2020年湖南省郴州市中考数学试卷
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2020年湖南省郴州市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共8题） |
1. 如图表示互为相反数的两个点是．
A．点与点 B．点与点
C．点与点 D．点与点
2. 年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达纳秒（秒纳秒）．用科学记数法表示纳秒为．
A．秒 B．秒
C．秒 D．秒
3. 下列图形是中心对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
4. 下列运算正确的是．
A． B．
C． D．
5. 如图，直线，被直线，所截．下列条件能判定的是．
A． B． C． D．
6. 某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（） | ||||||
销售数量（双） |
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是．
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
7. 如图1，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式．
A．
B．
C．
D．
8. 在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接，已知，则．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共8题） |
9. 若分式的值不存在，则________．
10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
11. 质检部门从件电子元件中随机抽取件进行检测，其中有件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有________件次品．
12. 某人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，，，，，方差为，后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差________．
13. 小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系：
日期（日） | ||||
成绩（个） |
小红的仰卧起坐成绩与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为________．
14. 在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到，已知，则点的坐标是________．
15. 如图，圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则圆锥主视图的面积为________．
16. 如图，在矩形中，，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与，，交于点，，，则________．
| 三、 解答题（共10题） |
17. 计算：．
18. 解方程：．
19. 如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接，，，．
求证：四边形是菱形．
20. 疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：．效果很好；．效果较好；．效果一般；．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
（1）此次调查中，共抽查了________名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中的度数；
（3）某班人学习小组，甲、乙人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取人，则“人认为效果很好，人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）
21. 年月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知，两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米秒，参考数据：，．
22. 为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共吨，甲物资单价为万元吨，乙物资单价为万元吨，采购两种物资共花费万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排，两种不同规格的卡车共辆来运输这批物资．甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车；甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车．按此要求安排，两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
23. 如图，内接于，是的直径．直线与相切于点，在上取一点使得，线段，的延长线交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
24. 为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点，，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则________；若，则________；
若，则________（填“”，“ ”或“”）．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元平方米，侧面造价为千元平方米．设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．
① 请写出与的函数关系式；
② 若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内？
25. 如图1，在等腰直角三角形中，，．点是的中点，以为边作正方形，连接，．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．
（1）如图2，在旋转过程中，
① 判断与是否全等，并说明理由；
② 当时，与交于点，求的长．
（2）如图3，延长交直线于点．
① 求证：；
② 在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
26. 如图1，抛物线与轴交于，，与轴交于点．已知直线过，两点．
（1）求抛物线和直线的表达式；
（2）点是抛物线上的一个动点．
① 如图1，若点在第一象限内，连接，交直线于点．设的面积为，的面积为，求的最大值；
② 如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】和互为相反数，则点与点表示互为相反数的两个点．
故选：
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2. 【答案】A
【解析】秒纳秒，
纳秒秒秒秒．
故选：
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3. 【答案】D
【解析】．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
4. 【答案】A
【解析】．，正确；
．，故此选项错误；
．，故此选项错误；
．，不是同类项，无法合并，故此选项错误．
故选：
【点评】此题主要考查了合并同类项以及二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5. 【答案】D
【解析】．当时，，故此选项不合题意；
．当时，，故此选项不合题意；
．当时，，故此选项不合题意；
．当时，，故此选项符合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
