苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质优秀达标测试

这是一份苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质优秀达标测试，共19页。
一．选择题


1．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）


A．B．C．D．


2．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）


A．B．C．D．


3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）


A．B．


C．D．


4．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）


A．8B．14C．8或14D．﹣8或﹣14


5．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ）


A．x0＞﹣5B．x0＞﹣1C．﹣5＜x0＜﹣1D．﹣2＜x0＜3


6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）





A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6


C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值6


7．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）


A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1


C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣1


8．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（ ）


A．对称轴是直线x＝1，最小值是2


B．对称轴是直线x＝1，最大值是2


C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2


D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2


9．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）


A．开口向下


B．对称轴是y轴


C．经过原点


D．在对称轴右侧部分是下降的


10．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）


A．B．C．或D．或


11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（ ）


A．a＞3B．a＜3C．a＞5D．a＜5


12．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）


A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）


13．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）





A．B．C．D．


14．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）


A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6


C．m＝﹣1，n＝6D．m＝1，n＝﹣2


15．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）


A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1


16．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）


A．1B．2C．1或2D．0或3


17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（ ）





A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤


18．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：


①2a+b＝0；


②abc＞0；


③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；


④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；


⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，


其中正确的是（ ）





A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤


二．填空题


19．已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ．





20．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．





21．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．


22．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为 ．





23．二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8的最大值是 ．


24．将抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为 ．


25．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）．





三．解答题


26．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．


（1）求a的值和图象的顶点坐标．


（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．


①当m＝2时，求n的值；


②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．





27．用描点法作出函数y＝﹣x2+2x的图象．


28．已知抛物线y＝ax2+3经过点A（﹣2，﹣13）．


（1）求a的值．


（2）若点P（m，﹣22）在此抛物线上，求点P的坐标．


29．如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．


（1）求二次函数与一次函数的解析式；


（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．





30．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m﹣4（m为常数）与y轴的交点为C，M（3，0）与N（0，﹣2）分别是x轴、y轴上的点


