2020年湖北省随州市中考数学试卷
展开
绝密★启用前
2020年湖北省随州市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
|
|
|
|
| 一、 选择题（共10题） |
1. 的相反数是．
A． B． C． D．
2. 如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，则的度数是．
A． B． C． D．
3. 随州月份连续天的最高气温分别为：，，，，（单位：），则这组数据的众数和中位数分别为．
A．， B．， C．， D．，
4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为．
A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．四棱锥
5. 的计算结果为．
A． B． C． D．
6. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设有只鸡、只兔，则可用二元一次方程组表示题中的数量关系为．
A．
B．
C．
D．
7. 小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离与出发时间之间的对应关系的是．
A．
B．
C．
D．
8. 设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是．
A． B． C． D．
9. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为．
A． B． C． D．
10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：
①；
② ；
③ 当是等腰三角形时，的值有个；
④ 当是直角三角形时，．
其中正确的有．
A．个 B．个 C．个 D．个
| 二、 填空题（共6题） |
11. 计算：________．
12. 如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为________．
13. 幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫图．将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是，则的值为________．
14. 如图，中，点，，分别为，，的中点，点，，分别为，，的中点，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为________．
15. 如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为，则的值为________．
16. 如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：
① ；
② 折痕的长度的取值范围为；
③ 当四边形为正方形时，为的中点；
④ 若，则折叠后重叠部分的面积为．
其中正确的是________．（写出所有正确判断的序号）
| 三、 解答题（共8题） |
17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
19. 根据公安部交管局下发的通知，自年月日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄（岁 | 人数 | 男性占比 |
（1）统计表中的值为________；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“”部分所对应扇形的圆心角的度数为________；
（3）在这人中女性有________人；
（4）若从年龄在“”的人中随机抽取人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男性的概率．
20. 如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米．
（1）求与之间的距离；
（2）求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数）
21. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为，，求的长．
22. 年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按天计）前天的某型号口罩销售价格（元只）和销量（只与第天的关系如下表：
第天 | |||||
销售价格（元只） | |||||
销量（只 |
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于元只，该药店从第天起将该型号口罩的价格调整为元只．据统计，该药店从第天起销量（只）与第天的关系为 （，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为元只．
（1）直接写出该药店该月前天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于元，则的取值范围为________．
23. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）① 请叙述勾股定理；
② 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）① 如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个；
② 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”．在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①________；
②与的关系为________，与的关系为________．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点 ，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；
（2）动点，同时从点出发，点以每秒个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得分，至多得分）
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】的相反数是：．
故选
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2. 【答案】C
【解析】，
，
直线，
．
故选：
【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角定义的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
3. 【答案】D
【解析】这天最高气温出现次数最多的是，因此众数是；
将这天的最高气温从小到大排列，处在中间位置的一个数是，因此中位数是．
故选：
【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确计算的前提．
4. 【答案】A
【解析】俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
故选：
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
5. 【答案】B
【解析】原式
．
故选：
【点评】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是掌握分式的乘除法的运算过程．
6. 【答案】D
【解析】解：由题意得，鸡有一个头，两只脚，兔有个头，四只脚，
结合上有三十五头，下有九十四足可得：
故选
此题考查了二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．
7. 【答案】B
【解析】① 从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；
② 停留一段时间时，离家的距离不变，
③ 乘车返回时，离家的距离减小至零，
纵观各选项，只有选项符合．
故选：
【点评】本题是对函数图象的考查，根据题意，理清从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，明确离开家的距离随时间的变化情况是解题的关键．
8. 【答案】C
【解析】如图，
是等边三角形，
