2020年甘肃省天水市中考数学试卷
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2020年甘肃省天水市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 下列四个实数中，是负数的是．
A． B． C． D．
2. 天水市某网店年父亲节这天的营业额为元，将数用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是．
A．文 B．羲 C．弘 D．化
4. 某小组名学生的中考体育分数如下：，，，，，，，．该组数据的众数、中位数分别为．
A．， B．， C．， D．，
5. 如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为．
A． B． C． D．
6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
7. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是．
A．
B．
C．
D．
8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是．
A． B． C． D．
9. 若关于的不等式只有个正整数解，则的取值范围为．
A． B． C． D．
10. 观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，若，用含的式子表示这组数据的和是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共8题） |
11. 分解因式： ．
12. 一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为________．
13. 已知函数，则自变量的取值范围是________．
14. 已知，，则的值为________．
15. 如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________．
16. 如图所示，若用半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是________．
17. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为 ．
18. 如图，在边长为的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．若，则的长为________．
| 三、 解答题（共8题） |
19. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
20. 为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．
请结合图中的信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为________人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为________度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的位市民中随机选择位进行回访，已知这位市民中有位男性，位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．
21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出中的取值范围；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
22. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
（1）求的度数；
（2）已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：，
23. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）．
24. 性质探究
如图（1），在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为________．
理解运用
（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为________；
（2）如图（2），在四边形中，，在边，上分别取中点，，连接．若，，求线段的长．
类比拓展
顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________．（用含的式子表示）
25. 天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多元，用元购进种商品和用元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为元，种商品每件的售价定为元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过元的资金购进、两种商品共件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这件商品获得总利润最大的进货方案．
26. 如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当的面积等于的面积的时，求的值；
（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】．，是正数，不符合题意；
．，是正数，不符合题意；
．，是正数，不符合题意；
．是负数，符合题意．
故选
【点评】本题主要考查实数，解题的关键是掌握相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念．
2. 【答案】A
【解析】．
故选
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 【答案】D
【解析】根据正方体表面展开图可知，“相间、端是对面”，因此“伏与化”相对，“弘与文”相对，“扬与羲”相对．
故选
【点评】本题考查正方体的表面展开图的特征，掌握正方体展开图的对面的判定方法是正确选择的前提．
4. 【答案】C
【解析】将这组数据重新排列为，，，，，，，，
所以这组数据的众数为2，中位数为．
故选
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5. 【答案】B
【解析】连接、，如图，
、分别与相切于、两点，
，，
，
，
，
，
．
故选
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆心角定理．
6. 【答案】C
【解析】．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7. 【答案】B
【解析】由函数图象交轴的正坐标可知，
反比例函数的图象必在一、三象限，故、错误；
据二次函数的图象开口向上可知，对称轴在轴的右侧，，
函数的图象经过一三四象限，故错误，正确．
故选
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8. 【答案】A
【解析】，，
，
，
，
，，，
，
，
解得，，
即建筑物的高是．
故选
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9. 【答案】D
【解析】，
，
则，
不等式只有个正整数解，
不等式的正整数解为、，
则，
解得：．
故选
【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．
10. 【答案】A
【解析】，
．
故选
【点评】本题考查了规律型数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】，
故答案为．
本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
12. 【答案】；
【解析】，
，
，，
