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初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀课堂检测
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这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀课堂检测，共15页。试卷主要包含了5s时，小球的高度h＝30m．，5，等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
2．用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为（ ）
A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30）B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30）
C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30）D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（ ）
A．S＝B．S＝C．S＝D．S＝
4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1 mB．2 mC．3 mD．6 m
5．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月B．2月至12月
C．1月D．1月、2月和12月
6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②③④D．②④
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1B．2C．3D．4
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣B．或C．2或D．2或或
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值6
10．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②⑤C．②③④D．①②④⑤
二．填空题
12．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是 ．
13．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加 m．
14．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 m．
15．如图所示，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ．
16．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 ．
三．解答题
17．某店销售一种小工艺品．该工艺品每件进价12元，售价为20元．每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．设每件工艺品售价提高x元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为y元．
（1）填空：每件工艺品售价提高x元后的利润为 元，每周可售出工艺品 件，y关于x的函数关系式为 ；
（2）若y＝384，则每件工艺品的售价应确定为多少元？
18．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a＝﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（2）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
20．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
2．解：由题意得：矩形的另一边长＝60÷2﹣x＝30﹣x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．
3．解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴a2+b2＝c2，
∵Rt△ABC的面积S，
∴S＝ab，
∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
∴c2+4S＝25，
∴S＝．
故选：A．
4．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
2×3﹣4＝2，
所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．
故选：B．
5．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y＝0时，n＝2或n＝12，
当y＜0时，n＝1，
故选：D．
6．解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：C．
7．解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×12×6﹣（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
9．解：由二次函数的图象可知，
∵﹣5≤x≤0，
∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；
当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．
故选：B．
10．解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（x﹣m）2+]，
＝2（x﹣m）2+m2，
∴y与x的函数图象是A．
故选：A．
11．解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时y的值随的x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选：B．
二．填空题
12．解：设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2019年年人均收入为：300（x+1）2，
y与x的函数关系式是为：y＝300（x+1）2．
故答案为y＝300（x+1）2．
13．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，
故答案为：（2﹣4）．
14．解：设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，
由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2.4，
∵菜农的身高为1.8m，即y＝1.8，
则1.8＝﹣x2+2.4，
解得：x＝±，
故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米，
故答案为：3．
15．解：∵AB＝8，BC＝6，
∴CD＝8，
∴BD＝10，
∵DM＝x，
∴BM＝10﹣x，
如图，过点M作ME⊥BC于点E，
∴ME∥DC，
∴△BME∽△BDC，
∴＝，
∴ME＝8﹣x，
而S△MBP＝×BP×ME，
∴y＝x2+4x，P不与B重合，那么x＞0，可与点C重合，那么x≤6．
故填空答案：y＝x2+4x（0＜x≤6）．
16．解：作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN＝y，PC＝x，
根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，
即y2＝52+（10﹣2x）2．
∵0＜x＜10，
∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，
∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；
故答案为：5．
三．解答题
17．解：（1）∵该工艺品每件进价12元，售价为20元，
∴每件工艺品售价提高x元后的利润为：（20﹣12+x）＝（8+x）（元），
∵把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件，
∴每周可售出工艺品：（40﹣2x）（件），
∴y关于x的函数关系式为：y＝（40﹣2x）（8+x））＝﹣2x2+24x+320；
故答案为：8+x；40﹣2x；y＝﹣2x2+24x+320；
（2）∵y＝384，
∴384＝﹣2x2+24x+320，
整理得出：x2﹣12x+32＝0，
（x﹣4）（x﹣8）＝0，
解得：x1＝4，x2＝8，
4+20＝24，8+20＝28，
答：每件工艺品的售价应确定为24元或28元．
18．解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，
将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h＝1，
解得：h＝；
②把x＝5代入y＝﹣（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；
（2）把（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：
，
解得：，
∴a＝﹣．
19．解：（1）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；
（2）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，
由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，
∴△＝b2﹣16＝0，
解得，b1＝4，b2＝﹣4，
∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；
（3）当c＝b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；
②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x＝﹣，y＝b2为最小值，
∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
∴b＝时，解析式为：y＝x2+x+7
