2019年河北省唐山市路北区中考数学一模试卷


绝密★启用前
2019年河北省唐山市路北区中考数学一模试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. 计算 的结果等于．
A． B． C． D．
2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≠-2 D. x≠2
3. 下列四个实数中，比5小的是（　　）
A. -1 B. 2
C. -1 D.
4. 如图，直线，则下列结论正确的是　　

A. B.
C. D.
5. 下列因式分解正确的是．
A．
B．
C．
D．
6. 如图，一个可以自由转动的转盘被等分成个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是　　

A. B. C. D.
7. 解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是　　
A. 方程两边分式的最简公分母是
B. 方程两边都乘以，得整式方程
C. 解这个整式方程，得
D. 原方程的解为
8. 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
9. 如图，∠ ECB=80°，∠ A=38°，将直线BC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜180°），得到直线l，若l∥AB，则α等于（　　）

A. 38° B. 42° C. 80° D. 132°
10. 如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么的度数是多少　　

A. B. C. D.
11. 已知点，为是反比例函数图象上一点，当时，的取值范围是　　
A. B. C. D.
12. 有这样一道题：如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD上，连接DH，如果BC=12，BF=3．求tan∠ HDG的值．以下是排乱的证明步骤：
① 求出EF、DF的长；② 求出tan∠ HDG的值；
③ 证明∠ BFE=∠ CDF；④ 求出HG、DG；
⑤ 证明△BEF∽△CFD．证明步骤正确的顺序是（　　）

A. ③ ⑤ ① ④ ②
B. ① ④ ⑤ ③ ②
C. ③ ⑤ ④ ① ②
D. ⑤ ① ④ ③ ②
13. 用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（　　）
A. 4 B. 6 C. 16π D. 8
14. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A. 168（1+x）2=108
B. 168（1-x）2=108
C. 168（1-2x）=108
D. 168y=x2（1-x2）=108
15. 已知函数：① y=2x；② y=-（x＜0）；③ y=3-2x；④ y=2x+x（x≥0），其中，y随x增大而增大的函数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16. 如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点时停止不含点和点，则的面积随着时间变化的函数图象大致是　　

A.
B.
C.
D.

评卷人
得分



二、 填空题（共3题）
17. 计算的结果是______．
18. 如图，四边形与四边形位似，位似中心点是点，，则 ______ ．

19. 如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A₂（2，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B3；…，按此规律作下去，则
（1）点B4的坐标为______．
（2）点Bn的坐标为______．


评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
20. 定义新运算：a⊗b=a（1-b），其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：（-1）⊗1=（-1）×（1-1）=0．
（1）计算：（1+）⊗；
（2）嘉淇说：若a+b=0，则a⊗a+b⊗b=2ab，你是否同意他的观点，请说明理由．
21. 如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…
（1）“17”在射线______上．
（2）请写出OA，OB，OD三条射线上数字的排列规律．
（3）“2019”在哪条射线上?

22. “校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为______°；
（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率．

23. 在矩形中，点在上，，，垂足为．
求证：；
若，且，求．

24. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x-2x+c（c为常数）的对称轴如图所示，且抛物线过点C（0，c）．
（1）当c=-3时，点（x，y）在抛物线y=x-2x+c上，求y的最小值；
（2）若抛物线与x轴有两个交点，自左向右分别为点A、B，且OA=OB，求抛物线的解析式；
（3）当-1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．

25. 如图，在正方形ABCD中，AB=12，以AB为直径作半圆O，点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，点Q从点C出发，沿CB方向以每秒3个单位的速度向点B运动，两点同时开始运动，当一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
发现：设点M为半圆O上任意一点，则DM的最大值为______，最小值为______；
思考：（1）设PQ交半圆O于点F和点G（点F在点G的上方），当PQ∥AB时，求​FG​的长度；
（2）在运动过程中，PQ和半圆O能否相切?若相切，请求出此时t的值，若不能相切，请说明理由；
拓展：点N是半圆O上一点，且S=6π，当运动t（s）时，PQ与半圆O的交点恰好为点N，求此时t的值．

26. 在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车去地，途经地休息分钟，继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行从地前往地甲、乙两人距地的路程米与时间分之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

请写出甲的骑行速度为______米分，点的坐标为______；
求甲返回时距地的路程与时间之间的函数关系式不需要写出自变量的取值范围；
请直接写出两人出发后，在甲返回地之前，经过多长时间两人距地的路程相等．

