人教版2020年九年级上册期中复习试卷 解析版

人教版2020年九年级上册期中复习试卷
范围：第21-23章
一．选择题
1．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+3）＝0 D．ax2+bx+c＝0
3．抛物线y＝﹣x2开口方向是（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
4．一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0配方后可化为（　　）
A．（x﹣2）2＝4 B．（x﹣2）2＝8 C．（x﹣4）2＝4 D．（x﹣4）2＝8
5．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
6．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么k应满足的条件是（　　）
A．k＞﹣4 B．k≥﹣4且k≠0 C．k＞﹣4且k≠0 D．k≤1
7．如图，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD的度数为（　　）

A．55° B．45° C．40° D．35°
8．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（　　）
A．300（1+x）＝507
B．300（1+x）2＝507
C．300（1+x）+300（1+x）2＝507
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507
9．已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，记△＝b2﹣4ac，M＝（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（　　）
A．△＞M B．△＝M
C．△＜M D．无法确定△与M的大小
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题
11．点P（﹣1，2）关于坐标原点O的对称点坐标为　 　．
12．当m满足条件　 　时，关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程．
13．二次函数y＝4（x﹣3）2+7的图象的顶点坐标是　 　．
14．若m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解，则2m2+4m﹣3的值为　 　．
15．已知方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于　 　．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则AF的长为　 　cm．

17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＜0 ②2a+b＝0 ③4a+2b+c＞0 ④对任意实数x均有ax2+bx≥a+b，正确的结论序号为：　 　．

三．解答题
18．用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣1）＝3﹣3x；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（配方法）．


19．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．


20．已知某抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求m的值．

21．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）分别写出A1，B1，C1的坐标．



22．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：某件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图甲），这件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图乙）．

（1）这件商品在6月份出售时的利润是多少元？
（2）求出图乙中表示的这件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）你能求出3月份至7月份这件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品3000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？


23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？



24．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．



25．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．



















参考答案
一．选择题
1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是x2﹣2x﹣3＝0，
故选：A．
3．解：∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
故选：B．
4．解：x2﹣4x﹣4＝0，
x2﹣4x＝4，
x2﹣4x+4＝4+4，
（x﹣2）2＝8，
故选：B．
5．解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（﹣3，2），
∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故选：D．
6．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根
∴k≠0且△＝（﹣4）2﹣4•k•（﹣1）＝16+4k≥0，
解得：k≥﹣4且k≠0，
故选：B．
7．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，∠AOB＝45°，
∴△OAB≌△OCD，∠COA＝90°，
∴∠DOC＝∠AOB＝45°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝90°﹣45°＝45°，
故选：B．
8．解：设这两年的年利润平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2＝507．
故选：B．
9．解：∵x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax12+bx1+c＝0，
∴ax12+bx1＝﹣c，
∴M＝（2ax1+b）2＝＝4a（ax12+bx1）+b2＝4a•（﹣c）+b2＝b2﹣4ac＝△，
故选：B．
10．解：过A点作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，BH＝CH＝AH＝BC＝2，
当0≤x≤2时，如图1，

∵∠B＝45°，
∴PD＝BD＝x，
∴y＝•x•x＝x2；
当2＜x≤4时，如图2，

∵∠C＝45°，
∴PD＝CD＝4﹣x，
∴y＝•（4﹣x）•x＝﹣x2+2x，
故选：B．
二．填空题
11．解：点P（﹣1，2）关于坐标原点O的对称点坐标为：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
12．解：∵关于x的方程（m2﹣4）x2+mx+3＝0是一元二次方程，
∴m2﹣4≠0，即m≠±2，
故答案为：m≠±2
13．解：
∵y＝4（x﹣3）2+7，
∴顶点坐标为（3，7），
故答案为：（3，7）．
14．解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根．
∴m2+2m﹣3＝0，
即m2+2m＝3，
∴2m2+4m﹣3＝2（m2+2m）﹣3＝2×3﹣3＝3．
故答案为：3．
15．解：∵方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣100，x1•x2＝10，
∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝10﹣（﹣100）＝110．
故答案为：110．
16．解：过点A作AG⊥DE于点G，

