数学第5章 二次函数5.5 用二次函数解决问题优秀练习题

这是一份数学第5章 二次函数5.5 用二次函数解决问题优秀练习题，共15页。试卷主要包含了5s．，5或t＝1等内容，欢迎下载使用。
一．选择题


1．长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）


A．y＝x2B．y＝12﹣x2C．y＝（12﹣x）•xD．y＝2（12﹣x）


2．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）


A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a


3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）


A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）


C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）


4．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）


A．y＝x2B．y＝C．y＝D．y＝


5．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）


A．米B．8米C．米D．10米


6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：


①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；


③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．


其中正确的是（ ）





A．①④B．①②C．②③④D．②③


7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（ ）





A．19cm2B．16cm2C．12cm2D．15cm2


8．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）





A．B．C．D．


9．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）





A．ab＝﹣2B．ab＝﹣3C．ab＝﹣4D．ab＝﹣5


10．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（ ）





A．1B．2C．3D．4


二．填空题


11．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 ．


12．已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ．





13．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ．





14．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．


15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是 ．





三．解答题


16．某店销售一种小工艺品．该工艺品每件进价12元，售价为20元．每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．设每件工艺品售价提高x元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为y元．


（1）填空：每件工艺品售价提高x元后的利润为 元，每周可售出工艺品 件，y关于x的函数关系式为 ；


（2）若y＝384，则每件工艺品的售价应确定为多少元？











17．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．


（1）当a＝﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．


（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．











18．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．


（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；


（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？


（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？








19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．


（1）求此二次函数解析式；


（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；


（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．





20．如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．


（1）求抛物线的解析式；


（2）过点A的直线交直线BC于点M．


①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；


②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

















参考答案


一．选择题


1．解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），


∴长方形的另一边长为12﹣x，


∴y＝（12﹣x）•x．


故选：C．


2．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，


依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，


则y＝a（1+x）2．


故选：A．


3．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，


根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），


故选：B．


4．解：作出BC边上的高AD．


∵△ABC是等边三角形，边长为x，


∴CD＝x，


∴高为h＝x，


∴y＝x×h＝x2．


故选：D．





5．解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，


6＝﹣6×+b×，


解得，b＝15


∴函数解析式为s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，


∴当t＝时，s取得最大值，此时s＝，


故选：C．


6．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；


②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；


③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；


④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，


把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，


∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，


把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，


解得：t＝4.5或t＝1.5，


∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；


故选：D．


7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，


∴AC＝＝6cm，


设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，


∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ，


＝×6×8﹣（6﹣t）×2t，


＝t2﹣6t+24，


＝（t﹣3）2+15，


∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．


故选：D．


8．解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE＝BF＝CG＝DH，


∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．


设AE为x，则AH＝1﹣x，根据勾股定理，得


EH2＝AE2+AH2＝x2+（1﹣x）2


即s＝x2+（1﹣x）2．


s＝2x2﹣2x+1，


∴所求函数是一个开口向上，抛物线对称轴是直线x＝．


∴自变量的取值范围是大于0小于1．


故选：B．


9．解：令x＝0，得：y＝b．


∴C（0，b）．


令y＝0，得：ax2+b＝0，


∴x＝±，


∴A（﹣，0），B（，0），


∴AB＝2，BC＝＝．


要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，


∴2＝．


∴4×（﹣）＝b2﹣，


∴ab＝﹣3．


∴a，b应满足关系式ab＝﹣3．


故选：B．


10．解：∵在y＝（x+2）（x﹣8）中，当y＝0时，x＝﹣2或x＝8，


∴点A（﹣2，0）、B（8，0），


∴抛物线的对称轴为x＝＝3，故①正确；


∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）＝10，即半径为5，


∴⊙D的面积为25π，故②错误；


在y＝（x+2）（x﹣8）＝x2﹣x﹣4中，当x＝0时y＝﹣4，