三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，，，
三角形的第三边长是，
该三角形的周长为：．
故答案为．
【点评】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
13. 【答案】且；
【解析】根据题意得：且，
解得：且．
故答案为且．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负数．
14. 【答案】；
【解析】① ，② ，
②① 得，
解得．
故答案为．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
15. 【答案】；
【解析】如图，连接．
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16. 【答案】；
【解析】设圆锥的底面半径为，
由题意得，，
解得，．
故答案为．
【点评】本题考查弧长的计算方法，明确扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的关键．
17. 【答案】；
【解析】解：如图，过点作轴的垂线，垂足为过点作轴的垂线，垂足为，连接、交于点．
四边形是正方形，
，，，
在与中，
，，
，
点与点关于点对称，
点的坐标为 ．
故答案是
结合全等三角形的性质可以求得点的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点的坐标．
考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，根据题意求得点的坐标是解题的难点．
18. 【答案】；
【解析】法一：由题意可得，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，，
，
，，
，
，
，
解得，，
即，
法二：设，连接，如下图所示，
四边形为正方形，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，
为等腰直角三角形，
，
垂直平分，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
即．
故答案为．
【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、 解答题
19. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）原式
；
（2）原式
，
当时，
原式
．
【点评】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）
（4）答案见解析
【解析】（1）非常满意的有人，占，
此次调查中接受调查的人数：（人）；
故答案为：
（2）此次调查中结果为满意的人数为：（人）；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为：；
故答案为：
（4）画树状图得：
共有种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有种情况，
选择回访的市民为“一男一女”的概率为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21. 【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】（1）的面积为，
，
解得，，或（不符合题意舍去），
反比例函数的关系式为，
把点和点代入得，
，；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集为或；
（3）点关于轴的对称点，
又，则直线与轴的交点即为所求的点，
设直线的关系式为，
则有，
解得，，
直线的关系式为，
直线与轴的交点坐标为，
即点的坐标为．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法．
22. 【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）由题意得，，，
；
（2）作于，如图：
则是等腰直角三角形，
，
设海里，
由题意得：（海里），
在中，，
即，
解得：，且符合题意，
海监船继续向正东方向航行安全．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
23. 【答案】（1）与相切，证明见解析
（2）
【解析】解：（1）与相切；
证明：连接．
是的平分线，
．
又，
．
．
．
，即．
又过半径的外端点，
与相切；
（2）设，则，
根据勾股定理得：，即，
解得：，即，
，
中，，
，
，
，
则阴影部分的面积为：．
（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；
（2）在直角三角形中，设，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形的面积减去扇形面积即可确定出阴影部分面积．
24. 【答案】性质探究：
理解运用：（1）
（2）
类比拓展：
【解析】性质探究：如图中，过点作于．
，，，
，，
，
．
故答案为．
理解运用：（1）设，则，
由题意，
，
，，
，，
．
故答案为．
（2）如图中，连接．
，，
，，
，
，
，
，
是顶角为的等腰三角形，
，
．，
．
类比拓展：如图1中，过点作于．
，，，
，，
．
故答案为．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，学会构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
25. 【答案】（1）种商品每件的进价是元，种商品每件的进价是元
（2）种
（3）答案见解析
【解析】（1）设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
（2）设购买种商品件，则购买商品件，
由题意得：，
解得，
为正整数，
、、、、，
商店共有种进货方案．
（3）设销售、两种商品共获利元，
由题意得：，
① 当时，，随的增大而增大，
当时，获利最大，即买件商品，件商品，
② 当时，，
与的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③ 当时，，随的增大而减小，
当时，获利最大，即买件商品，件商品．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验．
26. 【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）由题意得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；
（2）过点作轴于，交于，过点作交的延长线于，如图所示：
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，
当时，，
解得：，，
点的坐标为，
设直线的函数表达式为：，
则，
解得：，
直线的函数表达式为：，
点的横坐标为，
点的坐标为：，
点的坐标为：，
，，，
，
，
解得：（不合题意舍去），，
的值为；
（3）由（2）得：，，
点的坐标为：，
分三种情况讨论：
① 当为对角线时，如图所示：
四边形是平行四边形，
，
轴，
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
；
② 当为对角线时，如图所示：
由① 得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
；
③ 当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，，
，
点与点的纵坐标相等，
点，
点的纵坐标为：，
将代入中，
得：，
解得：，，
当时，如图所示：
则，
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
在和中，，
，
，
，
，
，
，；
当时，如图所示：
则，
同理得点，；
综上所述，点的坐标为或或，或，．
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
