2020年湖北省恩施州中考数学试卷
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2020年湖北省恩施州中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 的绝对值是．
A． B． C． D．
2. 茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界．去年恩施州茶叶产量约为吨，将数用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
3. 下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
4. 下列计算正确的是．
A． B．
C． D．
5. 函数的自变量的取值范围是．
A． B．且
C． D．且
6. “彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽个、红枣粽个、腊肉粽个、白米粽个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是．
A． B． C． D．
7. 在实数范围内定义运算“☆”：☆，例如：☆．如果☆，则的值是．
A． B． C． D．
8. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛．问个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？设个大桶盛酒斛，个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是．
A．
B．
C．
D．
9. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为．
A．
B．
C．
D．
10. 甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是．
A．甲车的平均速度为
B．乙车的平均速度为
C．乙车比甲车先到城
D．乙车比甲车先出发
11. 如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为．
A． B． C． D．
12. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点．则以下结论：① ；② 二次函数的图象的对称轴为；③ ；④ ．其中正确的有．个．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共4题） |
13. 的算术平方根是________．
14. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则________．
15. 如图，已知半圆的直径，点在半圆上，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积为________．（结果不取近似值）
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，，依此类推，则点的坐标为________．
| 三、 解答题（共8题） |
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，，平分交于点，点在上且，连接．求证：四边形是菱形．
19. 某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：类非常了解；类比较了解；类般了解；类不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）类所对应扇形的圆心角的大小为________；
（4）若该校九年级学生共有名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有________名．
20. 如图，一艘轮船以每小时海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向．求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，与双曲线的一个交点为，且．
（1）求点的坐标；
（2）当时，求和的值．
22. 某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高元，且用元购买品牌足球的数量用元购买品牌足球的数量相等．
（1）求、两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的倍，购买两种品牌足球的总费用不超过元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
23. 如图1，是的直径，直线与相切于点，直线与相切于点，点（异于点在上，点在上，且，延长与相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，连接并延长与分别相交于点、，连接．若，，求．
24. 如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为线段的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为．当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．
（3）在（2）的旋转变换下，若（如图．
① 求证：．
② 当点在（1）所求的抛物线上时，求线段的长．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】在数轴上，数所表示的点到原点的距离是．
故选：
【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
2. 【答案】B
【解析】．
故选：
【点评】本题考查科学记数法，注意的值的确定方法，当原数大于时，等于原数的整数数位减，按此方法即可正确求解．
3. 【答案】D
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：
．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
．是轴对称图形，但不是中心对称图形；
．既是中心对称图形，又是轴对称图形．
故选：
【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的部分可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后会与原图重合．
4. 【答案】B
【解析】．，原计算错误，故此选项不符合题意；
．，原计算正确，故此选项符合题意；
．，原计算错误，故此选项不符合题意；
．与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
5. 【答案】B
【解析】根据题意得，且，
解得且．
故选：
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
6. 【答案】D
【解析】由题意可得：粽子总数为个，其中个为甜粽，
所以选到甜粽的概率为：．
故选：
【点评】本题考查了概率的基本运算，熟练掌握概率公式是解题的关键．
7. 【答案】C
【解析】由题意知：，又，
，．
故选：
【点评】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解．
8. 【答案】A
【解析】依题意，得：．
故选：
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9. 【答案】A
