2019年河北省中考数学模拟试卷（一）


绝密★启用前
2019年河北省中考数学模拟试卷（一）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. 计算-1的结果是（　　）
A. 1 B. -1 C. D. -
2. 世界人口约人，用科学记数法可表示为．
A． B．
C． D．
3. 直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，a与c相交于点O，将直线a绕点O按照逆时针方向旋转n°（0＜n＜90）后，a⊥c，则n的值为（　　）

A. 60 B. 40 C. 30 D. 20
4. 如图2，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（　　）

A. ① B. ② C. ③ D. ④
5. 将多边形的边数由n条增加到（n+x）条后，内角和增加了540°，则x的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知几个相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图及左视图如图3所示，则构成该几何体的小正方体个数最多是（　　）

A. 5个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
7. 下列结果不正确的是（　　）
A. （-32）2=35
B. 32+32+32=33
C. 34÷3-2=36
D. 32019-32018能被2整除
8. 某班学生到距学校12 km的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先行，经h后，其余同学乘汽车出发，由于设自行车的速度为xkm/h，则可得方程为，根据此情境和所列方程，上题中表示被墨水污损部分的内容，其内容应该是（　　）
A. 汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达
B. 汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到 h
C. 汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到 h
D. 汽车速度比自行车速度每小时多3km，结果同时到达
9. 已知x是的小数部分，且x满足方程x-4x+c=0，则c的值为（　　）
A. 6 -8 B. 8-6
C. 4 -3 D. 3-4
10. 设函数的图象如图所示，若，则关于的函数图象可能为　　

A.
B.
C.
D.
11. 如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为-3，-1，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，所取两点之间的距离为2的概率是（　　）

A. B. C. D.
12. 某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是　　

A. 甲种方案所用铁丝最长
B. 乙种方案所用铁丝最长
C. 丙种方案所用铁丝最长
D. 三种方案所用铁丝一样长
13. 用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中错误的是．
A．
B．
C．
D．
14. 图为歌神KTV的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此KTV的一间包厢里连续欢唱6小时，经服务员试算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有（　　）

A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人
15. 如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角的三个顶点分别在这三条平行直线上，则的值是　　

A. B. C. D.
16. 对于题目“当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）+m+1有最大值4，求实数m的值．”：甲的结果是2或，乙的结果是-或-，则（　　）
A. 甲的结果正确
B. 乙的结果正确
C. 甲、乙的结果合在一起才正确
D. 甲、乙的结果合在一起也不正确

评卷人
得分



二、 填空题（共3题）
17. 的算术平方根是 ______ ．
18. 已知非零实数a，b互为相反数，设M=1-，N=1-，则M______N（填“＞”“＜”或”=”）
19. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm
（1）小朋友将圆盘从点A滚到与BC相切的位置，此时圆盘的圆心O所经过的路线长为______cm；
（2）小朋友将圆盘从点A滚动到点D，其圆心所经过的路线长为______cm．


评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
20. 小马虎做一道数学题，“已知两个多项式A=______x2-4x，B=2x2+3x-4，试求A+2B．”其中多项式A的二次项系数印刷不清楚．
（1）小马虎看答案以后知道A+2B=x2+2x-8，请你替小马虎求出系数“______”；
（2）在（1）的基础上，小马虎已经将多项式A正确求出，老师又给出了一个多项式C，要求小马虎求出A-C的结果．小马虎在求解时，误把“A-C”看成“A+C“，结果求出的答案为x2-6x-2．请你替小马虎求出“A-C“的正确答案
21. 某年级共有名学生．为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成组：，，，，，）：
b．课程成绩在这一组的是：
c．，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程
平均数
中位数
众数








根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的课程成绩为分，课程成绩为分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填““或““），理由是 ，
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计课程成绩跑过分的人数．
22. 观察下表三行数的规律，回答下列问题：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第6列
…
第1行
-2
4
-8
a
-32
64
…
第2行
0
6
-6
18
-30
66
…
第3行
-1
2
-4
8
-16
b
…
（1）第1行的第四列数a=______，第3行的第六列数b=______．
（2）若第1行的某一列的数为c，则第2行与它同一列的数为______．（用含c的式子表示）；
（3）已知第n列的三个数的和为642，试求n的值．
23. 甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲（千米）、s乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．
（1）乙车的速度为______千米/时；
（2）分别求出s甲、s乙与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（3）求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；
（4）当两车相距300千米时，求t的值．