b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16．
20．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
一．选择题
1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
2．用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为（ ）
A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30）B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30）
C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30）D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（ ）
A．S＝B．S＝C．S＝D．S＝
4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1 mB．2 mC．3 mD．6 m
5．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月B．2月至12月
C．1月D．1月、2月和12月
6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②③④D．②④
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1B．2C．3D．4
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣B．或C．2或D．2或或
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值6
10．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②⑤C．②③④D．①②④⑤
二．填空题
12．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是 ．
13．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加 m．
14．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 m．
15．如图所示，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ．
16．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 ．
三．解答题
17．某店销售一种小工艺品．该工艺品每件进价12元，售价为20元．每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．设每件工艺品售价提高x元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为y元．
（1）填空：每件工艺品售价提高x元后的利润为 元，每周可售出工艺品 件，y关于x的函数关系式为 ；
（2）若y＝384，则每件工艺品的售价应确定为多少元？
18．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a＝﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（2）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
20．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
2．解：由题意得：矩形的另一边长＝60÷2﹣x＝30﹣x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．
3．解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴a2+b2＝c2，
∵Rt△ABC的面积S，
∴S＝ab，
∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
∴c2+4S＝25，
∴S＝．
故选：A．
4．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
2×3﹣4＝2，
所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．
故选：B．
5．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y＝0时，n＝2或n＝12，
当y＜0时，n＝1，
故选：D．
6．解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：C．
7．解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×12×6﹣（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
9．解：由二次函数的图象可知，
∵﹣5≤x≤0，
∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；
当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．
故选：B．
10．解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（x﹣m）2+]，
＝2（x﹣m）2+m2，
∴y与x的函数图象是A．
故选：A．
11．解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时y的值随的x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选：B．
二．填空题
12．解：设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2019年年人均收入为：300（x+1）2，
y与x的函数关系式是为：y＝300（x+1）2．
故答案为y＝300（x+1）2．
13．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，
故答案为：（2﹣4）．
14．解：设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，
由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2.4，
∵菜农的身高为1.8m，即y＝1.8，
则1.8＝﹣x2+2.4，
解得：x＝±，
故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米，
故答案为：3．
15．解：∵AB＝8，BC＝6，
∴CD＝8，
∴BD＝10，
∵DM＝x，
∴BM＝10﹣x，
如图，过点M作ME⊥BC于点E，
∴ME∥DC，
∴△BME∽△BDC，
∴＝，
∴ME＝8﹣x，
而S△MBP＝×BP×ME，
∴y＝x2+4x，P不与B重合，那么x＞0，可与点C重合，那么x≤6．
故填空答案：y＝x2+4x（0＜x≤6）．
16．解：作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN＝y，PC＝x，
根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，
即y2＝52+（10﹣2x）2．
∵0＜x＜10，
∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，
∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；
故答案为：5．
三．解答题
17．解：（1）∵该工艺品每件进价12元，售价为20元，
∴每件工艺品售价提高x元后的利润为：（20﹣12+x）＝（8+x）（元），
∵把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件，
∴每周可售出工艺品：（40﹣2x）（件），
∴y关于x的函数关系式为：y＝（40﹣2x）（8+x））＝﹣2x2+24x+320；
故答案为：8+x；40﹣2x；y＝﹣2x2+24x+320；
（2）∵y＝384，
∴384＝﹣2x2+24x+320，
整理得出：x2﹣12x+32＝0，
（x﹣4）（x﹣8）＝0，
解得：x1＝4，x2＝8，
4+20＝24，8+20＝28，
答：每件工艺品的售价应确定为24元或28元．
18．解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，
将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h＝1，
解得：h＝；
②把x＝5代入y＝﹣（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；
（2）把（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：
，
解得：，
∴a＝﹣．
19．解：（1）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；
（2）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，
由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，
∴△＝b2﹣16＝0，
解得，b1＝4，b2＝﹣4，
∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；
（3）当c＝b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；
②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x＝﹣，y＝b2为最小值，
∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
∴b＝时，解析式为：y＝x2+x+7
b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16．
20．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
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