北师大版2020年九年级上册期末综合复习题 解析版

北师大版2020年九年级上册期末综合复习题
一．选择题
1．如图所示的工件，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．
2．用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
3．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
4．如果﹣1是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2
5．在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若反比例函数y＝图象经过点（5，﹣1），该函数图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
7．如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝4，则＝（　　）

A． B． C． D．
8．一元二次方程x2+3x﹣1＝0的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个解
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为（　　）

A． B． C． D．
10．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平
分∠BCD，则下列结论，其中正确的有（　　）
①DE⊥EC②点E是AB的中点③AD•BC＝BE•DE④CD＝AD+BC

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二．填空题
11．如果（x﹣2）2＝9，则x＝　 　．
12．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：3，则△ABC与△DEF的相似比为　 　．
13．如图，∠DAB＝∠EAC，请补充一个条件：　 　，使△ADE∽△ABC（只写一个答案即可）．

14．已知≠0，则＝　 　．
15．在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜0＜x2，则y1与y2的大小关系是　 　．
16．已知方程2x2+kx﹣2k+1＝0的两个实数根的平方和为，则k的值为　 　．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点O为对角线AC、BD的交点，P为AD上任一点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，则PM+PN＝　 　．

18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝　 　．

三．解答题
19．解方程：
（1）（3x+2）2＝25 （2）x2﹣7x+10＝0．



20．小明和小红并排站立在阳光下，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此时小红的影长是多少米？

21．将A，B，C，D四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．
（1）A在甲组的概率是多少？
（2）A，B都在甲组的概率是多少？



22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．



23．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？



24．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．



25．某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（0≤x≤a）时，满足y＝3x，下降时，y与x成反比．
（1）求a的值，并求当a≤x≤8时，y与x的函数表达式；
（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？


26．如图，一次函数y＝ax+图象分别与x轴，y轴交于A、B两点；与反比例函数y＝（k≠0）的图象分别交于点E、F，过F作x轴的垂线，垂足为点C，已知点A（﹣3，0），点F（3，t）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求点E的坐标并求△EOF的面积．


27．如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y＝kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD＝OC，OC：OA＝2：5．
（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．

28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在线段BA上以每秒3cm的速度点A运动，同时动点N从点C出发，在线段CB上以每秒2cm的速度向点B运动，其中一点到达终点后，另一点也停止运动．运动时间为t秒，连接MN．
（1）填空：BM＝　 　cm，BN＝　 　cm．（用含t的代数式表示）
（2）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（3）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．




















参考答案
一．选择题
1．解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，
故选：C．
2．解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，
配方得（x﹣2）2＝2．
故选：A．
3．解：A、对角线相等的四边形是矩形，是假命题，故此选项不合题意；
B、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，故此选项不合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故此选项符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是矩形，是假命题，故此选项不合题意；
故选：C．
4．解：∵﹣1是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，
∴（﹣1）2﹣3×（﹣1）+k＝0，解得k＝﹣4，
故选：A．
5．解：根据题意：从口袋中摸出一个恰好是黄球的概率为；
∴口袋中摸出红球、黑球的概率为；
又∵红球、黑球总数为：6+2＝8个，
∴口袋中球的总数为：8÷＝12个．
因此，黄球的个数为：12﹣8＝4个．
故选：B．
6．解：∵反比例函数y＝的图象经过点（5，﹣1），
∴k＝5×（﹣1）＝﹣5＜0，
∴该函数图象在第二、四象限．
故选：D．
7．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
故选：D．
8．解：∵△＝32﹣4×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
9．解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，BO＝BD＝3，AO＝AC＝4，
在Rt△AOB中，可求得AB＝5，
∴5DH＝AC•BD，即5DH＝×6×8，解得DH＝，
在Rt△BDH中，由勾股定理可得BH＝＝＝，
∵∠DOG＝∠DHB，∠ODG＝∠HDB，
∴△DOG∽△DHB，
∴＝，即＝，解得OG＝，
故选：B．
10．解：①：∵AD∥BC，∠ADC+∠BCD＝180°
∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
∴∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝BCE
∴∠DCE+∠CDE＝90°
∴DE⊥EC；
故本选项正确；

②延长DE交CB的延长线于点F．
∵AD∥BC，DE是∠ADC的角平分线，
∴∠CDF＝∠ADE＝∠DFC，
∴CD＝CF，
∴△CDF是等腰三角形；
又由①知DE⊥EC，
∴DE＝FE，
又∵∠AED＝∠BEF，
∴△BEF≌△AED（AAS），
∴AE＝EB，
∴点E是AB的中点；
故本选项正确；

③由①知：DE⊥EC，故∠AED+∠BEC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠BEC+∠BCE＝90°，
∴∠AED＝∠BCE，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AED∽△BCE，
∴AE：BC＝AD：BE，
∴AD•BC＝BE•AE，
∵DE＞AE，
∴AD•BC≠BE•DE．
故③错误；