24. 在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为E和F，连接OE，OF．
（1）如图1，线段OE与OF的数量关系是______；
（2）如图2，当∠ ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）若|CF-AE|=2，EF=2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段PF的长．

25. 如图14，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动：设点P，点Q的运动时间为t（s）
（1）当t=1s时，按要求回答下列问题
① tan∠ QPC=______；
② 求经过O，P，A三点的抛物线G的解析式，若将抛物线G在x轴上方的部分图象记为G，已知直线y=x+b与G有两个不同的交点，求b的取值范围．
（2）连接CQ，点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数解析式．

26. 如图是一块含30°（即∠ CAB=30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕着点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止．在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．
（1）当射线CP与△ABC的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少?
（2）当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多少?
（3）当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE=CE．


参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】解：原式=（-）=1．
故选：A．
先把带分数化成假分数，然后根据有理数的乘法法则计算即可．
本题考查有理数乘法法则，属于容易题．
2. 【答案】C
【解析】解：．
故选
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 【答案】C
【解析】解：如图所示，

∠ 1=140°-80°=60°，
将直线a绕点O按照逆时针方向旋转n°（0＜n＜90）后，a⊥c，则n=90-60=30．
故选：C．
根据三角形的外角性质求出a与c的交角，再根据垂直的定义解答即可．
本题主要考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．本题还考查了垂直的定义．
4. 【答案】A
【解析】解：有3个使之成为轴对称图形分别为：② ，③ ，④ ．
故选：A．
根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
5. 【答案】C
【解析】解：n边形的内角和是（n-2）•180°，（n+x）边形的内角和是（n+x-2）•180°，
则（n+x-2）•180°-（n-2）•180°=540°，
解得：x=3，
故选：C．
根据多边形的内角和定理即可求出答案．
本题考查了多边形的内角和．正确理解多边形的内角和定理，正确对式子进行化简是解决的关键．
6. 【答案】B
【解析】解：由俯视图及左视图知，构成该几何体的小正方形体个数最多的情况如下：

构成该几何体的小正方体个数最多是7个，
故选：B．
根据俯视图知几何体的底层有4个小正方形组成，而左视图是由3个小正方形组成，故这个几何体的后排最有1个小正方体，前排最多有2×3=6个小正方体，即可解答．
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．
7. 【答案】A
【解析】解：A、（-32）2=34，计算错误，符合题意；
B、32+32+32=33，正确，不合题意；
C、34÷3-2=36，正确，不合题意；
D、32019-32018=32018×2，故能被2整除，正确，不合题意．
故选：A．
直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则分别化简得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8. 【答案】A
【解析】解：由方程可知汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达．
故选：A．
本题考查根据分式方程找已知条件的能力，根据题意可知方程的等量关系为：骑自行车的时间-乘汽车的时间=h，根据时间=路程÷速度可知被墨水污损部分的内容，
本题考查了分式方程中的路程问题，有一定的难度，解题关键是找准等量关系：骑自行车的时间-乘汽车的时间=h．
9. 【答案】A
【解析】解：根据题意得：x=-1，
代入方程得：4-2-4+4+c=0，
解得：c=6-8，
故选：A．
根据题意确定出x的值，代入方程计算即可求出c的值．
此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
10. 【答案】D
【解析】解：，
．
反比例函数的图象在第一象限，
，
．
关于的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象．
故选D．
根据反比例函数解析式以及，即可找出关于的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出，结合的取值范围即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出关于的函数解析式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的变换找出关于的函数关系式是关键．
11. 【答案】D
【解析】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中所取两点之间的距离为2的结果数为4，
所以所取两点之间的距离为2的概率==，
故选：D．
画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出所取两点之间的距离为2的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
12. 【答案】D
【解析】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：，
乙所用铁丝的长度为：，
丙所用铁丝的长度为：，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：．
分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键．
13. 【答案】C
【解析】解：、作图根据由作图可知，，且平分，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；
、由作图可知，，即四边相等的四边形是菱形，正确；
、由作图可知，，只能得出是平行四边形，错误；
、由作图可知对角线平分对角，可以得出是菱形，正确．
故选
根据菱形的判定和作图根据解答即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
14. 【答案】C
【解析】解：设嘉淇和朋友们共有x人，
若选择包厢计费方案需付：（225×6+25x）元，
若选择人数计费方案需付：135×x+（6-3）×20×x=195x（元），
∴ 225×6+25x＜195x，
解得：x＞=7．
∴ 至少有8人．
故选：C．
设嘉淇和朋友们共有x人，分别计算选择包厢和选择人数的费用，然后根据选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．
15. 【答案】D
【解析】解：如图，过点作于，过点作于，设，，间的距离为，
，
，
，
在等腰直角中，，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
在等腰直角中，，
．
故选：．
过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍求出，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

