2020年江苏省常州市中考数学试卷
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2020年江苏省常州市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共8题） |
1. 的相反数是．
A． B． C． D．
2. 计算的结果是．
A． B． C． D．
3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是．
A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥
4. 的立方根为．
A． B． C． D．
5. 如果，那么下列不等式正确的是．
A． B． C． D．
6. 如图，直线、被直线所截，，，则的度数是．
A． B． C． D．
7. 如图，是的弦，点是优弧上的动点（不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是，则长的最大值是．
A． B． C． D．
8. 如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，．若反比例函数的图象经过、两点，则的值是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共10题） |
9. 计算：________．
10. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________．
11. 地球的半径大约为．数据用科学记数法表示为________．
12. 分解因式：________．
13. 若一次函数的函数值随自变量增大而增大，则实数的取值范围是________．
14. 若关于的方程有一个根是，则________．
15. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．若是等边三角形，则________．
16. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形中，，．如图，建立平面直角坐标系，使得边在轴正半轴上，点在轴正半轴上，则点的坐标是________．
17. 如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则________．
18. 如图，在中，，，、分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点、，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为________．
| 三、 解答题（共10题） |
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
21. 为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量是________；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．
22. 在张相同的小纸条上分别标上、、这个号码，做成支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中随机抽出支签，抽到号签的概率是________；
（2）搅匀后先从中随机抽出支签（不放回），再从余下的支签中随机抽出支签，求抽到的支签上签号的和为奇数的概率．
23. 已知：如图，点、、、在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
24. 某水果店销售苹果和梨，购买千克苹果和千克梨共需元，购买千克苹果和千克梨共需元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共千克，且总价不超过元，那么最多购买多少千克苹果？
25. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一点，过作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．
（1）求的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求的面积．
26. 如图1，点在线段上，，，，．
（1）点到直线的距离是________；
（2）固定，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，并停止旋转．
① 请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为________；
② 如图2，在旋转过程中，线段与交于点，当时，求的长．
27. 如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点（在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点“，把的值称为关于直线的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为的与两坐标轴交于点、、、．
① 过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点________（填“”、“ ”、“ ”或“”），关于直线的“特征数”为________；
② 若直线的函数表达式为．求关于直线的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”．且关于直线的“特征数”是，求直线的函数表达式．
28. 如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．
（1）填空：________；
（2）点是抛物线上一点，点的横坐标大于，直线交直线于点．若，求点的坐标；
（3）点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接．当点在轴上时，直接写出的长．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】解：的相反数是．
故选
利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．
2. 【答案】B
【解析】．
故选：
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3. 【答案】C
【解析】该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，
则可得出该几何体是四棱柱．
故选：
【点评】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．
4. 【答案】C
【解析】的立方根是．
故选：
【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：的立方根是．
5. 【答案】A
【解析】、，
，故本选项符合题意；
、，
，故本选项不符合题意；
、，
，故本选项不符合题意；
、，
，故本选项不符合题意．
故选：
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
6. 【答案】B
【解析】，，
，
，
．
故选：
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
7. 【答案】A
【解析】，垂足为，
，
点是的中点，
，
的最大值是直径的长，的半径是，
的最大值为．
故选：
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确的最大值为的直径的长是解题的关键．