参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】解：．
故选
根据有理数的除法法则计算可得．
本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
2. 【答案】D
【解析】解：由题意，得
2-x≠0，
解得x≠2，
故选：D．
根据分母不能为零，可得答案．
本题考查了分是有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．
3. 【答案】A
【解析】解：A、∵ 5＜＜6，
∴ 5-1＜-1＜6-1，
∴ -1＜5，故此选项正确；
B、∵ 2=＞，
∴ 2＞5，故此选项错误；
C、∵ 6＜＜7，
∴ 5＜-1＜6，故此选项错误；
D、∵ 4＜＜5，
∴ 5＜+1＜6，故此选项错误；
故选：A．
首先确定无理数的取值范围，然后再确定是实数的大小，进而可得答案．
此题主要考查了实数的比较大小，关键是正确确定无理数的取值范围．
4. 【答案】D
【解析】解：如图，，
，
又，
，
故选：．
依据，可得，再根据，即可得出．
本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

5. 【答案】C
【解析】解：、原式不能分解，不符合题意；
、原式不能分解，不符合题意；
、原式，符合题意；
、原式不能分解，不符合题意．
故选
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6. 【答案】D
【解析】解：一个自由转动的转盘被等分成个扇形区域，其中蓝色部分占份，
指针指向蓝色区域的概率是；
故选：．
首先确定在图中蓝色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向蓝色区域的概率．
此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
7. 【答案】D
【解析】解：分式方程的最简公分母为，
方程两边乘以，得整式方程，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
故选：．
分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根．
8. 【答案】D
【解析】解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小，
∴ D的作法正确，
故选：D．
根据作图的方法即可得到结论．
本题考查了轴对称-最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
9. 【答案】B
【解析】解：如图，∵ l∥AB，∠ A=38°，
∴ ∠ A=∠ DCE=38°，
又∵ ∠ ECB=80°，
∴ ∠ BCD=80°-38°=42°，
即α=42°，
故选：B．
先根据平行线的性质，得到∠ DCE的度数，再根据∠ ECD的度数，即可得到α的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

10. 【答案】C
【解析】解：正五边形的内角的度数是，正方形的内角是，
．
故选C．
的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．
本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．
11. 【答案】A
【解析】解：点，为是反比例函数图象上一点，
当时，
时，，时，，
则的取值范围是：．
故选：．
直接把的值代入求出的取值范围．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，正确把的值代入是解题关键．
12. 【答案】A
【解析】解：正确的证明步骤应该是③ 证明∠ BFE=∠ CDF；⑤ 证明△BEF∽△CFD；① 求出EF、DF的长；④ 求出HG、DG；② 求出tan∠ HDG的值；
故选：A．
根据正方形的性质可得∠ B=∠ C=90°，∠ EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG，然后求出∠ EFB=∠ FDC，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似，先求出CF，再利用勾股定理列式求出DF，然后根据相似三角形对应边成比例求出BE，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质以及相似三角形的判定方法是解题的关键．
13. 【答案】A
【解析】解：由题意知：底面周长=8π，
∴ 底面半径=8π÷2π=4．
故选：A．
由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为8π，底面半径=8π÷2π．
此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．
14. 【答案】B
【解析】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1-x）2=108．
故选：B．
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
15. 【答案】C
【解析】解：① y=2x是正比例函数，k=2＞0，y随x的增大而增大；
② y=-反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大；
③ y=3-2x是一次函数，k=-2＜0，y随x的增大而减小；
④ y=2x+x（x≥0）是二次函数，当x≥0时，y随x的增大而增大．
故选：C．
运用了一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，需要根据这些函数的性质及自变量的取值范围，逐一判断．
主要考查了二次函数，一次函数，正比例函数，反比例函数的基本性质，这些性质要掌握才能灵活运用．
16. 【答案】A
【解析】解：由点的运动可知，当点在、边上时的面积不变，则对应图象为平行于轴的线段，则、C错误点在、、上运动时，的面积分别处于增、减变化过程故D排除
故选：．
分析动点在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
二、 填空题
17. 【答案】
【解析】解：=2-=．
故答案为：．
首先化简，然后根据实数的运算法则计算．
本题主要考查算术平方根的开方及平方根的运算，属于基础题．
18. 【答案】
【解析】解：四边形与四边形位似，位似中心点是点，
，
则，
故答案为：．
根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
19. 【答案】（8，16） （2n-1，2n）
【解析】解：（1）由已知作图规律可知：
A1（1，0），A₂（2，0），A3（4，0），A4（8，0）；
∴ 对应的B1（1，2），B2（2，4），B3（4，8），B4（8，16）；
故答案为B4（8，16）；
（2）A1（1，0），A₂（2，0），A3（4，0），A4（8，16），…，An（2n-1，0），
∴ 对应的B1（1，2），B2（2，4），B3（4，8），B4（8，16），…，Bn（2n-1，2n），
故答案为（2n-1，2n）；
（1）根据作图规律，A的横坐标后一个是前一个的2倍；
（2）B点的横坐标和A点横坐标相同，B点在y=2x上，即可求出点B的规律；
本题考查平面坐标系中点的特点，一次函数上点的特点，探索规律；能够由作图过程，找到A点横坐标的规律是解题的关键．
三、 解答题
20. 【答案】解：（1）（1+）⊗，
=（1+）×（1-），
=1-2，
=1；