的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为，
设，，，
，故正确；
，
，
在中，
，故正确；
，
，
，
，，
，，故错误，正确．
故选：
【点评】本题考查了等边三角形及它的内切圆和外接圆的关系，等边三角形的内心与外心重合，是三条角平分线的交点；由等腰三角形三线合一的特殊性得出角和，利用直角三角形的性质或三角函数得出、、的关系．
9. 【答案】C
【解析】，
，
，
，
，
解方程得，，
，
，
．
故选：
【点评】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
10. 【答案】B
【解析】二次函数的图象与轴交于，两点，
对称轴为直线，
，
，故① 正确，
当时，，
，
，
，故② 错误；
二次函数，
点，
当时，，
，
当时，，
，
当是等腰三角形时，的值有个，故③ 正确；
二次函数，
顶点，
，，，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
当是直角三角形时，或，故④ 错误．
故选：
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】．
故答案为：
【点评】本题主要考查了实数的运算，熟记有理数乘方的定义以及算术平方根的定义是解答本题的关键．
12. 【答案】；
【解析】，
而是的角平分线，
．
故答案为：
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13. 【答案】；
【解析】依题意，得：，
解得：．
故答案为：
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】点，，分别为，，的中点，
，
又点，，分别为，，的中点，
，
米粒落在图中阴影部分的概率为．
故答案为：
【点评】本题主要考查了几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．
15. 【答案】；
【解析】过点、分别作，，垂足分别为、，
是的中点，
，
，
，
，
设，则，
点、在反比例函数的图象上，
，
，即：，
设，则，
的面积为，即，
，
，
（舍去），．
故答案为：
【点评】本题考查反比例函数、一次函数的图象上点的坐标特征，利用中点、相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出三角形的面积是解决问题的关键．
16. 【答案】① ② ③ ④ ；
【解析】① 如图，由折叠可知，
，
，
，
，
，
，
，
故① 正确；
② 当与重合时，，此时最小，
当与重合时，如图，此时最大，
由勾股定理得：，
，
，即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
点在线段上（不与两端点重合），
折痕的长度的取值范围为；
故② 正确；
③ 如图，连接，，
当四边形为正方形时，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
为的中点；
故③ 正确；
④ 如图，连接，
，，
，，
，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
折叠后重叠部分的面积为： ；
故④ 正确；
所以本题正确的结论有：① ② ③ ④ ．
故答案为：① ② ③ ④
【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】原式
当，时，
原式．
【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，解决本题的关键是先化简，再代入值．
18. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）
，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出，
由得，
解得．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
19. 【答案】（1）
（2）
（3）
（4）所以恰好抽到名男性的概率为：
【解析】（1）因为，
所以统计表中的值为；
故答案为：；
（2）因为年龄在“”部分的人数为，
所对应扇形的圆心角的度数为：；
故答案为：；
（3）因为
所以在这人中女性有人；
故答案为：；
（4）因为年龄在“”的人中有名男性，名女性，
设名男性用，表示，名女性用，表示，
根据题意，画树状图如下：
由上图可知：共有种等可能的结果，符合条件的结果有种，
所以恰好抽到名男性的概率为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、频率分布表、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式．
20. 【答案】（1）与之间的距离是米
（2）天线的高度为米
【解析】（1）由题意得，在中，，
米，
米，
（米），
即与之间的距离是米；
（2）在中．，米，
（米），
米，
米，
，
米．
即天线的高度为米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：连接，如图，
，
，
在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
过，
是的切线；
（2）解：连接，，
是的直径，
，，
即，，
由（1）知：，
为的中，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
22. 【答案】（1），且为整数；
，且为整数
（2），第天时利润最大为元
（3）
【解析】（1）根据表格数据可知：
前天的某型号口罩销售价格（元只）和销量（只）与第天的关系为：
，且为整数；
，且为整数；
（2）当且为整数时，
；
当且为整数时，
．
即有，
当且为整数时，售价，销量均随的增大而增大，
故当时，有最大值为：元；
当且为整数时，
，
故当时，有最大值为：元；
由，可知：
第天时利润最大为元．
（3）根据题意可知：
获得的正常利润之外的非法所得部分为：
（元），
，
解得．
则的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找等量关系．
23. 【答案】（1）① 如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么
② 答案见解析
（2）①
②
（3）①
②；
【解析】（1）① 如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
② 证明：在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，
化简得：．
在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，
化简得：．
在图中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，
化简得：．
（2）① 三个图形中面积关系满足的有个；
故答案为；
② 结论：．
，
，
．
．
（3）①；
②与的关系为，与的关系为．
故答案为：；，．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理．
24. 【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）由题意：，
解得，
抛物线的解析式为，
令，可得，解得或，
，
令，得到，
，
，
．
（2）如图中，过点作于，过点作于．
，
，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，，，
，
，
，故可以解得，
经检验，时，，均没有达到终点，符合题意，
．
（3）如图中，当点在点的下方，点在的右侧，时，
取，连接，过点作交于，
，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，可得，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
，
当或时，与相似，可得或，
或．
如图中，当点在点的下方，点在的右侧，时，设交轴于．
，
，
点与重合，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
，
当或时，与相似，可得或，
或．
当点在点的下方，点在的右侧，时，同法可得，或，
当点在点上方，时，同法可得，或，
当点在点上方，时，同法可得，或，
当点在点下方，点在轴的左侧时，时，同法可得，或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