16. 【答案】D
【解析】解：二次函数的对称轴为直线x=m，
① m＜-2时，x=-2时二次函数有最大值，
此时-（-2-m）+m+1=4，
解得m=-，与m＜-2矛盾，故m值不存在；
② 当-2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m+1=4，
解得m=-，m=（舍去）；
③ 当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，-（1-m）+m+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或-．
所以甲、乙的结果合在一起也不正确，
故选：D．
根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后判断即可．
本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．
二、 填空题
17. 【答案】
【解析】解：由于，
，
又，
的算术平方根为．
故答案为：．
根据立方根及算术平方根的定义即可得出答案．
本题考查了立方根及算术平方根的知识，比较容易，掌握立方根及算术平方根的定义．
18. 【答案】=
【解析】解：M=1-==，
N=1-==，
∴ a，b互为相反数，
∴ a+b=0，
∴ M=N=0，
故答案为：=；
化简M=，N=，根据a，b互为相反数，代入即可求解；
本题考查相反数；代数式求值，因式分解；能够准确的将式子进行因式分解是解题的关键．
19. 【答案】（60-） （140-+π）
【解析】解：（1）如图，当圆盘滚到与BC相切，停止的位置设是圆D，与AB切于E，连接DE，DB，则DE⊥AB，
∵ 在直角△DEB中，BE=DE•tan30°=10×=（cm），
∴ AE=AB-BE=60-（cm），
即此时圆盘的圆心O所经过的路线长为（60-）cm．
故答案为（60-）；

（2）如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象．
可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO，线段OO，圆弧​​O2​O3​，线段OO四部分构成．
其中OE⊥AB，OF⊥BC，OC⊥BC，OC⊥CD，OD⊥CD．
由（1）知OO=AE=（60-）cm，
易得Rt△OBE和Rt△OBF全等，
∴ BF=BE=cm，
∴ OO=BC-BF=（40-）cm．
∵ AB∥CD，BC与水平夹角为60°，∴ ∠ BCD=120度．
又∵ ∠ OCB=∠ OCD=90°，
∴ ∠ OCO=60度．
则圆盘在C点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60°且半径为10cm的圆弧​​O2​O3​．
∴ ​​O2​O3​的长==πcm．
∵ 四边形OODC是矩形，
∴ OO=CD=40cm．
综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是
（60-）+（40-）+π+40=（140-+π）cm．
故答案为（140-+π）．
（1）当圆盘与BC相切时，圆与AB，BC都相切且∠ ABC=120°，解直角△DEB，求出BE，则圆心转过的路线是AE，根据AE=AB-BE即可求出AE；
（2）根据题意，知圆心所经过的路线的长度为线段OO的长度+线段OO的长度+圆弧​​O2​O3​的长度+线段OO的长度．
本题考查了弧长公式，切线的性质，切线长定理，解直角三角形等知识，综合性较强．解题的关键是画圆心的轨迹图，进而理解圆心所走的路线是由哪几段组成的．