（2）同意；理由如下：
∵ a+b=0，
∴ a=-b，
∴ a⊗a+b⊗b，
=a⊗（-b）+b⊗（-a），
=a（1+b）+b（1+a），
=（a+b）+2ab，
∵ a+b=0，
∴ 原式=2ab，
∴ 嘉淇观点正确．
【解析】
（1）根据定义新运算：a⊗b=a（1-b），可得（1+）⊗=（1+）×（1-），再利用平方差进行计算即可；
（2）首先根据条件可得a=-b，再结合所给的新定义运算公式计算a⊗a+b⊗b即可．
此题主要考查了实数的运算，关键是掌握实数的运算公式，理解所给运算公式．
21. 【答案】OE
【解析】解：（1）18正好转3圈，3×6；17则3×6-1；“17”在射线OE上；
故答案为：OE；
（2）射线OA上数字的排列规律：6n-5，
射线OB上数字的排列规律：6n-4，
射线OD上数字的排列规律：6n-2；
（3）2019÷6=336…3．
故“2019”在射线OC上．
先由具体数字入手，找出规律，再利用规律解题．
主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．难度适中，找出按6循环是解本题的关键．
22. 【答案】60 30 300
【解析】解：（1）∵ 了解很少的有30人，占50%，
∴ 接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∵ 了解部分的人数为60-（15+30+10）=5，
∴ 扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=30°；
故答案为：60，30；

（2）根据题意得：900×=300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，
故答案为：300；

（3）画树状图如下：

所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，
所以P（抽到女生A）==．
（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 【答案】证明：在矩形中，，
，
又，
，
，
又，
≌，
．

，，
，
，
，
．
【解析】
利用“”证≌即可得；
由、得，据此知，根据可得答案．
本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．
24. 【答案】解：（1）当c=-3时，抛物线为y=x-2x-3，
∴ 抛物线开口向上，有最小值，
∴ y===-4，
∴ y的最小值为-4；
（2）抛物线与x轴有两个交点，

① 当点A、B都在原点的右侧时，如解图1，
设A（m，0），∵ OA=OB，
∴ B（2m，0），
∵ 二次函数y=x-2x+c的对称轴为x=1，
由抛物线的对称性得1-m=2m-1，解得m=，
∴ A（，0），
∵ 点A在抛物线y=x-2x+c上，
∴ 0=-+c，解得c=，
此时抛物线的解析式为y=x-2x+；
② 当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，如解图2，
设A（-n，0），∵ OA=OB，且点A、B在原点的两侧，
∴ B（2n，0），
由抛物线的对称性得n+1=2n-1，
解得n=2，∴ A（-2，0），
∵ 点A在抛物线y=x-2x+c上，
∴ 0=4+4+c，解得c=-8，
此时抛物线的解析式为y=x-2x-8，
综上，抛物线的解析式为y=x-2x+或y=x-2x-8；

（3）∵ 抛物线y=x-2x+c与x轴有公共点，
∴ 对于方程x-2x+c=0，判别式b-4ac=4-4c≥0，
∴ c≤1．
当x=-1时，y=3+c；当x=0时，y=c，
∵ 抛物线的对称轴为x=1，且当-1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，
∴ 3+c＞0且c＜0，解得-3＜c＜0，
综上，当-3＜c＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．
【解析】
（1）根据二次函数的性质，求出顶点的纵坐标即可解决问题；
（2）分两种情形① 当点A、B都在原点的右侧时，如解图1，② 当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，如解图2，分别求解即可；
（3）把问题转化为不等式即可解决问题；
本题考查二次函数与x轴交点、待定系数法、不等式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25. 【答案】12 6-6
【解析】解：发现：如图，
连接OD，此时DM最小，
在Rt△ADO中，OD==6，
∴ DM=OD-OM=OD-OA=6-6；
当点M和点B重合时，连接BD，
DM最大=BD=AD=6，
故答案为：12，6-6；

