2020年黑龙江省中考数学试卷

 绝密★启用前2020年黑龙江省中考数学试卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分     评卷人得分  一、 选择题（共10题）1.  下列各运算中，计算正确的是．A．B．C．D．2.  下列图标中是中心对称图形的是．A．B．C．D．3.  如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是． A． B． C． D．4.  一组从小到大排列的数据：，，，，为正整数，唯一的众数是，则该组数据的平均数是．A．  B．或C．或  D．或5.  已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是．A．  B．C．  D．且6.  如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，，则的值是． A． B． C． D．7.  已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是．A．B．且C． 且D．且8.  如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，​，则的长为．A．B．C．D．9.  在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案．A．种 B．种 C．种 D．种10. 如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：① ；② 的周长为；③；④ 的面积的最大值是；⑤ 当时，是线段的中点．其中正确的结论是．A．① ② ③B．② ③ ④C．① ③ ④D．① ④ ⑤ 评卷人得分  二、 填空题（共10题）11. 信号的传播速度为，将数据用科学记数法表示为_​_​_​_​_​_​_​_​．12. 在函数中，自变量的取值范围是         ．13. 如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件_​_​_​_​_​_​_​_​或_​_​_​_​_​_​_或_​_​_​_​_​_​_等，使和全等． 14. 一个盒子中装有标号为、、、、的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于的概率为_​_​_​_​_​_​_​_​．15. 若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是_​_​_​_​_​_​_​_​．16. 如图，是的外接圆的直径，若，则_​_​_​_​_​_​_​_​． 17. 小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为_​_​_​_​_​_​_​_​．18. 如图，在边长为的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为_​_​_​_​_​_​_​_​． 19. 在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为_​_​_​_​_​_​_​_​．20. 如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形．．则点的坐标为_​_​_​_​_​_​_​_​_​_​．  评卷人得分  三、 解答题（共8题）21. 先化简，再求值：，其中．22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．（1）将向左平移个单位得到，并写出点的坐标；（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留． 23. 如图，已知二次函数的图象经过点， ，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 24. 为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟次，某班班长统计了全班名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少． 25. 为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时． （1）求的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）26. 如图① ，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．（1）与的数量关系是_​_​_​_​_​_​_​_​．（2）将绕点逆时针旋转到图② 和图③ 的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图② 或图③ 进行证明． 27. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元．（1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元，求，的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克(为正整数），求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．（1）线段_​_​_​_​_​_​_​_​；（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．  参考答案及解析一、 选择题1.  【答案】A 【解析】．，正确；．，故此选项错误；．，故此选项错误；．，故此选项错误．故选：【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2.  【答案】B 【解析】．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；．是中心对称图形，故本选项符合题意；．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．3.  【答案】B 【解析】综合主视图与左视图，第一行第列最多有个，第一行第列最多有个；第二行第列最多有个，第二行第列最多有个；所以最多有：（个)．故选：【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．4.  【答案】C 【解析】从小到大排列的数据：，，，，为正整数，唯一的众数是，或，当时，这组数据的平均数为；当时，这组数据的平均数为；即这组数据的平均数为或．故选：【点评】本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．5.  【答案】B 【解析】关于的一元二次方程有两个实数根，，，解得：．故选：【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．6.  【答案】C 【解析】四边形是菱形，，，，，是等边三角形，点，，，直线的解析式为，直线的解析式为，，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，．故选：【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．7.  【答案】B 【解析】分式方程，去分母得：，去括号得：，解得：，由分式方程的解为正数，得到，且，解得：且．故选：【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．8.  【答案】A 【解析】四边形是菱形，，，，，，，，菱形的面积，，．故选：【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得．9.  【答案】D 【解析】设购买种奖品个，购买种奖品个，当种奖品个数为个时，根据题意得，整理得，、都是正整数，，，，，，，，，当种奖品个数为个时，根据题意得，整理得，、都是正整数，，，，，，，有种购买方案．故选：【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．10. 【答案】D 【解析】如图中， 在上截取，连接．