三、 解答题
20. 【答案】-3 -3
【解析】解：（1）根据题意得：A+2B=ax2-4x+4x2+6x-8=（a+4）x2+2x-8=x2+2x-8，
可得a+4=1，
解得：a=-3；
故答案为：-3，-3；
（2）根据题意得：C=（x2-6x-2）-（-3x2-4x）=4x2-2x-2，
∴ A-C=-3x2-4x-4x2+2x+2=-7x2-2x+2，
则“A-C”的正确答案为-7x2-2x+2．
（1）根据题意列出关系式，去括号合并后即可确定出a的值；
（2）根据题意确定出正确的C，由A-C确定出结果即可．
此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21. 【答案】（1）；
（2）；该学生的成绩小于课程的中位数，而大于课程的中位数；
（3）
【解析】解：（1）课程总人数为，
中位数为第、个数据的平均数，而第、个数据均在这一组，
中位数在这一组，
这一组的是： ，
课程的中位数为，即；
（2）该学生的成绩小于课程的中位数，而大于课程的中位数，
这名学生成绩排名更靠前的课程是．
故答案为、该学生的成绩小于课程的中位数，而大于课程的中位数
（3）估计课程成绩跑过分的人数为人．
（1）先确定课程的中位数落在第小组，再由此分组具体数据得出具体的中位数即可；
（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；
（3）用总人数乘以样本中超过分的人数所占比例可得．
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
22. 【答案】16 32 c+2
【解析】解：（1）第一行后一个数是前一个数乘以-2；
∴ a=16，
第三行后一个数是前一个数乘以-2；
∴ b=32，
故答案为16；32；
（2）第二行的每一个数第一行对于数加2，
故答案为c+2；
（3）∵ （-1）•2+（-1）•2+2+（-1）•2=642，
∴ n为偶数，
∴ 2+2+2+•2=642，
∴ 2=2，
∴ n=8，
∴ n的值为8．
（1）根据每一行的变化规律可得后一个数是前一个数乘以-2，即可求解；
（2）观察每列上下两个数的关系，得到第二行的每一个数第一行对于数加2，即可求解；
（3）对比第一行和第二行对应的数易得第三行第n个数为（-1）•2÷2．
本题考查数的规律，实数的运算；能够横纵联系观察表格中的数，找到数之间的关系，熟练幂的运算性质是解题的关键．
23. 【答案】120
【解析】解：（1）120÷1=120千米/时，故答案为120；（1分）

（2）设s与t的函数关系为s=kt+b，
∵ 图象过点（3，60）与（1，420），
∴
解得
∴ s与t的函数关系式为s=-180t+600．（4分）
设s与t的函数关系式为s=kt，
∵ 图象过点（1，120），
∴ k=120．
∴ s与t的函数关系式为s=120t．（5分）

（3）当t=0，s=600，
∴ 两城之间的路程为600千米．（6分）
∵ s=s，即-180t+600=120t，解得t=2．
∴ 当t=2时，两车相遇．（8分）

（4）当相遇前两车相距300千米时，s-s=300，
即-180t+600-120t=300，解得t=1．（9分）
当相遇后两车相距300千米时，s-s=300，
即　120t+180t-600=300．
解得t=3．（10分）
（1）根据点（1，120）在乙的函数关系式上可得乙车的速度；
（2）根据甲的函数关系式为一次函数解析式，乙的函数关系式为正比例函数解析式，找到相应的点代入即可求得相应的函数解析式；
（3）让甲的函数关系式的t=0即可求得两城之间的距离，让两个函数解析式的y相等即可求得两车相遇时t的值；
（4）让甲的函数关系式减去乙的函数关系式为300或乙的函数关系式减去甲的函数关系式为300即可求得所求的时间．
考查用待定系数法求一次函数解析式以及一次函数解析式的应用；得到两个函数的关系式是解决本题的突破点；用数形结合的方法判断出所求值与得到函数关系式的关系是解决本题的难点．
24. 【答案】OF=OE
【解析】解：（1）如图1中，延长EO交CF于K．

∵ AE⊥BE，CF⊥BE，
∴ AE∥CK，
∴ ∠ EAO=∠ KCO，
∵ OA=OC，∠ AOE=∠ COK，
∴ △AOE≌△COK（ASA），
∴ OE=OK，
∵ △EFK是直角三角形，
∴ OF=EK=OE．
故答案为：OF=OE．
（2）如图2中，延长EO交CF于K．

