数学10.2.2 复数的乘法与除法公开课课件ppt

这是一份数学10.2.2 复数的乘法与除法公开课课件ppt，共19页。PPT课件主要包含了复习回顾，复数的加减法，交换律和结合律，尝试与发现，复数的乘法，i2-1，计算下列各式的值，-5-5i，-3i，-20+15i等内容，欢迎下载使用。

两个实数的乘法对加法来说满足分配律. 即a，b, cϵ R 时，有 (a+b)c=ac+bc ,而且，实数的正整数次幂满足 am·an =amn,, (am )n=amn， (ab)n =anbn ，其中m,n均为正整数.
我们研究完了复数的加法和减法运算，那么复数的乘法，你想到怎么算了吗？你想到的算法符合实数乘法相关的运算法则吗？
思考：复数的乘法应该如何规定, 才能使得类似的运算法则仍成立呢?
设z1=3 ； z2 = 1—2i ; z3 =-5i ,你认为z1z2的值与z2z3的值分别等于多少？ 由此尝试给出任意两个复数相乘的运算规则.
猜想：z1z2=3(1-2i)=3-3×(-3i)=3-6i z2z3=(1-2i)(-5i)=1×(-5i)-2i×(-5i)=-5i+10i2=-5i-10
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,dϵR),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定
z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i
按照多项式乘法进行计算，然后利用 i 2 =-1即可.
按照这种定义，我们在上面尝试与发现中的猜想是正确的.
乘法运算率在复数范围内仍然成立：
例1 已知a,bϵR,求证：(a+bi)(a-bi)=a2+b2 .
证明：根据复数乘法的定义有
(a+bi)(a-bi)=a2-abi+bai-bi2 =a2+b2 .
两个共轭复数的乘积等于其模的平方.即
复数乘法运算按照多项式乘法方式进行运算.
n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn，即zn=z×z×z×…×z×z.
可以验证，当m，n均为正整数时， zmzn＝zm+n，（zm）n＝zmn，（z1z2）n＝zn1zn2.
以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是成立的，即（z1+z2）2＝z21+2z1z2+z22， z21-z22＝（z1+z2)(z1-z2）.
例如,例1也可按如下方式计算.(a +bi) (a —bi)=a2 -(bi)2 =a2 + b2.
类似于实数的乘法运算，只不过当底为正实数时，指数为任意实数.
【探究】 i 的指数 变化规律
观察发现 i 的指数与运算结果之间有规律了吗？有怎样的规律？
i3=i2 × i=-1×i=-i;i4=i2i2=1×1=1
i 的幂次具有周期性，T=4
利用 i 的周期性可以解决高次幂问题。.
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)
例2 计算(1+i)2与(1-i)2的值.
解：(1+i)2 =12+2i+i2=2i ；
(1-i)2 =12-2i+i2=-2i
等式的性质在复数范围内仍然成立：
当z1=z2时，必有 z1z=z2z.
注意：不是所有的实数中的结论都可以推广到复数情况. 例如：当xϵR时，x2≥0; 当zϵC时，z2未必成立。
1.b=0, z=a,z为实数
a=0 ,z=bi ,z2=-b2 此时z为实数
a≠0 ,z=a+bi ,z2=a2-b2+2abi 此时z为复数
我们用类似的方法给出两个复数相除的定义.
如果复数z2≠0 , 则满足zz2=z1 的复数z称为z1除以z2的商，并记作
如无特别说明，总认为除数不能为0.
利用复数除法的定义可以证明，当ω为非零复数时，有
尝试与发现的式子可以改写为
为了求出a,b的值，将等式右边看成一个分式，只要想办法把1+2i变成一个实数即可.
(1+2i)(1-2i)=12-(2i)2 =5
这种方法称为“分母实数化”
例3 求(1 +2i)÷(3-4i)的值.
复数除法的计算方法——分母实数化
实系数一元二次方程在复数范围内的解集
我们已经知道，虚数单位 i 是方程 x2＝-1 的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数 a>0，那么方程 x2＝-a 在复数范围内的解集是什么？
因为 i2=(-i)2=-1 ,
所以方程 x2=-1 在复数范围内的解集为 {-i , i }.
所以方程 x2=-a 在复数范围内的解集为
引入复数之后，任意实系数一元二次方程总有解，可以仿照在实数范围内解一元二次方程的方式，采配方法再开方的方法解。
配方成 x2=-a (a>0)的形式再开方，回到了对复数开方问题.
例4　在复数范围内求方程 x2+2x+3＝0 的解集.
因为 x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2 ,
所以原方程可以化为 (x+1)2=-2 ,从而可知
仍满足一元二次方程根与系数之间的关系！
研究证明关于实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的情况，并证明：如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，那么
证明：由ax2+bx+c＝0 得
采用先 配方 成 x2=-a 的形式，再 开方 运算
（1）当Δ＝b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ＝b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式为
当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且
（3）当Δ＝b2-4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根.
复数乘法 ： （a+bi）（c+di）＝（ac-bd）+（bc+ad）i.
对于任意复数z1，z2，z3∈C，复数的乘法满足：交换律：z1·z2＝z2·z1.结合律：（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）.分配律：z1（z2+z3）＝z1·z2+z1·z3.