思考：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD∥BC，∠ BAD=∠ ADC=90°，
当PQ∥AB时，四边形ABQP是矩形，
∴ AP=BQ，
∵ AP=t，CQ=3t，
∴ BQ=12-3t，
∴ t=12-3t，解得t=3，
∴ AP=3，
如图1，设PQ交半圆于F，G，过点O作OE⊥PQ于点E，连接OF、OG，
∴ OE=AP=3，
∵ sin∠ OFE==，
∴ ∠ OFE=30°，
∵ OF=OG=6，
∴ ∠ OGF=∠ OFE=30°，
∴ ∠ FOG=120°，
∴ ​FG​的长度==4π；

（2）不能相切．
理由：若PQ与半圆O相切，设切点为点S，如图2，
由切线长定理，得AP=PS，BQ=QS，
∴ PQ=AP+BQ=t+12-3t=12-2t．
过点P作PH⊥BC于点H，
∴ 四边形APHB是矩形，
∴ AP=BH，
∴ QH=BQ-BH=12-3t-t=12-4t，
∵ 在Rt△PHQ中，PH+QH=PQ，
∴ 12+（12-4t）=（12-2t），
即：t-4t+12=0，
∵ b-4ac=16-4×12=-32＜0，
∴ 此方程无解，
∴ 在运动过程中，PQ和半圆O不能相切；

拓展：∵ 点Q是以每秒3个单位的速度向点B运动，BC=12，
∴ 0≤3t≤12，
∵ 点P是以每秒1个单位的速度向点D运动，BC=12，
∴ 0≤t≤12，
∴ 0≤3t≤12，
即0≤t≤4，
如图3，
过点N作IJ⊥BC，交BC于点J，交AD于点I，过点N作NT⊥AB于点T，
则四边形ATNI和四边形BTNJ都是矩形，
∵ S==6π，
∴ ∠ BON=60°，
∵ ON=OB=6，
∴ OT=3，NT=3，
当点P运动到点I时，t=3＞4，不符合题意，
∴ AP始终小于AI，
∴ AI=BJ=NT=3，NI=AT=AO+OT=9，NJ=BT=OB-OT=3，
∵ CQ=3t，AP=t，
∴ PI=AI-AP=3-t，QJ=BC-CQ-BJ=12-3t-3，
∵ AD∥BC，
∴ =，
∴ =，解得t=，
∵ 0＜＜4，
∴ 当运动 s时，PQ与半圆O的交点恰好为点N．
发现：找出DM最大和最小的位置，即可得出结论；
思考：（1）先确定出AP=3，进而得出∠ OFE=30°，即可得出∠ FOG=120°，最后用弧长公式即可得出结论；
（2）假设PQ与半圆相切，进而表示出PQ=12-2t．QH=12-4t，再用勾股定理建立12+（12-4t）=（12-2t），判断出出此方程无解，即可得出结论．
拓展：先判断出0≤t≤4，再利用S=6π，求出∠ BON=60°，再判断出AP始终小于AI，最后得出=，建立方程即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，弧长公式，平行线分线段成比例，切线的性质，作出辅助线是解本题的关键．




26. 【答案】；
【解析】解：由题意得：甲的骑行速度为：米分，分
米，
则点的坐标为，分
故答案为：，；
设的解析式为：，
的图象过点、，
，分
解得，分
直线的解析式为：；分
即甲返回时距地的路程与时间之间的函数关系式：；
设甲返回地之前，经过分两人距地的路程相等，
乙的速度：米分，

如图所示：，，
，
分种情况：
当时，，
，
此种情况不符合题意；
当时，甲在、之间，乙已经走过地，
，
，
当时，甲到地，距离地米，
乙距地的距离：米，
即时两人距地的路程相等，
当时，甲在返回途中，
当甲在、之间时，不可以存在符合条件的时间，
当甲在、之间时，，
，
综上所述，在甲返回地之前，经过分钟或分钟或分钟时两人距地的路程相等分
根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计分，休息了一分，所以一共用了分钟，可得的坐标；
利用待定系数法求的解析式；
先根据总路程米，时间为分，计算乙的速度，根据，，三地在同一直线上，计算、之间的路程，分情况讨论：设甲返回地之前，经过分两人距地的路程相等，
因为乙从地到地一共需要小时，所以第一个时间为，即乙在、之间时，列方程可知不符合题意；
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