【解析】从正面看易得第一列有个正方形，第二列底层有个正方形．
故选：
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
10. 【答案】D
【解析】由图象知：
A．甲车的平均速度为，故选项不合题意；
B．乙车的平均速度为，故选项不合题意；
C．甲时到达城，乙时到达城，所以乙比甲先到城，故选项不合题意；
D．甲时出发，乙时出发，所以乙比甲晚出发，故此选项错误．
故选：
【点评】本题考查了一次函数的应用，函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
11. 【答案】B
【解析】如图，连接交于一点，连接，
四边形是正方形，
点与点关于对称，
，
的周长，此时的周长最小，
正方形的边长为4，
，，
点在上且，
，
，
的周长．
故选：
【点评】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接交于点时的周长有最小值，这是解题的关键．
12. 【答案】C
【解析】对于① ：二次函数开口向下，故，与轴的交点在的正半轴，故，故，因此① 错误；
对于② ：二次函数的图象与轴相交于、，由对称性可知，其对称轴为：，因此② 错误；
对于③ ：设二次函数的交点式为，比较一般式与交点式的系数可知：，，故，因此③ 正确；
对于④ ：当时对应的，观察图象可知时对应的函数图象的值在轴上方，故，因此④ 正确．
只有③ ④ 是正确的．
故选：
【点评】本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的关键．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】，
的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
14. 【答案】；
【解析】如图，延长交于点，
，，
，
，，
，
，即，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
15. 【答案】；
【解析】是直径，
，
，
，
，，
，
，
扇形的面积，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，圆和扇形面积的结合，关键在于利用圆周角的性质找到直角三角形并结合扇形面积公式解出．
16. 【答案】；
【解析】由题意得，作出如下图形：
点坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点处，
其每个点循环一次，
，
即循环了次后余下，
故的坐标与点的坐标相同，其坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】
；
当时，
原式．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的化简，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键．
18. 【答案】答案见解析
【解析】证明：，
，
平分，
，
，
，
又，
，
，即，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
【点评】本题考了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形判定及性质和等腰三角形的判定是解决此题的关键．
19. 【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）本次共调查的学生数为：（名．
故答案为：；
（2）类学生人数为：（名，
条形图如下：
（3）类所对应扇形的圆心角为：．
故答案为：；
（4）该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：（名．
故答案为：．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
20. 【答案】
【解析】如图，
过作，设，
由题意得：，，，
则是等腰直角三角形，
，
在中，设，
在中，，，
，
，
解得：，
（海里），
此时船与小岛的距离约为海里．
【点评】本题考查了直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．
21. 【答案】（1）
（2），
【解析】（1）由题意得：令中，
即，解得，
点的坐标为，
故答案为．
（2）过点作轴的垂线交轴于点，作轴的垂线交轴于点，如下图所示：
显然，，
，且，
，
，即：，
，
又
即：，
，
点的坐标为，
故反比例函数的，
再将点代入一次函数中，
即，解得，
当时，，．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握其图象性质是解决此题的关键．
22. 【答案】（1）品牌足球的单价为100元，品牌足球的单价为80元
（2）该队共有种购买方案，购买个品牌个品牌的总费用最低，最低费用是元
【解析】（1）设购买品牌足球的单价为元，则购买品牌足球的单价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，
，
购买品牌足球的单价为100元，则购买品牌足球的单价为80元；
（2）设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，
则，
品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，
，
解不等式组得：，
所以，的值为：，，，，，，
即该队共有种购买方案，
当时，最小，
时，（元，
该队共有种购买方案，购买个品牌个品牌的总费用最低，最低费用是元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）
【解析】（1）如图中，连接，
，
，
，
直线与相切于点，
，
，
是的切线．
（2）如图中，连接，
，
，
是的切线，是的切线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）如图中，过点作于，则四边形是矩形，
设，则，，
，
解得：，
，
，
，
解得：或不合题意舍去），
．
补充方法：如图2中，作交的延长线于．
，
可以假设，，则，
，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键．
24. 【答案】（1）
（2）
（3）① 答案见解析; ② 或．
【解析】（1）点在抛物线上，
，
得到，
又对称轴，
，
解得，
，
二次函数的解析式为；
（2）当点在点的左侧时，如图中：
抛物线的解析式为，对称轴为，
点，顶点，
，
是等腰直角三角形，
；
将逆时针旋转得到，
，，
设点的坐标为，
点，
又，
直线与轴的夹角为，
设直线的解析式为，
把点代入得：，解得：，
直线的解析式为，
直线与抛物线只有一个交点，
，
整理得：，
，解得，
点的坐标为．
当点在点的右侧时，如下图：
由图可知，直线与轴的夹角仍是，因此直线与抛物线不可能只有一个交点．
综上，点的坐标为．
（3）① 当点在点的左侧时，如下图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，由（2）知，
，
点，
设点的坐标为，
将逆时针旋转得到，
，
，
，
在和中，，
，
，，
点，
点的坐标为；
，
又为线段的中点，，，
点，
，
．
当点在点的右侧时，如下图：
同理，点的坐标仍为，因此．
② 当点在（1）所求的抛物线上时，
把代入，整理得：，
解得：或，
或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