6. 【答案】C
【解析】对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：
【点评】此题考查了众数、平均数、中位数和方差意义，属于基础题，难度不大，只要了解各个统计量的意义就可以轻松确定本题的正确答案．
7. 【答案】B
【解析】由图可知，
图1的面积为：，
图2的面积为：，
所以．
故选：
【点评】本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
8. 【答案】B
【解析】作轴于，轴于，
点是双曲线上的点，点是双曲线上的点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．
二、 填空题
9. 【答案】；
【解析】若分式的值不存在，
则，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式不存在的条件，正确把握分式有意义的条件：分式存在的条件是分母不等于零是解题关键．
10. 【答案】；
【解析】根据题意得，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11. 【答案】；
【解析】（件），
即这批电子元件中大约有件次品．
故答案为：．
【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用样本中的数据，可以计算出总体中次品数．
12. 【答案】；
【解析】一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，
所得到的一组新数据的方差为．
故答案为：．
【点评】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
13. 【答案】；
【解析】设该函数表达式为，根据题意得：
，
解得，
该函数表达式为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到，，
点的坐标是：，
即．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
15. 【答案】；
【解析】根据圆锥侧面积公式：，
圆锥的母线长为，
侧面展开图的面积为，
故，
解得：．
由勾股定理可得圆锥的高，
圆锥的主视图是一个底边为，高为的等腰三角形，
它的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
16. 【答案】；
【解析】如图，连接，
在矩形中，，，
，
根据作图过程可知：
是的垂直平分线，
，，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得，
在中，根据勾股定理，得
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 【答案】
【解析】，
方程两边都乘，得
，
解得，
检验：当时，．
故：是原方程的解．
【点评】考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．
19. 【答案】答案见解析
【解析】证明：方法一：
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
同理可证：，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
方法二：为菱形
，，
，
所以就能得到四个三角形全等，
所以四条边相等，
所以四边形为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
20. 【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】（1）（名），
故答案为：；
（2）（名），，补全条形统计图如图所示：
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有种可能出现的结果，其中“人认为效果很好，人认为效果较好”即：人为，人为的有种，
．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法或树状图求随机事件的概率，理解统计图中的数量关系，列出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
21. 【答案】米秒
【解析】设火箭从到处的平均速度为米秒，根据题意可知：
，
在中，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
解得（米秒）．
答火箭从到处的平均速度为米秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
22. 【答案】（1）甲物资采购了吨，乙物质采购了吨
（2）方案：安排辆型卡车，辆型卡车；方案：安排辆型卡车，辆型卡车；方案：安排辆型卡车，辆型卡车．
【解析】（1）设甲物资采购了吨，乙物质采购了吨，
依题意，得：，
解得：．
答甲物资采购了吨，乙物质采购了吨．
（2）设安排型卡车辆，则安排型卡车辆，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
可以为，，，
共有种运输方案，方案：安排辆型卡车，辆型卡车；方案：安排辆型卡车，辆型卡车；方案：安排辆型卡车，辆型卡车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：连接，
是的直径．直线与相切于点，
，
，，
，，
，
即，
，
直线是的切线；
（2）解：，
，
，
是等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
24. 【答案】（1）如图所示
（2）；；
（3）① ；②
【解析】（1）函数图象如图所示：
（2）若，则；若，则，
若，则．
故答案为，，
（3）① 由题意，．
② 由题意，
，
可得，
解得：，
长应控制在的范围内．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25. 【答案】（1）①
②
（2）① 答案见解析
② 存在，的最大值为
【解析】（1）① 如图2中，结论：．
理由：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
．
② 如图2中，过点作于．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）① 如图3中，设交于．
，
，
，，
，
，
．
② ，是定值，
当最小时，的值最大，
当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合（如图4中），
，，，
，
，
，
的最大值为．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
26. 【答案】（1）；
（2）①；② 存在，的坐标为，点的坐标为或，时，
【解析】（1）把，代入得：，
解得，
抛物线的表达式，，
点坐标为，
把，代入得：，
解得，
直线的表达式：．
（2）① 交直线于点，
设点的坐标为，
设直线的表达式为，
，
解得，
直线的表达式，，
，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
点的横坐标为，点的横坐标，
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图1中：
，，，，
，
设，则
整理得，，
，
，
解得
有最大值，最大值为．
② 存在，理由如下：过点作于，如图2中，
的对称轴为，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
点的坐标为，
当为边时，
为平行四边形，
，轴，
点的横坐标与点的横坐标同为，
当时，，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
根据对称性当时，时，四边形也是平行四边形．
当为对角线时，如图3中，
为平行四边形，
，轴，
同理求得：点的坐标为，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为，点的坐标为或，时，；
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分是对角线与边两种情况讨论．
