高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理优质课课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理优质课课件ppt，共23页。PPT课件主要包含了向量法，同理可证，根据两点间距离公式得，坐标法，余弦定理，语言表述，符号语言，适用范围，任意三角形，解由余弦定理可知等内容，欢迎下载使用。

利用如图91-6(1)所示的现代测量工具，可以方便地測出3点之冋的一些距离和角.从而可得到未如的距离与角.
例如，如图9-1-6(2)所示，A, B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一 点C.然后使用测量仪得出AC，BC以及 ACB的大小.你能根据这3个量求出 AB 吗？
把实际问题抽象成数学模型
已知a，b和角C,如何求c?
以A为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系
如图，可知点A（0,0），C（b,0）.
由三角函数的定义得点B的坐标为
（ccsA,csinA）
三角形任意一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的2倍.
又余弦定理可以看出，已知三角形两边及其夹角，可以求出该三角形的第三边.
我们已经学习过正弦定理，那么现在探讨一下能否用正弦定理证明余弦定理呢？如果能证写出证明过程，如果不能，说明理由.
例1 在∆ABC中，已知a=3,b=6,C=60°,求c.
已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定.这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS 一致.
已知三角形的两边及其中一边的对角，这个三角形能唯一确定吗？
事实上，当角为较长边所对的角时，三角形唯一确定.
余弦定理的应用——已知三角形两边及其夹角，求第三边
提示：不能唯一确定。 这与初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一致.
例2 在∆ABC中，已知a=6,b=4,c= ,求C.
已知三角形的3条边时，可求出该三角形的三个角，而且该三角形也唯一确定.
这与初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致.
余弦定理的应用——已知三角形三边求角
教材P11练习A 2.已知∆ABC中，a=10,b=5,C=120°,求c.
教材P11练习A 3.已知∆ABC中，a=6,b=4,c= ,求C.
教材P11练习A 4.已知∆ABC中，a=3,b=2,c= ,求角C以及三角形面积.
C=120°
教材P12练习B 4.在∆ABC中，分别根据下列条件c. (1)a=4,b=2,A=60°; (2)a=4,b=3,A=45°.
例3 在∆ABC中，已知acsA=bcsB是判断这个三角形的形状.
故∆ABC是等腰三角形或直角三角形.
余弦定理的应用——判断三角形形状
所以 2RsinAcsA=2RsinBcsB,
即2sinAcsA=2sinBcsB,从而sin2A=sin2B,
因此2A=2B+2kπ2A+2B=2kπ+π,其中kϵZ
判断三角形形状的方法：
勾股定理是余弦定理的特殊形式
一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）A、3，4，5 B、2，3，4 C、1，2，3 D、4，5，6
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。
A中3，4，5是一组勾股数，所以这三边组成的是直角三角形显然不满足。
最大边对应的角为钝角，满足条件。
最大边对应的角为锐角，不满足条件。
C中由1，2，3这组数为边长够不成三角形。显然不满足。
构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。。
大边对大角，小边对小角，大角对大边，小角对小边。
例4 如图所示平行四边形ABCD中，已知B+D=180°,AB=2,BC= AD= ,求四边形ABCD面积.
解：连接点A，C，如图所示.
在∆ABC与∆ADC中分别使用余弦定理可得
AC2=AB2+BC2-2AB×BCcsB,
AC2=AD2+CD2-2AD×CDcsD.
又因为B+D=180°，所以csD=cs(180°-B)=-csB,
解得csB=0,因此csD=0,则B=D=90°
从而可知四边形的面积为
平面多边形问题转化为三角形问题。
例5 求证：a=bcsC+ccsB.
所以 a2=bacsC+cacsB,
即 a=bcsC+ccsB.
a=bcsC+ccsB能否用向量的几何意义解释？
同理可得 b=acsC+ccsA, c=acsB+bcsA.
利用这个结论可以快速解决有关的选择题和填空题。
教材P12习题9-1B 6.已知 ∆ABC 中,a=bcsC + csin B. (1) 求角B； (2) 若b =2,求∆ABC面积的最大值.
（1）由已知和正弦定理得 sinA=sinBcsC+sinCsinB,①
又 A=π-(B+C),所以sinA=sin[π-(B+C) ]=sin(B+C),
又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC, ②
由①②和Cϵ(0,π),得sinB=csB.
（2）∆ABC的面积为
已知平行四边形ABCD,求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).
设AD=a,AB=b,∠BAD=α.
在∆ABC中，由余弦定理可知 BD2=a2+b2-2abcsα.
在∆ACD中， AC2=a2+b2-2abcs(π-α).
两式相加可得 AC2+BD2=2(a2+b2).
即 AC2+BD2=2(AB2+AD2).
1. 已知△ABC 中，M 为BC 中点，求证；4AM2+BC2 = 2(AB2+AC2).
2. 作CN必AB,与AM的延长线交于N.由第1题结论可知ANZ+BCZ=2(AB2H-ACZ).因为 AN，=4AM\ 所以 4AMz+BC2=2(ABz+AC2).
在∆ABC中，若2B＝A＋C，b2＝ac，试判断△ABC的形状为________
∵2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－2accs 60°＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，从而(a－c)2＝0，
∴a＝c，又B＝60°，所以△ABC为等边三角形
余弦定理 余弦定理变形
（1）已知两边及其夹角，求第三边及另两个角。（SAS）（2）已知三边，求三个角。（3）判断三角形形状。