④∵△BEF≌△AED，
∴AD＝BF；
又∵CD＝CF，
∴CD＝AD+BC；
故本选项正确；
综上所述，①②④正确；
故选：C．

二．填空题
11．解：开方得x﹣2＝±3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3．
解得x1＝5，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝5，x2＝﹣1．
12．解：因为△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：3，
所以△ABC与△DEF的相似比为：1：．
故答案为：1：．
13．解：∵∠DAB＝∠CAE
∴∠DAE＝∠BAC
∴当∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE时两三角形相似．
故答案为：∠D＝∠B（答案不唯一）．
14．解：设＝k，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
＝＝3．
故答案为：3．
15．解：∵反比例函数y＝中k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A（x1，y1）在第二象限；点B（x2，y2）在第四象限，
∴y1＞0＞y2，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
16．解：∵方程2x2+kx﹣2k+1＝0有两个实数根，
∴△＝k2﹣4×2（﹣2k+1）≥0，
解得k≥6﹣8或k≤﹣6﹣8．
设方程2x2+kx﹣2k+1＝0两个实数根为x1、x2．则
x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣k+，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝+2k﹣1＝，即k2+8k﹣33＝0，
解得k1＝3，k2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故答案是：3．
17．解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，BO＝DO，AO＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OD，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝＝＝10，
即OA＝OD＝5，
∵矩形ABCD的面积是AD×BC＝8×6＝48，
∴△BAD的面积是＝24，
∵BO＝DO，
∴△AOD的面积是24＝12，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP，
∴12＝+，
∴24＝5×PM+5×PN，
解得：PM+PN＝，
故答案为：．
18．解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，
∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，
∴OD2＝CD•DA，
设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），
则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，
CD＝（m+n﹣4），DA＝n，
即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n，
解得：mn＝8＝k，
故答案为8．
三．解答题
19．解：（1）（3x+2）2＝25
3x+2＝5或3x+2＝﹣5
x1＝1，x2＝﹣．
（2）x2﹣7x+10＝0
（x﹣2）（x﹣5）＝0
x﹣2＝0或x﹣5＝0
x1＝2，x2＝5．
20．解：设小红的影长是x米，
根据题意得＝，
解得x＝1.92．
答：小红的影长是1.92米．
21．解：所有可能出现的结果如下：
甲组
乙组
结果
AB
CD
（AB，CD）
AC
BD
（AC，BD）
AD
BC
（AD，BC）
BC
AD
（BC，AD）
BD
A C
（BD，AC）
CD
AB
（CD，AB）
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同．
（1）所有的结果中，满足A在甲组的结果有3种，所以A在甲组的概率是．（2分）

（2）所有的结果中，满足A，B都在甲组的结果有1种，所以A，B都在甲组的概率是．（6分）
22．解：（1）根据题意得k≠0且△＝（﹣6）2﹣4k＞0，
解得k＜9且k≠0；
（2）k的最大整数为8，此时方程化为8x2﹣6x+1＝0，
（2x﹣1）（4x﹣1）＝0，
所以x1＝，x2＝．
23．解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3120，
解得：m≥20．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3120元．第一次降价后至少要售出该种商品20件．
24．解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∵AE∥BF，
∴∠DAB+∠CBA，＝180°，
∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOD＝90°；

（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
25．解：（1）有图象知，a＝3；
又由题意可知：当2≤x≤8时，y与x成反比，设．
由图象可知，当x＝3时，y＝6，
∴m＝3×6＝18；
∴y＝（3≤x≤8）；
（2）把y＝3分别代入y＝3x和y＝得，x＝1和x＝6，
∵6﹣1＝5＞4，
∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产．
26．解：（1）把A（﹣3，0）代入一次函数解析式得：0＝﹣3a+，
解得：a＝，即一次函数解析式为y＝x+，
把F（3，t）代入一次函数解析式得：t＝3，
∴F（3，3），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点F，
∴k＝3×3＝9，
∴反比例解析式为y＝；
（2）联立得：，
解得：或，
∴点E（﹣6，﹣），
则S△EOF＝S△AOE+S△AOB+S△BOF＝×3×++×3＝．
27．解：（1）∵BD＝OC，OC：OA＝2：5，点A（5，0），点B（0，3），
∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3，
又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．
∵点D（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣（x＜0）．
将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2．
（2）将y＝x﹣2代入y＝﹣，整理得：x2﹣2x+6＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4××6＝﹣＜0，
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式＞kx+b的解集为x＜0．

28．解：（1）由题意知：BM＝3tcm．BN＝（ 8﹣2t ）cm．
故答案是：3t；（ 8﹣2t）；

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴BA＝＝10．
当△BMN∽△BAC时，＝，
∴＝，
解得t＝（s）；
当△BMN∽△BCA时，＝，
∴＝，
解得t＝（s）．
综上所述，△BMN与△ABC相似时，t的值为s或s；

（3）如图，过点M作MD⊥CB于点D．

∴∠BDM＝∠ACB＝90°．
又∵∠B＝∠B，
∴△BDM∽△BCA，
∴＝＝．
∵AC＝6，BC＝8，BA＝10，BM＝3t，
∴DM＝t，BD＝t，
∴CD＝8﹣t．
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，∠MCD+∠ACM＝90°，
∴∠CAN＝∠MCD．
∵MD⊥CB，
∴∠MDC＝∠ACB＝90°，
∴△CAN∽△DCM，
∴＝，
∴＝，
解得t＝或t＝0（舍去）．
因此t的值为．