（1）当m＝1时，求抛物线顶点坐标．


（2）若3≤x≤3+m时，函数y＝﹣x2+4x+m﹣4有最小值﹣7，求m的值．


（3）若抛物线与线段MN有公共点，直接写出m的取值范围是 ．





31．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．


（1）若此函数为一次函数；


①m，k，n的取值范围；


②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；


③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；


（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．

























































































参考答案


一．选择题


1．解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；


当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．


故选：C．


2．解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，


当a＞0时，b＞0，y＝ax2与开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；


此时，没有选项符合，


当a＜0时，b＜0，y＝ax2与开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；


此时，D选项符合，


故选：D．


3．解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．


B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．


C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x＝﹣位于y轴的右侧，故符合题意，


D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．


故选：C．


4．解：根据题意＝±3，


解得c＝8或14．


故选：C．


5．解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，


∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，


∴a＞0；∴25a﹣5b+c＞9a+3b+c，


∴＜1，


∴﹣＞﹣1，


∴x0＞﹣1


∴x0的取值范围是x0＞﹣1．


故选：B．


6．解：由二次函数的图象可知，


∵﹣5≤x≤0，


∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；


当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．


故选：B．


7．解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），


∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），


∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，


故选：B．


8．解：由抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣1）2+2，


可知：对称轴x＝1，


开口方向向下，所以有最大值y＝2，


故选：B．


9．解：A、∵a＝1＞0，


∴抛物线开口向上，选项A不正确；


B、∵﹣＝，


∴抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；


C、当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，


∴抛物线经过原点，选项C正确；


D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，


∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．


故选：C．


10．解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，


①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，


解得：m＝﹣；


②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，


解得：m＝＜2（舍）；


③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，


解得：m＝或m＝﹣＜﹣1（舍），


∴m的值为﹣或，


故选：D．


11．解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，


∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，


将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，


由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．


故选：D．


12．解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），


∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．


故选：D．


13．解：点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y＝x上，


∴x＝ax2+bx+c，


∴ax2+（b﹣1）x+c＝0；


由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，


∴方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个正实数根．


∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，


又∵﹣＞0，a＞0


∴﹣＝﹣+＞0


∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x＝﹣＞0，


∴A符合条件，


故选：A．


14．解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，


∴，解之得，


∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，


故选：D．


15．解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），


∴二次函数的对称轴x＝，


∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，


∵|a|＞0，


∴y1＞y3＞y2；


故选：D．


16．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，


解得：x1＝0，x2＝2．


∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，


∴a﹣1＝2或a＝0，


∴a＝3或a＝0，


故选：D．


17．解：①∵对称轴在y轴的右侧，


∴ab＜0，


由图象可知：c＞0，


∴abc＜0，


故①不正确；


②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，


∴b﹣a＞c，


故②正确；


③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，


故③正确；


④∵x＝﹣＝1，


∴b＝﹣2a，


∵a﹣b+c＜0，


∴a+2a+c＜0，


3a＜﹣c，


故④不正确；


⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，


而当x＝m时，y＝am2+bm+c，


所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），


故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），


故⑤正确．


故②③⑤正确．


故选：B．


18．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），


∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，


∴2a+b＝0，所以①正确；


∵抛物线开口向下，


∴a＜0，


∴b＝﹣2a＞0，


∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，


∴c＞0，


∴abc＜0，所以②错误；


∵抛物线的顶点坐标A（1，3），


∴x＝1时，二次函数有最大值，


∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；


∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）


而抛物线的对称轴为直线x＝1，


∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；


∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）


∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．


故选：C．


二．填空题


19．解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴为x＝1，


根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），


观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3．


20．解：


∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，


∴点P在线段CD的垂直平分线上，


如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，


∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，


∴C（0，3），且D（0，1），


∴E点坐标为（0，2），


∴P点纵坐标为2，


在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝2，可得﹣x2+2x+3＝2，解得x＝1±，


∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），


故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．





21．解：∵a＝1＞0，


∴二次函数的图象开口向上，


由二次函数y＝（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x＝1，


∵x1＞x2＞1，


∴两点均在对称轴的右侧，


∵此函数图象开口向上，


∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，


∵x1＞x2＞1，


∴y1＞y2．


故答案为：＞．


22．解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，


∴这两点一定关于对称轴对称，


∴对称轴是：x＝＝2．


故答案为：直线x＝2．


23．解：∵a＝﹣1＜0，


∴y有最大值，


当x＝6时，y有最大值8．


故答案为8．


24．解：抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y＝2（x﹣1+3）2+2﹣4＝2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2．


故答案为：y＝2（x+2）2﹣2．


25．解：①∵函数开口方向向上，


∴a＞0；


∵对称轴在y轴右侧


∴ab异号，


∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，


∴c＜0，


∴abc＞0，


故①正确；





②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，


∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），


∴当x＝2时，y＜0，


∴4a+2b+c＜0，


故②错误；





③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，


∴最小值：＜﹣1，


∵a＞0，


∴4ac﹣b2＜﹣4a；


∴③正确；





④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，


∴﹣2＜c＜﹣1


∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，


∴＞a＞；


故④正确





⑤∵a＞0，


∴b﹣c＞0，即b＞c；


故⑤正确．


综上所述，正确的有①③④⑤，


故答案为：①③④⑤．


三．解答题


26．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，


∴a＝2，


∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，


∴顶点坐标为（﹣1，2）；


（2）①当m＝2时，n＝11，


②点Q到y轴的距离小于2，


∴|m|＜2，


∴﹣2＜m＜2，


∴2≤n＜11；


27．解：列表


描点、连线画出函数图象如图：





28．解：（1）将点A（﹣2，﹣13）．代入y＝ax2+3，得﹣13＝4a+3，


解得a＝﹣4，


∴抛物线的函数解析式为y＝﹣4x2+3，


（2）∵点P（m，﹣22）在此抛物线上，


∴﹣22＝﹣4m2+3，


解得m＝±，


∴点P的坐标为（，﹣22）或（﹣，﹣22）．


29．解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，


解得m＝﹣4．


所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，


即y＝x2﹣6x+5；


当x＝0时，y＝9﹣4＝5，


所以C点坐标为（0，5），


由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，


所以B点坐标为（6，5），


将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，


，


解得：．


所以一次函数解析式为y＝x﹣1；


（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），


∵S△ABP＝S△ABC，


∵，


如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，





∴＝15，


∴E（a，a﹣1）


∴PE＝﹣a2+7a﹣6，


∴，


∴a2﹣7a+12＝0


解得：a1＝4，a2＝3，


∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），


如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，





同理可得S△PAB＝S△PFA﹣S△PFB＝＝15，


∴，


解得a＝0（舍去），a＝7，


∴P3（7，12）．


综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．


30．解：（1）当m＝1时，y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，


∴顶点坐标为（2，1）；


（2）由抛物线y＝﹣x2+4x+m﹣4（m为常数）可知：开口向上，函数的对称轴为直线x＝2，


∴当3≤x≤3+m时，y随x的增大而减小，


∴当x＝m+3时，y有最小值﹣7，


∴﹣（m+3）2+4（m+3）+m﹣4＝﹣7，


解得m1＝2，m2＝﹣3（舍去），


∴m＝2；


（3）∵M（3，0），N（0，﹣2），


∴直线MN的解析式为y＝x﹣2，


∵抛物线与线段MN有公共点，则方程﹣x2+4x+m﹣4＝x﹣2，即x2﹣x﹣m+2＝0中△≥0，且m﹣4≤﹣2，


∴（﹣）2﹣4（﹣m+2）≥0，


解得﹣≤m≤2，


故答案为﹣≤m≤2．


31．解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；


②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2


当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1


③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+n


x＝3时，y有最大值为3k+n


当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+n


x＝3时，y有最小值为3k+n


（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2


对称轴为x＝﹣，


当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5


当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）


当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．


所以实数k的值为±5．





x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…