2020年湖北省鄂州市中考数学试卷
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2020年湖北省鄂州市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 的相反数是．
A． B． C． D．
2. 下列运算正确的是．
A．
B．
C．
D．
3. 如图是由个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为．
A．
B．
C．
D．
4. 面对年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约亿元资金．亿用科学记数法可表示为．
A． B． C． D．
5. 如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若，则的度数为．
A． B． C． D．
6. 一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的众数为．
A． B． C． D．
7. 目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市年底有用户万户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为．
A． B． C． D．
8. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论：
① ，② ，③ 平分，④ 平分．其中正确的结论个数有个．
A． B． C． D．
9. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的结论个数为．
A．个 B．个 C．个 D．个
10. 如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，，在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则（为正整数）的坐标是．
A． B．
C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
11. 因式分解：________．
12. 关于的不等式组的解集是________．
13. 用一个圆心角为，半径为的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为________．
14. 如图，点是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点在双曲线上运动时，点在双曲线上移动，则的值为________．
15. 如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于，点为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动或________秒时，与正方形重叠部分的面积为．
16. 如图，已知直线与、轴交于、两点，的半径为，为上一动点，切于点．当线段长取最小值时，直线交轴于点，为过点的一条直线，则点到直线的距离的最大值为________．
| 三、 解答题（共8题） |
17. 先化简，再从．，，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
18. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，分别为、的中点，延长至点，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，且，，求四边形的面积．
19. 某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
频数分布表
学习时间分组 | 频数 | 频率 |
组 | ||
组 | ||
组 | ||
组 | ||
组 |
（1）频数分布表中________，________，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生名，现要对每天学习时间低于小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的组学生中有名男生名女生，老师随机从中选取名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选名学生恰为一男生一女生的概率．
20. 已知关于的方程有两实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数的值．
21. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上．其中，米．
（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度．（结果精确到米，参考数据：，）
22. 如图所示：与的边相切于点，与、分别交于点、，．是的直径．连接，过作交于，连接、，与交于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）求证：；
（3）若，时，过作交于、两点在线段上），求的长．
23. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与售价（元件）（为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（元件） | |||
（件） |
（1）求与的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出的取值范围．
24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及轴分别交于点、．，垂足为．设．
① 点在抛物线上运动，若、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的的值；
② 当点在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点，使与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】的相反数是．
故选：
【点评】本题主要考查了相反数的定义，解答此题的关键是：一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
2. 【答案】C
【解析】．，故原题计算错误；
．，故原题计算错误；
．，故原题计算正确；
．，故原题计算错误．
故选：
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式．
3. 【答案】A
【解析】从上面看，第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形．
故选：
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
4. 【答案】C
【解析】亿．
故选：
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
5. 【答案】A
【解析】如图：
，，
，
，
，
，
．
故选：
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟记性质和定理是解题的关键．
6. 【答案】B
【解析】数据，，，，的平均数为，
，
这组数据的众数为．
故选：
【点评】此题主要考查了确定一组数据的众数的能力，解题的关键是能够利用平均数的定义求得的值，比较简单．
7. 【答案】C
【解析】设全市用户数年平均增长率为，则2020年底全市用户数为万户，年底全市用户数为万户，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 【答案】B
【解析】，
，
即，
