
（1）根据A、B、C三点的坐标可得AC=3-1=2，BC=5-1=4，∠ C=90°，再利用三角形面积公式列式计算即可；
（2）设直线AB的表达式为y=kx+b．将A（1，3），B（5，1）代入，利用待定系数法即可求解；
（3）由于y=kx+2是一次函数，所以k≠0，分两种情况进行讨论：① 当k＞0时，求出y=kx+2过A（1，3）时的k值；② 当k＜0时，求出y=kx+2过B（5，1）时的k值，进而求解即可；
（4）过C点作AB的平行线，交y轴于点P，根据两平行线间的距离相等，可知△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形，面积相等．根据直线平移k值不变可设直线CP的解析式为y=-x+n，将C点坐标代入，求出直线CP的解析式，得到P点坐标；再根据到一条直线距离相等的直线有两条，可得另外一个P点坐标．
本题考查了三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，直线平移的规律等知识，直线较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．

24. 【答案】 点O在△APE的外接圆上 2 1
【解析】解：（1）∵ 四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴ ∠ A=∠ B=∠ EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠ OEP=45°，
∴ ∠ AEP+∠ APE=90°，∠ BPC+∠ APE=90°，
∴ ∠ AEP=∠ BPC，
∴ △APE∽△BCP，
∴ ，即，
解得：AE=；
故答案为：；
（2）① 点O在△APE的外接圆上，理由是：
证明：如图1，

取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵ ∠ POE=90°，
∴ OQ=PE，
∵ △APE是直角三角形，
∴ 点Q是Rt△APE外接圆的圆心，
∴ AQ=PE，
∴ OQ=AQ=EQ=PQ，
∴ O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，
即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），
故答案为：点O在△APE的外接圆上；
② 连接OA、AC，如图2所示，

∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ B=90°，∠ BAC=45°，
∴ AC==4，
∵ A、P、O、E四点共圆，
∴ ∠ OAP=∠ OEP=45°，
∴ 点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=2，
即点O经过的路径长为2；
（3）设AP=x，则BP=4-x，
由（1）得：△APE∽△BCP，
∴ ，
∴ ，
∴ AE=（x-2）+1，
∴ x=2时，AE的最大值为1，
即当AP=2时，AE的最大值为1．
故答案为：2，1．
（1）由正方形的性质得出∠ A=∠ B=∠ EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠ OEP=45°，由角的互余关系证出∠ AEP=∠ BPC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；
（2）① A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；
② 连接OA、AC，由勾股定理求出AC=4，由圆周角定理得出∠ OAP=∠ OEP=45°，点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；
（3）设AP=x，则BP=4-x，由：△APE∽△BCP，得，计算AE=（x-2）+1，得结论．
本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，难度较大．
25. 【答案】（-1，4） 3
【解析】解：（1）当a=-1时，抛物线的解析式为y=-x-2x+3，
∴ 顶点D（-1，4），C（0，3），
∴ 直线CD的解析式为y=-x+3，
∴ E（3，0），
∴ OE=3，
故答案为：（-1，4），3．

（2）结论：OE的长与a值无关．
理由：∵ y=ax+2ax-3a，
∴ C（0，-3a），D（-1，-4a），
∴ 直线CD的解析式为y=ax-3a，
当y=0时，x=3，
∴ E（3，0），
∴ OE=3，
∴ OE的长与a值无关．

（3）如图，

当β=30°时，OC=OE=，
∴ -3a=，
∴ a=-，此时点D′的坐标是（-1，）．
当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=OE=3，
∴ -3a=3，
∴ a=-，此时点D的坐标是（-1，4）．
∴ 点D运动的路径长为：4-=；

（4）如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥x轴于N．

∵ PD=PE，∠ PMD=∠ PNE=90°，∠ DPE=∠ MPN=90°，
∴ ∠ DPM=∠ EPN，
∴ △DPM≌△EPN（AAS），
∴ PM=PN，DM=EN，
∵ D（-1，-4a），E（3，0），
∴ 由PM=PN得到：n=m+1．
由DM=EN得到：m-3=-4a-n．
当顶点D在x轴上时，P（1，2），此时m的值1，
∵ 抛物线的顶点在第二象限，
∴ m＞-1．
∴ n=m+1（m＞-1）．
（1）求出直线CD的解析式即可解决问题；
（2）利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；
（3）求出落在特殊情形下的a的值即可点D运动的路径长；
（4）如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．