第八章 向量的数量积与三角恒等变换-2019-2020学年人教B版（2019）高一数学下学期期末冲刺满分训练（原卷+解析）

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第八章   向量的数量积与三角恒等变换   期末单元测试卷（范围：新教材人教B版 必修三   考试时间：90分钟  满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若夹角为120°的向量与满足，则（    ）A. 1 B. 2 C.  D. 4答案及解析：1.B 【分析】根据向量数量积的应用，把两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论.【详解】解：∵，∴，即，则，或（舍），故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题.2.已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A.  B.  C.  D. 或答案及解析：2.B 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【详解】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，∴cos（α+β），则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα••，故选B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．3.（   ）A．2         B．       C.          D．1答案及解析：3.B ，所以，所以原式，故选B. 4.如图，正方形ABCD中,E为DC的中点,若,则的值为(　　)A. 3 B. 2 C. 1 D. －3答案及解析：4.D 【详解】因为E是DC的中点，所以，∴，∴，．考点：平面向量的几何运算5.在四边形ABCD中，，且·＝0，则四边形ABCD是（   ）A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形答案及解析：5.A 【分析】由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵，∴与平行且相等，∴四边形为平行四边形．又，∴，即平行四边形的对角线互相垂直，∴平行四边形为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．6.已知，则（    ）A.  B. C.  D. 答案及解析：6.A 【分析】由题得，再利用诱导公式化简求值.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.已知函数,则下列结论中正确的是(    )A.f(x)既是奇函数又是周期函数 B. .f(x)的图象关于直线对称C. f(x)的最大值为1    D. .f(x)在区间上单调递减答案及解析：7.B ，所以f(x)不是奇函数，f(x)的最大值不为1，f(x)在区间上不是单调函数，所以A,C,D错误，令，得，时，f(x)对称轴方程为，故选B. 8.△ABC中，，，则A=（    ）A.  B.  C.  D. 答案及解析：8.B 【分析】设的内角、、的对边分别为、、，利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用、、的等式表示，可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值.【详解】设的内角、、的对边分别为、、，则，，所以，两个等式相除得，，，故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的定义，同时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于中等题.9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD=10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.其中所有正确结论的编号是（    ）A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④答案及解析：9.B 【分析】利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公式求得的值.【详解】设，则，∵，∴，∴.即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴，由，解得（负根舍去）.∵，∴.故正确结论的编号为①③④.故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.10.设，，，则a、b、c的大小关系为（   ）A.  B. C.  D. 答案及解析：10.C 分析：分别对a，b，c化简，最后利用余弦函数的单调性比较大小即可.详解：，， 又在上单调递减，，.故选：C点睛：本题考查了辅助角公式、二倍角公式、半角公式、诱导公式的灵活运用，以及利用函数性质比较大小的方法. 11.将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则的最小值是 A.           B.          C.          D. 答案及解析：11.A 12.O为△ABC所在平面上动点，点P满足, ,则射线AP过△ABC的（  ）A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心答案及解析：12.B 【分析】将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.【详解】 因为和分别是和的单位向量所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量所以的方向与的角平分线重合即射线过的内心故选B【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，的夹角为，则__________.答案及解析：13.2 ∵，的夹角为∴∴故答案为2.14.已知，且，则       .答案及解析：14. ，且，所以,.15.已知两个非零单位向量、的夹角为.①不存在，使；②；③；④在方向上的投影为.则上述结论正确序号是________（请将所有正确结论都填在横线上）答案及解析：15.①②③ 【分析】根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.【详解】对于命题①，，命题①正确；对于命题②，，同理可得，则，命题②正确；对于命题③，，，命题③正确；对于命题④，在方向上的投影为，命题④错误.因此，正确命题的序号为①②③，故答案为：①②③.【点睛】本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义，解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题.16.已知P为△ABC所在平面内一点，且，则_____答案及解析：16. 【分析】将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．【详解】解：设，则根据题意可得，，如图所示，作，垂足分别为，则又，，故答案为：。【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题． 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分）17.计算（1）；（2）答案及解析：17.（1）  （2） 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式，即可求得答案（2）由三角函数和差角的公式和二倍角公式，以及诱导公式逐步化简可得．【详解】（1）.（2）.【点睛】本题主要考查了二倍角公式，三角函数的求值，涉及和差角的公式和二倍角公式，涉及转化思想，等式的恒等变形，属于中档题． 18.已知不共线向量，满足||＝3，||＝2，（23）•（2）＝20.（1）求•；（2）是否存在实数λ，使λ与2共线？（3）若（k2）⊥（），求实数k的值.答案及解析：18.（1）1；（2）存在，；（3）或 【分析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λ与2共线，则，计算得到答案.（3）计算（k2）•（）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量，满足||＝3，||＝2，（23）•（2）＝20，所以44•34×9﹣4•3×4＝20，解得•1；（2）假设存在实数λ，使λ与2共线，则，故，.即存在λ，使得λ与2共线；（3）若（k2）⊥（），则（k2）•（）＝0，即k（2﹣k2）•2k0，所以9k+（2﹣k2）×1﹣2k•4＝0，整理得k2﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣1或k＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.19.已知向量，，.（Ⅰ）若，求k的值；（Ⅱ）当时，与共线，求的值；（Ⅲ）若，且与的夹角为150°，求.答案及解析：19.（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ） 【分析】（Ⅰ）由得方程即得解；（Ⅱ）先求出，由题得，解方程即得解.（Ⅲ）先求出，即得.【详解】解：（Ⅰ）∵，∴.即，∴.（Ⅱ）当时，.与共线.所以.（Ⅲ）∵，，∴.∵与的夹角为，∴.∴.∴.【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查平面向量的数量积及运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知平面向量，函数.(1)求函数f(x)图象的对称轴；(2)当时，求f(x)的值域.答案及解析：20.(1) (2)  【分析】（1）先求得的坐标，然后根据向量模的做包运算，求得f(x)的表达式并进行化简，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数f(x)的对称轴.（2）根据（1）中所求f(x)的解析式，结合三角函数值域的求法，求得f(x)的值域.【详解】(1)，由解得:，所以函数图象的对称轴是直线(2) 当时，所以所以.所以的值城是【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查平面向量模的坐标运算，考查三角恒等变换，考查正弦型函数的对称轴、值域的求法，属于基础题.21.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q)，过点A做AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝θ，四边形ACOB的周长为l.（1）求l关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值.答案及解析：21. （1），， （2），，当时，，所以时，.22.已知，，，且，其中.(1)若与的夹角为60°，求k的值；(2)记，是否存在实数k，使得对任意的恒成立?若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.答案及解析：22.(1) ；(2) ． 【分析】(1)由两边平方得，，展开即可求出k的值；(2)根据，可求出，再将变形为，设，然后解不等式组，即可求出实数k的取值范围．【详解】(1) 由得，，因为，所以，即，解得．(2)由(1)可知，，所以，变形为，设，所以对任意的恒成立，即有， ，解得 ．【点睛】本题主要考查数量积的运算以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．