在和中，
，
，，故② 正确；
，
由三角形的外角性质得：
，
得出，，故① 正确；
作于，于，如图所示，
则，
在和中，
，
，
，
平分，故④ 正确；
假设平分，则，
在与中，
，
，
，
，
，
而，故③ 错误；
正确的个数有个．
故选：
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9. 【答案】B
【解析】① 由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
．
抛物线与轴交于负半轴，
，
；
故错误；
② 对称轴为，得，即，
故错误；
③ 如图，当时，，，
故正确；
④ 当时，，
，即．
故正确．
综上所述，有个结论正确．
故选：
【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
10. 【答案】D
【解析】由题意，，，，，都是等腰直角三角形，
，
，设，
则有，
解得，
，
设，则有，
解得，
，
同法可得，，
，
．
故选：
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】原式
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
12. 【答案】；
【解析】
由① 得：，
由② 得：，
所以不等式组的解集为：．
故答案为
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
13. 【答案】；
【解析】设圆锥底面的半径为，
扇形的弧长为：，
圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
根据题意得，
解得：．
故答案为：
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、周长公式和圆锥与扇形的对应关系是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】点是反比例函数上的一个动点，
可设，
，，
，
，
，且，
，
，
，
，，
，
点反比例函数图象上，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用点坐标表示出点坐标是解题的关键．
15. 【答案】；
【解析】如图1中，当点，落在上时，与正方形重叠部分的面积为
此时，运动时间（秒）
如图2中，当点，落在上时，与正方形重叠部分的面积为
此时，运动时间（秒），
综上所述，满足条件的的值为秒或秒．
故答案为或．
【点评】本题考查切线的性质，正方形的性质，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16. 【答案】；
【解析】如图，
在直线上，时，，
当时，，
，，
，
，
由切于点可知：，
，
由于，
因此当最小时长取最小值，此时，
，
此时，
，
，即，
若使点到直线的距离最大，
则最大值为，且位于轴下方，
过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．
三、 解答题
17. 【答案】时，原式
【解析】
，
，，时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）平行四边形中，对角线与交于点，
，
又点，分别为、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2），
，，
又，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
又是的中点，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
矩形的面积
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19. 【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】（1）根据频数分布表可知：
，
，
，
补充完整的频数分布直方图如下：
故答案为：，
（2）根据题意可知：
（名）
估计全校需要提醒的学生有名
（3）设名男生用，表示，名女生用表示，
根据题意，画出树状图如下：
根据树状图可知：等可能的结果共有种，符合条件的有种，
所以所选名学生恰为一男生一女生的概率为：
【点评】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数分布表、频数分布直方图，解决本题的关键是掌握概率公式．
20. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1），
（2）由题意可知：，，
，
，
，
或，
由（1）可知：舍去，
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型．
21. 【答案】（1）
（2）
【解析】过点作，垂足为，由题意可知，
，，，
（1）在中，，，
，
无人机的飞行高度为米；
（2）在中，
，即：，
，
，
．
河流的宽度约为米．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
22. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）
【解析】（1）证明：是直径，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
是的切线．
（2）证明：连接．
是直径，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：过点作于．
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
可以假设，，
，
，
解得（舍去），
，，，，
，
，
，
，，
，
，连接，则，
．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
23. 【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】（1）设与的函数关系式为：，
把，和，代入得，
，
解得，，
．
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，”得，
，
解得，，
设利润为元，根据题意得，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取最大值为：，
这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，售价分别为元；
（3）根据题意得，
，
对称轴为，
，
当时，随的增大而增大，
捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
，
解得，，
，
．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
24. 【答案】（1）
（2）①或或
② 存在或
【解析】（1）针对于直线，
令，则，
，
令，则，
，
，
将点，坐标代入抛物线中，得，
，
抛物线的解析式为；
（2）① 轴，，
，，
、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，
Ⅰ、当点是的中点时，，
或（此时点，，三点重合，舍去），
Ⅱ、当点是的中点时，，
或（此时点，，三点重合，舍去），
Ⅲ、当点是的中点时，，
或（此时点，，三点重合，舍去），
即满足条件的的值为或或；
② 由（1）知，抛物线的解析式为，
令，则，
或，
点，
，
，，
，，
，
，
，
，，
与相似，
Ⅰ、当，
，
，
，
点的纵坐标为，
，
（舍）或，
；
Ⅱ、当时，
，
，
，
，
，
，
由① 知，，，
，
，，
，
，
，
即满足条件的点的坐标为或．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
