2020年湖南省衡阳市中考数学试卷

 绝密★启用前2020年湖南省衡阳市中考数学试卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分     评卷人得分  一、 选择题（共12题）1.  的相反数是．A． B． C． D．2.  下列各式中，计算正确的是．A． B． C． D．3.  年月日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水周年来，直接受益人口超过亿人，其中亿用科学记数法表示为．A． B． C． D．4.  下列各式中正确的是．A． B． C． D．5.  下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是．A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线6.  若分式有意义，则的取值范围是．A． B． C． D．7.  如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是． A．，B．，C．，D．，8.  下列不是三棱柱展开图的是．A．B．C．D．9.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是．A．B．C．D．10. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是．A．B．函数图象分布在第一、三象限C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小11. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为． A．B．C．D．12. 如图1，在平面直角坐标系中，▱在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么▱的面积为． A． B． C． D． 评卷人得分  二、 填空题（共6题）13. 因式分解：_​_​_​_​_​_​_​_​．14. 计算：_​_​_​_​_​_​_​_​．15. 已知一个边形的每一个外角都为，则等于_​_​_​_​_​_​_​_​．16. 一副三角板如图摆放，且，则的度数为_​_​_​_​_​_​_​_​． 17. 某班有名学生，其中男生人数是女生人数的倍少人，则女生有_​_​_​_​_​_​_​_​名．18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（为正整数），则点的坐标是_​_​_​_​_​_​_​_​．  评卷人得分  三、 解答题（共8题）19. 化简：．20. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出个球，放回搅匀，再随机摸出第个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21. 如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．（1）求证：；（2）若，求的度数． 22. 病毒虽无情，人间有大爱．年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成组：，，，，，）． 根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于小于所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“后”也有“后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“后”医务人员的数据：市派出的名医护人员中有人是“后”；市派出的名医护人员中有人是“后”；市某医院派出的名医护人员中有人是“后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按万人计）中，“后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到万人）23. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为时，感觉最舒适（如图① ）．侧面示意图为图② ；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③ ，点、、在同一直线上，，，． （1）求的长；（2）如图④ ，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离．（结果保留根号）24. 如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点．（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当时，的最大值与最小值的差；（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围． 26. 如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧，设运动的时间为秒．（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正方形与重叠面积为，请问是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．  参考答案及解析一、 选择题1.  【答案】A 【解析】的相反数是．故选：【点评】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，的相反数是．2.  【答案】D 【解析】不是同类项，它是一个多项式，因此选项不符合题意；同上可得，选项不符合题意；，因此选项不符合题意；，因此选项符合题意．故选： 【点评】本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．3.  【答案】A 【解析】亿．故选：【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．4.  【答案】D 【解析】、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项正确．故选：【点评】本题考查了算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂，解决本题的关键是熟记算术平方根、绝对值、立方根的定义，零指数幂的运算法则．5.  【答案】B 【解析】、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．6.  【答案】C 【解析】根据题意得：，解得：．故选本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为．7.  【答案】C 【解析】，，四边形是平行四边形，故选项中条件可以判定四边形是平行四边形；，，四边形是平行四边形，故选项中条件可以判定四边形是平行四边形；，，则无法判断四边形是平行四边形，故选项中的条件，不能判断四边形是平行四边形；，，四边形是平行四边形，故选项中条件可以判定四边形是平行四边形．故选：【点评】本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法．8.  【答案】B 【解析】、、中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．．围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故不能围成三棱柱．故选：【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．9.  【答案】C 【解析】，由① 得，由② 得，故不等式组的解集为，在数轴上表示为：．故选：【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的解集和在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．10. 【答案】C 【解析】反比例函数经过点，，解得，，故选项正确；，该函数的图象在第一、三象限，故选项正确；当时，随的增大而减小，故选项错误、选项正确．故选：【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11. 【答案】C 【解析】依题意，得：．故选：【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12. 【答案】B 【解析】过作于点，分别过，作直线的平行线，交于，如图1所示， 由图象和题意可得，，，，，直线平行直线，，平行四边形的面积是：．故选：【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．二、 填空题13. 【答案】； 【解析】．故答案为：【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14. 【答案】； 【解析】原式．故答案为：【点评】此题主要考查了分式的加减法，正确化简分式是解题关键．15. 【答案】； 【解析】一个边形的每一个外角都为，任意多边形的外角和都是，．故答案为：【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是．16. 【答案】； 【解析】如图，，，．，，．故答案是：【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时，注意运用题干中隐藏的已知条件，．17. 【答案】； 【解析】设女生有名，则男生人数有名，依题意有，解得．故女生有名．故答案为：【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．18. 【答案】； 【解析】点的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；，，，如此下去，得到线段，，，由题意可得出线段每旋转次旋转一周，，点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在轴的负半轴上，点的坐标是．故答案为：【点评】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键．三、 解答题19. 【答案】 【解析】．【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由概率的意义可得，，解得，，答的值为；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有种．​，【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．21. 【答案】（1）答案见解析（2） 【解析】（1）证明：，，，是的中点，，在与中，，，；（2）解：，，，．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．22. 【答案】（1）（2）（3）万人 【解析】（1）由直方图可得， ，这一组的频数是：，补全的频数分布直方图如右图所示；（2），即扇形统计图中派出人数大于等于小于所占圆心角度数是；（3）（万人），答在支援湖北省的全体医务人员（按万人计）中，“后”大约有万人．【点评】本题考查频数分布直方图、近似数和有效数字、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）如图③ ，在中，，．；（2）如图④ ，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得，，当显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，看可得，，，在中，，又，，即：点到的距离为． 【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法．24. 【答案】（1）与相切，理由见解析（2） 【解析】（1）与相切，理由：连接，，，平分，，，，，，，为半径，是切线；（2）连接，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰三角形的判定和性质、扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．25. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）由二次函数的图象经过和两点，，解得，此二次函数的表达式；（2）抛物线开口向上，对称轴为直线，在范围内，当，函数有最大值为：；当是函数有最小值：，的最大值与最小值的差为：； （3）与二次函数图象交点的横坐标为和，，整理得，解得：，，，，，故解得，即的取值范围是． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．26. 【答案】（1）（2）存在，（3）有可能，时长 【解析】（1）如图1-1中， 由题意，，，，当点落在上时，，，，，点的运动路程为，时，点落在上． （2）由题意，在，的运动过程中，开始正方形的边长为，正方形与重叠面积为，，此时点与重合，已经停止运动，如图中1-2，重叠部分是五边形． 由题意：，整理得，解得或（舍弃），满足条件的的值为． （3）如图3-1中，当点第一次落在上时，， 当点第一次落在上时，，，点第一次落在正方形内部（包括边界）的时长，当点第二次落在上时，，，当点第二次落在上时，，，点第二次落在正方形内部（包括边界）的时长，点落在正方形内部（包括边界）的总时长．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．