8. 【答案】D
【解析】作轴于，延长，交于，设与轴的交点为，
四边形是平行四边形，
，，
，
轴，
，
，
与轴平行，与轴平行，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过、两点，
，
解得，
．
故选：
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出、的坐标是解题的关键．
二、 填空题
9. 【答案】；
【解析】
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
10. 【答案】；
【解析】依题意得：，
解得．
故答案为：
【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．
11. 【答案】；
【解析】将用科学记数法表示为．
故答案为：
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12. 【答案】；
【解析】，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
13. 【答案】；
【解析】一次函数，函数值随的值增大而增大，
．
故答案为：
【点评】本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数中，当时随的增大而增大．
14. 【答案】；
【解析】关于的方程有一个根是，
把代入方程得：，
解得：．
故答案为：
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
15. 【答案】；
【解析】垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到．
16. 【答案】；
【解析】四边形是菱形，且，
，
，
，
中，，
，，
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了含度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定的长．
17. 【答案】；
【解析】连接，
在正方形、中，
，
，
设，，
，，
．
故答案为：
【点评】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
18. 【答案】或；
【解析】如图，过点作交的延长线于，过点作于．
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
当点在的延长线上时，同法可得．
故答案为：或
【点评】本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
三、 解答题
19. 【答案】
【解析】
，
当时，原式．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：把代入得：，
所以是原方程的解，
即原方程的解是：；
（2），
解不等式① 得：，
解不等式② 得：，
不等式组的解集是：．
【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．
21. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）本次抽样调查的总人数是：（人，
则样本容量是；
故答案为：；
（2）打乒乓球的人数有：（人，
踢足球的人数有：（人，补全统计图如下：
（3）根据题意得：
（人，
故估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）共有种可能出现的结果，其中“抽到号”的有种，
因此“抽到号”的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有种，
．
【点评】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1），
，
，
，
即，
在与中，
，
，
；
（2），
，
，
，
故的度数为．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出是解题关键．
24. 【答案】（1）每千克苹果的售价为元，每千克梨的售价为元
（2）
【解析】（1）设每千克苹果的售价为元，每千克梨的售价为元，
依题意，得：，
解得：．
故每千克苹果的售价为元，每千克梨的售价为元．
（2）设购买千克苹果，则购买千克梨，
依题意，得：，
解得：．
故最多购买千克苹果．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25. 【答案】（1），
（2）
【解析】（1）把点代入反比例函数得，
，
点，代入得，，
正比例函数的关系式为；
（2）当时，代入得，，
，
当代入得，，即，
，
．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．
26. 【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】（1）如图1中，作于，
，，，．
，，，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为；
（2）① 线段经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点落在上的点处．
．
故答案为．
② 如图2中，过点作于．设．
在中，，，，
，，，
在中，，
，
在中，则有，
解得或（不合题意舍弃），
，
，
．
【点评】本题考查作图旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27. 【答案】（1）①，；②
（2）直线的解析式为或
【解析】（1）① 由题意，点是关于直线的“远点”， 关于直线的特征数，
故答案为：，．
② 如图中，过点作直线于，交于，．
设直线交轴于，交轴于，
，
，
，
，
，
关于直线的“特征数” ．
（2）如图中，设直线的解析式为．
当时，过点作直线于，交于，．
由题意，，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
的中点，
，
，
把，代入，则有，
解得，
直线的解析式为，
当时，同法可知直线经过，可得直线的解析式为．
综上所述，满足条件的直线的解析式为或．
【点评】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
28. 【答案】（1）
（2）点的坐标为或
（3）
【解析】（1）抛物线的图象过点，
，
，
故答案为：；
（2），
抛物线解析式为
抛物线的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，
点，，
（舍去），，
点，
，
顶点坐标，
如图1，当点在点上方时，过点作于，设与轴交于点，
点，点，点，，
点，，，
，，
，
点，点，点，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，
点与点重合，
点是直线与抛物线的交点，
，
，，
点；
当点在点下方上，过点作于，在线段的延长线上截取，连接交抛物线于点，
，，
，
，
，
，
点，点，
直线解析式为：，
点，
直线解析式为：，
，
解得，
点坐标为，
，
点，
直线解析式为：，
联立方程组，
解得：或，
点；
综上所述：点的坐标为或；
（3）如图，设直线与的交点为，作于，过点作轴，过点作，连接，，
点，点，
直线解析式为：，
，
，
点坐标为，
点坐标为，
，，
，
，
点关于直线对称的点为，
，，
，
，
又，
，
，，
点的横坐标为，
点，
，
，
点关于直线对称的点为，
，，
，
点，
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出是本题的关键．
