2020年湖北省黄石市中考数学试卷
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2020年湖北省黄石市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 的相反数是．
A． B． C． D．
2. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
3. 如图所示，该几何体的俯视图是．
A．
B．
C．
D．
4. 下列运算正确的是．
A．
B．
C．
D．
5. 函数的自变量的取值范围是．
A．，且 B．
C． D．，且
6. 不等式组的解集是．
A． B． C． D．
7. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，连接，将线段绕原点旋转，得到对应线段，则点的坐标为．
A． B． C． D．
8. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，若，则的值为．
A． B． C． D．
9. 如图，点、、在上，，，垂足分别为、，若，则的度数为．
A． B． C． D．
10. 若二次函数的图象，过不同的六点、、、，、、，则、、的大小关系是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
11. 计算：________．
12. 因式分解：________．
13. 据报道，年月日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财富推介会上，我市现场共签项目个，总投资亿元．用科学记数法表示亿元，可写为________元．
14. 某中学规定学生体育成绩满分为分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为分、分、分，则小明同学本学期的体育成绩是________分．
15. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，其中、、为格点，作的外接圆，则的长等于________．
16. 匈牙利著名数学家爱尔特希．，曾提出：在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点、、、、构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是________．
| 三、 解答题（共9题） |
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度．已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部点，测得乙栋楼房顶部点的仰角是，底部点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）．
19. 如图，，，，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
20. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴．
（1）求的值；
（2）以、为边作菱形，求点坐标．
21. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两根为、，且满足，求的值．
22. 我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛．某中学要从名男生名女生共名学生中选派名学生参赛．
（1）请列举所有可能出现的选派结果；
（2）求选派的名学生中，恰好为名男生名女生的概率．
23. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
24. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）求证：．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
（1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，连接，为抛物线上一点，且位于线段的上方，过作垂直轴于点，交于点，若，求点坐标；
（3）已知点，且无论取何值，抛物线都经过定点，当时，求抛物线的解析式．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】根据相反数的概念及意义可知：的相反数是．
故选：
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
2. 【答案】D
【解析】 、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义的内容是解此题的关键．
3. 【答案】B
【解析】该几何体的俯视图是．
故选：
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4. 【答案】D
【解析】．不是同类项不能合并，选项错误；
．原式，选项错误；
．，选项错误；
．，选项正确．
故选：
【点评】本题主要考查了合并同类项法则和幂的运算法则，熟记法则是解题的关键．
5. 【答案】A
【解析】根据题意得：，且，
解得，且．
故选：
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6. 【答案】C
【解析】不等式组，
由① 得：，
由② 得：，
则不等式组的解集为．
故选：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7. 【答案】A
【解析】由题意与关于原点对称，
，
．
故选：
【点评】本题考查旋转变换，中心对称等知识,解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8. 【答案】B
【解析】在中，，点，，分别是边，，的中点，
，，
，
.
故选：
【点评】本题考查了直角三角形的性质以及三角形的中位线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
9. 【答案】C
【解析】如图，
在优弧上取一点，连接，，
，，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
．
故选：
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
10. 【答案】D
【解析】二次函数的图象过点、、，
抛物线的对称轴直线满足，抛物线的开口向上，
抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
，、、，
则．
故选：
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】原式
．
故答案为：
【点评】此题考查了实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. 【答案】；
【解析】原式
．
故答案为：
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13. 【答案】；
【解析】亿元元元．
故答案为：
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
14. 【答案】；
【解析】（分）．
故答案为：
【点评】本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提．
15. 【答案】；
【解析】每个小方格都是边长为的正方形，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
连接，则，
，
的长为：．
故答案为：
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形．
16. 【答案】；
【解析】这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
根据正五边形的性质可得，，
，
，，
正五边形每个角的度数为：，
，
，
，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出是解题关键．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
18. 【答案】 米．
【解析】如图所示：
由题意得：，，，，
在中，，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
（米）；
答乙栋楼房的高度为米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定与性质等知识；解题的关键是借助仰角构造直角三角形，利用三角函数定义解直角三角形．
19. 【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】（1），，
，
，
；
（2）证明：在与中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有，，，，，全等三角形的对应角相等．
20. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）点在直线上，
，
即点的坐标为，
点是反比例函数的图象与正比例函数图象的交点，
，
即的值是；
（2）由题意得：，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
，
点，
，
菱形是以、为边，且轴，
，
．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
，且，
解得：．
（2）关于的一元二次方程有两个实数根、，
，，
，即．
解得：
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合找出关于的一元一次方程．
22. 【答案】（1）如图所示
（2）
【解析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
（2）共有种可能出现的结果，其中“一男一女”的有种，
．
【点评】本题考查列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的前提．
23. 【答案】（1）每头牛值两银子，每只羊值两银子
（2）三种，① 购买头牛，只羊；
② 购买头牛，只羊；
③ 购买头牛，只羊．
【解析】（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
根据题意得：，
解得：．
答（1）每头牛值两银子，每只羊值两银子
（2）① 购买头牛，只羊；
② 购买头牛，只羊；
③ 购买头牛，只羊．
设购买头牛，只羊，依题意有
，
，
，都是正整数，
① 购买头牛，只羊；
② 购买头牛，只羊；
③ 购买头牛，只羊．
【点评】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键．
24. 【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）如图，连接，，
则，
，
是的平分线，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
（2），
，
，
的半径为；
（3）连接，
是直径，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
25. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）把代入，
得．
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，则，
设直线的解析式为，把，代入得到，
，
解得，
直线的解析式为，
在直线上，
，
解得，
．
（3）由，
当时，，，
无论取何值，抛物线都经过定点，
二次函数的顶点，
① 如图2中，过点作轴于，分别过，作轴，轴的垂线交于点，若时，则，
，，
，，
，
，
，
，
即，
由图可知，，
解得或（不合题意舍弃）．
② 如图3中，过点作轴于，分别过，作轴，轴的垂线交于点．
若，则，
同理可得，，
，
，
即，
解得（不符合题意舍弃）．
③ 若，则，重合，不符合题意舍弃，
综上所述，抛物线的解析式为．
【点评】本题考查二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