∴点C（0，﹣4），


当y＝﹣4时，x2﹣x﹣4＝﹣4，


解得：x1＝0、x2＝6，


所以点E（6，﹣4），


则CE＝6，


∵AD＝3﹣（﹣2）＝5，


∴AD≠CE，


∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；


∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，


∴点M（3，﹣），


设直线CM解析式为y＝kx+b，


将点C（0，﹣4）、M（3，﹣）代入，得：，


解得：，


所以直线CM解析式为y＝﹣x﹣4；


设直线CD解析式为y＝mx+n，


将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：，


解得：，


所以直线CD解析式为y＝x﹣4，


由﹣×＝﹣1知CM⊥CD于点C，


∴直线CM与⊙D相切，故④正确；


故选：B．


二．填空题


11．解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），


则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．


故应填：y＝x2+6x．


12．解：∵矩形ABCD的周长为18，AB＝x，


∴BC＝×18﹣x＝9﹣x，


∵E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，


∴y＝x（9﹣x）＝﹣x2+x，


故答案为：y＝﹣x2+x；


13．解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），


由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，


故﹣2＝4a，


a＝﹣，


故y＝﹣．


14．解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，


解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．


故答案为：10．


15．解：∵顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，


∴当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，


∴ 解得﹣≤a≤﹣；


当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，


∴ 解得﹣≤a≤﹣；


∵顶点可以在矩形内部，


∴﹣≤a≤﹣．


故答案为：﹣≤a≤﹣．


三．解答题


16．解：（1）∵该工艺品每件进价12元，售价为20元，


∴每件工艺品售价提高x元后的利润为：（20﹣12+x）＝（8+x）（元），


∵把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件，


∴每周可售出工艺品：（40﹣2x）（件），


∴y关于x的函数关系式为：y＝（40﹣2x）（8+x））＝﹣2x2+24x+320；


故答案为：8+x；40﹣2x；y＝﹣2x2+24x+320；





（2）∵y＝384，


∴384＝﹣2x2+24x+320，


整理得出：x2﹣12x+32＝0，


（x﹣4）（x﹣8）＝0，


解得：x1＝4，x2＝8，


4+20＝24，8+20＝28，


答：每件工艺品的售价应确定为24元或28元．


17．解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，


将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h＝1，


解得：h＝；


②把x＝5代入y＝﹣（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，


∵1.625＞1.55，


∴此球能过网；





（2）把（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：


，


解得：，


∴a＝﹣．


18．解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；





（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，


∵x≥45，a＝﹣20＜0，


∴当x＝60时，P最大值＝8000元，


即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；





（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，


解得x1＝50，x2＝70．


∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，


∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．


又∵x≤58，


∴50≤x≤58．


∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，


∴y随x的增大而减小，


∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，


即超市每天至少销售粽子440盒．


19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），


∴根据题意，得，


解得，


∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．


（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），


定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，


∴A（﹣1，0），B（3，0），


∴CD＝＝，


BC＝＝3，


BD＝＝2，


∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，


∴CD2+BC2＝BD2，


∴△BCD是直角三角形；


（3）存在．


y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．


①若以CD为底边，则P1D＝P1C，


设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，


因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，


即y＝4﹣x．


又P1点（x，y）在抛物线上，


∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，


即x2﹣3x+1＝0，


解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，


∴x＝，


∴y＝4﹣x＝，


即点P1坐标为（，）．


②若以CD为一腰，


∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，


此时点P2坐标为（2，3）．


∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．





20．解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），


当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），


把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得，解得，


∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；


（2）①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），


∵B（5，0），C（0，﹣5），


∴△OCB为等腰直角三角形，


∴∠OBC＝∠OCB＝45°，


∵AM⊥BC，


∴△AMB为等腰直角三角形，


∴AM＝AB＝×4＝2，


∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，


∴PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，


作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ＝45°，


∴PD＝PQ＝×2＝4，


设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），


当P点在直线BC上方时，


PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1（舍去），m2＝4，


当P点在直线BC下方时，


PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1＝，m2＝，


综上所述，P点的横坐标为4或或；


②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，


∵M1A＝M1C，


∴∠ACM1＝∠CAM1，


∴∠AM1B＝2∠ACB，


∵△ANB为等腰直角三角形，


∴AH＝BH＝NH＝2，


∴N（3，﹣2），


易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（，﹣），


设直线EM1的解析式为y＝﹣x+b，


把E（，﹣）代入得﹣+b＝﹣，解得b＝﹣，


∴直线EM1的解析式为y＝﹣x﹣，


解方程组得，则M1（，﹣）；


在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，


设M2（x，x﹣5），


∵3＝，


∴x＝，


∴M2（，﹣），


综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．