，，，，，，，，，，，，，，，，，,故正确,如图中， 延长到，使得，则，，，，，，，，，，,故错误,的周长,故错误,设，则，，，，时，的面积的最大值为．故正确,当时，设，则，在中，则有，解得，，故正确．故选：【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、 填空题11. 【答案】； 【解析】．故答案为：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示数据时关键要正确确定的值以及的值．12. 【答案】 【解析】解：由题意得，， 解得．故答案为 根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13. 【答案】； 【解析】添加的条件是：，理由是：在和中，．故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：两直角三角形全等的判定定理有，，，，等．14. 【答案】； 【解析】画树状图如图所示： 共有种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于的有种结果，摸出的两个小球的标号之和大于的概率为．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．15. 【答案】； 【解析】解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，不等式组有个整数解，不等式组的整数解为、，则，解得．故答案为：．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于的不等式组是解答此题的关键．16. 【答案】； 【解析】连接，如图， 为的外接圆的直径，，，．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17. 【答案】； 【解析】，，解得，设圆锥的底面半径为，，．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式： (为弧长，为扇形的半径）．18. 【答案】； 【解析】如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，． 四边形是正方形，，，，，，，关于对称，，，，，，，共线，，，，四边形是平行四边形，，，，．的最小值为．【点评】本题考查轴对称，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．19. 【答案】或； 【解析】分两种情况：① 当点落在边上时，如图所示： 四边形是矩形，，将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，，是等腰直角三角形，，；② 当点落在边上时，如图所示： 四边形是矩形，，，将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，，，，，，在和中，，，，，即，解得：，或（舍去），，；综上所述，折痕的长为或．故答案为：或．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键．20. 【答案】； 【解析】点坐标为，，，，，，，，同理可得，，由上可知，，当时，．故答案为：．【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，规律变化，关键是求出前几个点的坐标得出规律．三、 解答题21. 【答案】 【解析】原式，当时，原式．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22. 【答案】（1）如图所示，即为所求，点的坐标为；（2）如图所示，即为所求，点的坐标为；（3）在旋转过程中扫过的面积为：．  【解析】（1）如图所示，即为所求，点的坐标为；（2）如图所示，即为所求，点的坐标为；（3）如图，，在旋转过程中扫过的面积为：． 【点评】本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．23. 【答案】（1）；（2） ，． 【解析】（1）根据题意得，解得．故抛物线的解析式为；（2）二次函数的对称轴是，当时，，则，点关于对称轴的对应点，设直线的解析式为，则，解得．则直线的解析式为，设与平行的直线的解析式为，则，解得．则与平行的直线的解析式为，联立抛物线解析式得，解得，（舍去）．．综上所述，，． 【点评】此题考查了二次函数综合题，综合运用待定系数法求二次函数解析式的方法和对称轴，以及互相平行的两直线的关系．24. 【答案】（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：，超过全校的平均次数；（2）这个学生的跳绳成绩一定在范围内；（3）其跳绳次数超过全校平均数的概率是． 【解析】（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：，，超过全校的平均次数；（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为，所以中位数一定在范围内；（3）该班秒跳绳成绩大于或等于次的有：（人，故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是．【点评】考查了频数（率)分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数．25. 【答案】（1）的解析式为；（2）货车返回时与快递车图中相遇的时间，；（3）． 【解析】（1）设的函数解析式为，由经过，可得：，解得，的解析式为；（2）设的函数解析式为，由经过，可得：，解得，的函数解析式为；设的函数解析式为，由经过，可得：，解得，的函数解析式为，解方程组得，同理可得．故货车返回时与快递车图中相遇的时间，．（3）．故两车最后一次相遇时离武汉的距离为【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键．26. 【答案】（1）；（2）如图② 中，结论仍然成立,． 【解析】（1）如图① 中， ，，，，，，，，，，，，，，，，，的等腰直角三角形，，，，故答案为． （2）如图② 中，结论仍然成立． 理由：连接，延长交于点．和是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，、、分别为、、的中点，，，，，，，．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．．27. 【答案】（1）的值为，的值为；（2）共有种购买方案，方案1：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案2：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；（3）的最大值为． 【解析】（1）依题意，得：，解得：．故：的值为，的值为（2）依题意，得：，解得：．又为正整数，可以为，，，共有种购买方案，方案1：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案2：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜．（3）购买方案的总利润为（元)；购买方案的总利润为（元)；购买方案的总利润为（元)．，利润最大值为元，即售出甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克．依题意，得：，解得：．故：的最大值为【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．28. 【答案】（1） ；（2）当时，的面积；当时，点与点重合，；当时，的面积； （3）点坐标为或． 【解析】（1）长是的根，，四边形是矩形，，，，，，，，，．故答案为：（2）如图，过点作于， ，，，，，，当时，的面积；当时，点与点重合，；当时，的面积．（3）如图，过点作于， 当时，，，或，或，当时，，，，，点，当时，同理可求点，当时，，，或（不合题意舍去），，点．综上所述：点坐标为或【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．