2020年湖南省娄底市中考数学试卷
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2020年湖南省娄底市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 的倒数是．
A． B． C． D．
2. 下列运算正确的是．
A． B．
C． D．
3. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为．
A． B． C． D．
4. 一组数据，，，，的平均数和中位数分别是 ．
A．、 B．、 C．、 D．、
5. 我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是 ．
A．
B．
C．
D．
6. 年中央财政下达义务教育补助经费亿元，比上年增长．其中亿元用科学记数法表示为 ．
A．元 B．元
C．元 D．元
7. 正多边形的一个外角为，则这个多边形的边数为 ．
A． B． C． D．
8. 如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是 ．
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
9. 如图，平行于轴的直线分别交与的图象于点、，点是轴上的动点，则的面积为 ．
A． B． C． D．
10. 下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为 ．
A． B． C． D．
11. 函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是 ．
A． B． C． D．
12. 二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
13. 一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
14. 口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球个，白色球个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是________．
15. 若，则________．
16. 如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为（米），某车在标有处的弯道上从点行驶了米到达点，则线段________米．
17. 如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为________．
18. 由个直角边长分别为，的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当________时，取得最大值．
| 三、 解答题（共8题） |
19. 计算：．
20. 先化简，然后从，，，中选一个合适的数代入求值．
21. 我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间：．，．，．，．，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：
（1）本次调查参加义务劳动的学生共________人，________．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形图中“”部分的圆心角是________度．
22. 如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于年月日动工，年月日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端点距地面，从点处测得点俯角为，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，，．
23. 为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花元购进洗手液与消毒液共瓶，已知洗手液的价格是元瓶，消毒液的价格是元瓶．
求：（1）该校购进洗手液和消毒液各多少瓶？
（2）若购买洗手液和消毒液共瓶，总费用不超过元，请问最多能购买洗手液多少瓶？
24. 如图，中，，，分别在边、上的点与点关于对称，连接、、、．
（1）试判定四边形的形状，并说明理由；
（2）求证：．
25. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，过作的垂线，垂足为．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长；
（3）请用线段、表示的长，并说明理由．
26. 如图，抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的动点，当时，试确定的值，使得的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点的点，满足，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】的倒数是．
故选：
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
2. 【答案】C
【解析】．，原计算错误，故此选项不符合题意；
．，原计算错误，故此选项不符合题意；
．，原计算正确，故此选项符合题意；
．，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了整式的运算．正确掌握同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式等知识，熟练掌握相关法则和公式是解题的关键．
3. 【答案】A
【解析】如图，标注字母，
由题意可得：，，
，
．
故选：
【点评】本题考查了平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
4. 【答案】C
【解析】，从小到大排列处在中间位置的一个数是，因此中位数是．
故选：
【点评】本题考查平均数、中位数的意义和计算方法，理解平均数、中位数的意义和计算方法是得出正确答案的前提．
5. 【答案】B
【解析】．不是中心对称图形．故错误；
．是中心对称图形．故正确；
．不是中心对称图形．故错误；
．不是中心对称图形．故错误．
故选：
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
6. 【答案】D
【解析】亿元元元．
故选：
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
7. 【答案】B
【解析】设所求正多边形边数为，
则，
解得．
故正多边形的边数是．
故选：
【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
8. 【答案】A
【解析】动力动力臂阻力阻力臂，
当阻力及阻力臂不变时，动力动力臂为定值，且定值，
动力随着动力臂的增大而减小，
杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又动力臂，
此时动力臂也越来越大，
此时的动力越来越小．
故选：
【点评】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性等知识；熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
9. 【答案】B
【解析】由题意可知，，边上的高为，
．
故选：
【点评】本题考查反比例函数图形上点的坐标特征，表示三角形的底和高是正确解答的关键．
10. 【答案】C
【解析】根据规律可得，，
，
，
．
故选：
【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出各个数之间的关系．
11. 【答案】D
【解析】当时，
方程无实数根，因此选项不符合题意；
方程无实数根，因此选项不符合题意；
方程无实数根，因此选项不符合题意；
方程的解为，因此选项符合题意．
故选：
【点评】本题考查函数值的意义，当函数值为时，求出自变量的值是正确判断的前提．
12. 【答案】C
【解析】二次函数与轴交点的横坐标为、，将其图象往下平移个单位长度可得出二次函数的图象，如图所示．
观察图象，可知：．
故选：
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
14. 【答案】；
【解析】袋子中共有个小球，其中白色小球有个，
从中任意摸出一球，有种等可能结果，其中摸到白色小球的有种可能，
从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
15. 【答案】；
【解析】，
，
故答案为：．
【点评】考查了比例线段，关键是熟练掌握比例的分比的性质．
16. 【答案】；
【解析】，
，
又，
是等边三角形，
（米）．
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，根据弧长公式求得的度数是解题的关键．
17. 【答案】；
【解析】两个圆锥的底面圆相同，
可设底面圆的周长为，
上面圆锥的侧面积为：，
下面圆锥的侧面积为：，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键．
18. 【答案】；
【解析】如图，作斜边上高，
，
，
又，为定值，
，
最大值为，
，为直角边的直角三角形面积，
，
，
等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，
当时，．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，完全平方公式，等腰直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、 解答题
19. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 【答案】
【解析】原式
，
当，，时，原式没有意义，舍去；
当时，原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21. 【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】（1）本次调查参加义务劳动的学生共（人），
，
，
故答案为：，；
（2）如图所示：；
（3），
扇形图中“”部分的圆心角是，
故答案为：．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，能根据图形得出正确的信息是解此题的关键．
22. 【答案】
【解析】作于，于，于，如图所示：
则，，，
由题意得：，
，，
，
，
斜面的坡度为，
，
，
答处于同一水平面上引桥底部的长约为．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题以及坡度问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23. 【答案】（1）该校购进洗手液瓶，该校购进消毒液瓶
（2）瓶
【解析】（1）设该校购进洗手液瓶，该校购进消毒液瓶，
依题意有，
解得．
故该校购进洗手液瓶，该校购进消毒液瓶；
（2）设能购买洗手液瓶，则能购买洗手液瓶，
依题意有，
解得．
故最多能购买洗手液瓶．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准不等关系，正确列出一元一次不等式．
24. 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）四边形是菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
点与点关于对称，
，，，
在和中，，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
25. 【答案】（1）答案见解析
（2）
（3），理由见解析
【解析】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
与相切；
（2）解：是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：，过作于，
平分，，
，
在与中，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定及全等三角形的判定与性质是本题的关键．
26. 【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】（1）由题意可以假设抛物线的解析式为，
把代入，可得
抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
将，代入得到，
解得，
直线的解析式为．
当时，点在直线的上方，过点作轴的垂线交于．
则，，
，
，
，
当时，的值最大，
此时，
．
（3）由，，，可得，，，
，，
，
连接，过点作的垂线交抛物线于，交于．
则，，
，
，
，关于的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴对称，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
点的坐标为．
方法二：设点的坐标为，然后用两点间的距离公式表示和，最后会得到关于的一元二次方程，最后解的和，由题意可知，不符合舍弃最后得到，所以的坐标就是．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，勾股定理轴对称等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
