【数学】广东省佛山市三水区实验中学2018-2019学年高二上学期第五学段考试（理）
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高二上学期第五学段考试（理）
（考试时间：120分 满分150分）
参考公式:圆锥的表面积
一、选择题（每小题5分，共60分）
- 一个封闭立方体的六个面积各标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成如图所示三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A，B，C对面的字母分别是 ( )
A. D，E，F B. F，D，E C. E，F，D D. E，D，F
- 直角的三边长分别为3，4，5，绕其一边旋转所得的几何体的体积为 ,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
- 在长方体中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值( )
A. B. C. D.
- 如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A.
B.
C.
D.
6. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则能使成立是 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知直线经过一、二、三象限，则有( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
- 如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是( )．
A. 12 B. 16 C. D.
- 已知圆M：与圆N：，那么两圆的位置关系是 ( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
- 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )
A. B. C. D.
- 若直线与平行，则与之间的距离为
A. B. C. D.
- 点在函数的图象上，当时，的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：（每小题5分，共20分）
- 直线的倾斜角为____________
- 已知是三个不共面向量，已知向量，，则
______ ．
- 过点与两坐标轴相交且与两坐标轴所围成的三角形面积为5的直线方程为_________
- 点和关于对称，则 ______ ．
三、 解答题：
- （10分）分别求满足下列条件的直线方程：
求经过，的直线方程;
(2) 直线l在y轴上的截距为．且在两个坐标轴上的截距相等;
经过直线与的交点，且与直线垂直．
- （12分）
求过点，，且圆心C在直线上的圆的标准方程．
过点l与圆C交于不同的两点A，B，且，求直线l的方程．
- （12分）已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使，得到三棱锥，如图所示．Ⅰ若点M是棱AB的中点，求证：平面ACD；Ⅱ求证：平面BCD；Ⅲ求二面角的余弦值．
- （12分）在正四棱柱中，，E为的中点
求证：平面BDE；
若F为上的动点，使直线与平面BDE所成角的正弦值是，求F点的位置；
．求点到平面BDE的距离
- （12分）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，．
求直线AD与平面PCD所成角的正切值；
点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
22. （12分）已知圆O：和定点A(2,1)，由圆O外一点向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足．
(1) 求实数a、b间满足的等量关系；
(2) 求线段PQ长的最小值；
(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．
参考答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | D | A | C | C | C | C | B | B | A | B | C |
13、14、 15、 16、5
17、解：(1)过A，B两点的直线方程是 ……(2分)
斜截式为：……(3分)
(2) 因为直线l在y轴上的截距为，
且直线l在两个坐标轴上的截距相等，
所以直线l在x轴上的截距也为， ……(4分)
故由截距式方程得l的方程为， ……(5分)
故直线l方程为． ……(6分)
由
解得
直线与的交点为， ……(8分)
由条件设所求直线方程为……(9分)
因为所求直线过点
所以，即，
所以所求直线方程为； ……(10分)
18、解：设圆的标准方程为， ……(1分)
根据已知条件可得， ……(4分)
解得，
所求圆的标准方程为； ……(6分)
（2）解：圆C：，配方，得，
圆心，半径，……(7分)
①当直线l的斜率不存在时，l：，圆心到直线l的距离是1，并有,满足题意 ……(8分)
②当直线l的斜率存在时，设l：由……(10分)
得，此时l：……(11分)
综上所述l方程为或……(12分)
19、解：证明：连结MO
在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，
为BD的中点，
又M为AB的中点，
OM//AD ……………….(1分)
又平面ACD，平面ACD， ……………….(2分)
平面ACD． ……………….(3分)
证明：在中，，，
，． ……………….(4分)
又、BD是正方形ABCD的对角线，
， ……………….(5分)
又
平面BCD． ……………….(6分)
法一:由知平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系．
则，
，，……………….(8分)
设平面ABC的法向量，
则，．
即， ……………….(9分)
令，则，，
解得． ……………….(10分)
是平面BCD的一个法向量．……………….(11分)
从而，
二面角的余弦值为． ……………….(12分)
法二:取BC中点Ｎ,连结NA，NO,
因为AB=AC=1,所以ANBC,且…….(8分)
因为OB=OC=,所以0NBC,且……………….(9分)
所以 便是二面角A-BC-D的平面角；………….(10分)
由(1)得平面BCD,又平面BCD
所以ON ………….(11分)
所以cos =
二面角的余弦值为． ……………….(12分)
20、证明：以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则
1，，1，，0，，0，，1，，
…….(2分)
(1)…….(3分)
…….(4分)
…….(5分)
(2) …….(6分)
由(1)得
….(7分)
…….(8分)
…….(9分)
…….(10分)
(3)由(2)得
…….(12分)
21、解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系如图，
由题可知0，，1，，2，，0，．…….(1分)
1，，2，，
设平面PCD的法向量为y，，
由，得，
取，得1，， …….(3分)
2，
，，…….(4分)
设直线AD与平面PCD所成角为，则
平直线AD与平面PCD所成角的正切值为；…….(6分)
0，，设0，，
又，则，…….(9分)
又，从而，，
解得：， …….(11分)
又，．…….(12分)
22、解：（1）连为切点，，由勾股定理有
. ……(1分)
又由已知，故.
即：. ……(3分)
化简得实数a、b间满足的等量关系为：.……(4分)
（2）由，得.……(5分)
=……(7分)
故当时，即线段PQ长的最小值为……(8分)
解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.
∴ | PQ |min = | PA |min，即求点A 到直线 l 的距离. ……(6分)
∴ | PQ |min == .……(8分)
（3）设圆P的半径为，
圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1，
即且.
而，
故当时，……(10分)
此时,，.
得半径取最小值时圆P的方程为． ……(12分)
解法2： 圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’与l的交点P0.
r = －1 = －1. ……(9分)
又l’：x－2y = 0, ……(10分)
解方程组，得.即P0( ,). ……(11分)
∴所求圆方程为. ……(12分)