∵ ∠ ABC=∠ AEB=∠ CFB=90°，
∴ ∠ ABE+∠ BAE=90°，∠ ABE+∠ CBF=90°，
∴ ∠ BAE=∠ CBF，
∵ AB=BC，
∴ △ABE≌△BCF，
∴ BE=CF，AE=BF，
∵ △AOE≌△COK，
∴ AE=CK，OE=OK，
∴ FK=EF，
∴ △EFK是等腰直角三角形，
∴ OF⊥EK，OF=OE．
（3）PF的长为2或．
如图1中，点P在OA上，延长EO交CF于K．
∵ |CF-AE|=2，EF=2，AE=CK，
∴ FK=2，在Rt△EFK中，tan∠ FEK=，
∴ ∠ FEK=30°，
∴ EK=2FK=4，OF=EK=2．
∵ △OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2时符合条件；
如图3，当点P在线段OC上时，作PG⊥OF于G．
同法可得：KE=2，EF=2，
∴ tan∠ KFE=，
∴ ∠ KFE=30°，
∴ FK=2KE=4，
∵ OK=OF，
∴ OK=OF=2，
∵ △OPF为等腰三角形，
∴ PO=PF．
∵ PG⊥OF，
∴ OG=GF=1，
∴ PF=．
（1）如图1中，延长EO交CF于K．首先证明△AOE≌△COK，推出OE=OK即可解决问题；
（2）如图2中，延长EO交CF于K．由△ABE≌△BCF，推出BE=CF，AE=BF，由△AOE≌△COK，推出AE=CK，OE=OK，推出FK=EF，可得△EFK是等腰直角三角形，延长即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25. 【答案】3
【解析】解：（1）① 由题意知OQ=1，CP=2，
如图1，过点Q作QD⊥BC于点D，

则四边形OQDC是矩形，
∴ CD=OQ=DP=1，OC=DQ=3，
∴ tan∠ QPC==3；
② 由① 知P（2，3），
∵ 抛物线过原点O，
∴ 可设抛物线解析式为y=ax+bx，
将A（4，0），P（2，3）代入，
解得：，
∴ 抛物线解析式为y=-x+3x，
∵ 直线y=x+b与G有两个不同的交点，
∴ 方程-x+3x=x+b，即3x-10x+4b=0有两个不相等的实数根，且b≥0，
则△=（-10）-4×3×4b＞0，
解得0≤b＜；
故答案为：3．

（2）当0≤t≤2时，如图2，

由题意可知CP=2t，
∴ S=S=×2t×3=3t；
当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图3，

由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t-4，AQ=4-t，
∵ PC∥OA，
∴ △PBM∽△QAM，
∴==，
∴ BM=•AM，
∴ 3-AM=•AM，解得AM=，
∴ S=S=S-S-S=3×4-×t×3-×（4-t）×=24--3t；
当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图4，

由题意可知OQ=t，AQ=t-4，
∵ AB∥OC，
∴=，即=，
解得AM=，
∴ BM=3-=，
∴ S=S=×4×=；
综上可知S=​​3t​​​​(0⩽t⩽2)​24-​24t-3t​​​​(24)​．
（1）① 作QD⊥BC，知四边形OQDC是矩形，从而得CD=OQ=DP=1，OC=DQ=3，根据tan∠ QPC=可得答案；
② 先利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据直线y=x+b与G有两个不同的交点知方程-x+3x=x+b，即3x-10x+4b=0有两个不相等的实数根，且b≥0，根据一元二次方程根的判别式可得答案；
（2）当点Q在线段OA上时，S=S；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S=S-S-S，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S，可求得答案．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及直线与抛物线的相交问题．
26. 【答案】（1）解：连接OC．
∵ 射线CP与△ABC的外接圆相切，
∴ ∠ OCP=90°，
∵ OA=OC，
∴ ∠ ACO=∠ A=30°，
∴ 射线CP旋转度数是120°；

（2）解：∵ ∠ BCA=90°，
∴ △ABC的外接圆就是量角器所在的圆．
当CP过△ABC外心时（即过O点），∠ BCE=60°，
∴ ∠ BOE=120°，即E处的读数为120，
当CP过△ABC的内心时，∠ BCE=45°，∠ EOB=90°，
∴ E处的读数为90．

（3）证明：在图2中，
∵ ∠ PCA=2×7.5°=15°，∠ BCE=75°，∠ ECA=∠ EBA=15°，
∴ ∠ EBC=∠ EBA+∠ ABC=∠ BCE=75°，
∴ BE=EC．


【解析】
（1）连接OC．根据切线的性质，得∠ OCP=90°，根据等腰三角形的性质，得∠ ACO=∠ A，从而求得射线CP旋转度数．
（2）当CP过△ABC外心时（即过O点）时，∠ BCE=60°，根据圆周角定理，则点E处的读数是120°；
当CP过△ABC的内心时，即CP平分∠ ACB，则∠ BCE=45°，根据圆周角定理，则点E处的读数是90°．
（3）根据已知，知旋转了15°，即可求得∠ EBC=∠ BCE=75°，从而证明结论．
此题综合运用了切线的性质、圆周角定理和等腰三角形的判定和性质．