由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴∠AED＝∠ADG＝45°，
在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，
在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3cm，
在Rt△AFG中，GF＝＝cm，AF＝2FG＝2cm，
故答案为：2．
17．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确．
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴b+2a＝0，故②正确；
根据图象知道
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误，
∵当x＝1时，y最小＝a+b+c，
∴ax2+bx+c≥a+b+c，
∴ax2+bx≥a+b，故④正确．
∴正确的结论序号为：①②④，
故答案为：①②④．
三．解答题
18．解：（1）x（x﹣1）＝3﹣3x＝3（1﹣x），
移项、合并同类项，得：（x﹣1）（x+3）﹣0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）2x2﹣4x﹣1＝2（x2﹣2x）﹣1＝2（x﹣1）2﹣3＝0，
∴（x﹣1）2＝，
解得：x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
19．（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，△＝（2k﹣3）2＝0，解得k＝，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，而2+2＝4，故舍去；
当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得k＝，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，即a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2，
所以△ABC的周长＝4+4+2＝10．
20．解：观察表格发现该抛物线经过点（0，﹣3）和（2，﹣3），
∴对称轴为直线x＝＝1，
观察发现抛物线经过（1，﹣4），
∴顶点坐标为：（1，﹣4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把点（﹣1，0）代入得，0＝4a﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）把x＝﹣2代入y＝（x﹣1）2﹣4，得y＝5，
∴m＝5．
21．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）A1（﹣5，﹣3），B1，（﹣1，﹣2），C1（﹣3，﹣1）．

22．解：（1）由图可知，这件商品六月份出售时的利润＝8﹣4＝4（元）；
（2）由题意可设Q与t之间的关系式为：Q＝a（t﹣6）2+4，
而（3，1）满足上面关系式．则a（3﹣6）2+4＝1，解得a＝﹣，
∴Q＝﹣（t﹣6）2+4（3≤t≤7，t为整数），
（3）由题意得，W＝M﹣Q，设M＝kt+b，∵点（3，6），（6，8）满足此式，
∴，解得：，
∴M＝t+4
∴W＝t+4+（t﹣6）2﹣4＝（t﹣5）2+，
∵＞0，∴在5月份时出售这件商品的最低利润为元，
一个月内售出3000件这种商品的最低利润＝3000×＝11000（元），
答：一个月内售出3000件这种商品的最低利润是11000元．
23．解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；

（2）△PBQ的面积S＝
＝（12﹣2t）×4t
＝﹣4t2+24t＝32，
解得：t＝2或4，
即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；

（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t﹣3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
24．解：（1）结论：DA＝DB+DC．
理由：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，

（2）结论：DA＝DB+DC，
理由：如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，

∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴DA2+AE2＝DE2，
∴2DA2＝（DB+DC）2，
∴DA＝DB+DC；
25．解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a＝6，
解得：a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y＝kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y＝﹣x+6，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN＝PM﹣MN＝﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+2t+6+t﹣6＝﹣t2+3t，
∴S△PAB＝S△PAN+S△PBN
＝PN•AG+PN•BM
＝PN•（AG+BM）
＝PN•OB
＝×（﹣t2+3t）×6
＝﹣t2+9t
＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值；
方法二：如图2，连接OP，作PH⊥x轴于点H，作PG⊥y轴于点G，

设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则PH＝﹣t2+2t+6，PG＝t，
S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△ABO
＝×6×t+×6×（﹣t2+2t+6）﹣×6×6
＝﹣t2+9t
＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，即P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值

（3）如图3，

若△PDE为等腰直角三角形，
则PD＝PE，
设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，
∴PD＝﹣a2+2a+6﹣（﹣a+6）＝﹣a2+3a，＝﹣，
则b＝4﹣a，
∴PE＝|a﹣（4﹣a）|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|，
∴﹣a2+3a＝2|2﹣a|，
解得：a＝4或a＝5﹣，
所以P（4，6）或P（5﹣，3﹣5）．