【数学】河南省淮阳县第一高级中学2018-2019学年高二上学期10月月考（理） 试卷

河南省淮阳县第一高级中学2018-2019学年

高二上学期10月月考（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）

1．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

2．下列求导运算正确的是（     ）

3．若函数的图象的顶点在第四象限且开口向上，则函数的图象是（    ）

4．函数有极值的充要条件是（      ）

5．已知函数，则与围成的封闭图形的面积为（    ）

6．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，

，且，则不等式的解集是（    ）

7．已知有极大值和极小值，则的取值范围为（    ）

8．若，则（     ）

9．设函数的导函数为，且，则（     ）

10．已知，且，则下列式子中正确的是（    ）

11．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

12．已知函数，则下列结论正确的是（     ）

A．若是的极值点，则在区间内是增函数

B．若是的极值点，则在区间内是减函数

C．，且

D．在上是增函数

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．已知函数，则的最小值为              .

14．              .

15．已知函数有两个零点，则的取值范围是              .

16．已知函数若有，则的最大值为              .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知函数在处有极值，求的值及的单调区间．

18．（12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。

19．（12分）已知函数在处的切线方程为，数列满足

（1）求数列的通项公式以及前项和；

（2）求的最小值。

20．某校内有一块以O为圆心，R（单位：米）为半径的半圆形荒地（如图），校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCD区域（阴影部分）用于种植观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元。

（1）设（单位：弧度），用表示弓形BCD的面积；

（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值。

21．已知函数

（1）求函数在上的最小值；

（2）若函数与的图象恰有一个公共点，求实数的值.

22．设函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）

1．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

1．答案：D 解析：处的切线斜率为，倾斜角为

2．下列求导运算正确的是

2．答案：B  解析：，，

3．若函数的图象的顶点在第四象限且开口向上，则函数的图象是（    ）

3．答案：A 解析：函数的图象的顶点在第四象限，开口向上，函数是先减后增，且极小值点为正，∴先有，后有，当时，

4．函数有极值的充要条件是（      ）

4．答案：C 解析：，由题意得有实数解，即，所以

5．已知函数，则与围成的封闭图形的面积为（    ）

5．答案：C 解析：

6．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，

，且，则不等式的解集是（    ）

6．答案：D 解析：设，则，所以是上的奇函数，，当时，，所以是上的增函数，根据奇函数的对称性可知在上也是增函数，所以的解集为

7．已知有极大值和极小值，则的取值范围为（    ）

7．答案：D 解析：，依题意有两个不相等的实数根，∴，解得：或

8．若，则（     ）

8．答案：1或 解析：，∴，∴ 或，时，

，当时，

9．设函数的导函数为，且，则（     ）

9．答案：B  解析：，∴∴

10．已知，且，则下列式子中正确的是（    ）

10．答案：B 解析：设，则，在上，单调递增，所以，即；设则

，当时，单调递减，当时，单调递增，∴C,D均不正确。

11．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

11．答案：B ∴当时，单调递减，当时，单调递增，依题意得，∴

12．已知函数，则下列结论正确的是（     ）

A．若是的极值点，则在区间内是增函数

B．若是的极值点，则在区间内是减函数

C．，且

D．在上是增函数

12．答案：D 解析：令，得或，列表如下：

因为在上不是单调函数，可判断A，B错，又，可判断C错，易知D正确。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．已知函数，则的最小值为              .

13．答案：，解析：令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以

14．              .

14．答案： 解析：∵∴

15．已知函数有两个零点，则的取值范围是              .

15．答案： 解析：，易知在上单调递减，在上单调递增，由题意可得所以

16．已知函数若有，则的最大值为              .

16．答案：3 解析：，当时，单调递增，所以，依题意得解得：，所以的最大值为3

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知函数在处有极值，求的值及的单调区间．

17．解：的定义域为，，由题意可得解得：，∴，显然在上是减函数，且，所以当时，单调递增；当时，单调递减。

所以的单调增区间是，的单调减区间是

18．（12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。

18．解：（1）∵为奇函数，∴

∵的最小值为，∴，

又直线的斜率为，∴，解得

∴

（2），列表如下：

∴函数的单调递增区间是和，

∵，∴函数在上的最大值是18，最小值是

19．（12分）已知函数在处的切线方程为，数列满足

（1）求数列的通项公式以及前项和；

（2）求的最小值。

18．解：（1），因此处的切线斜率是2，又当时，则切点为，所以切线方程为，所以，所以是首项为公差为2的等差数列，因此

（2），令，令，可得，易知是的最小值点。因为，又，所以当时，取得最小值，最小值为

20．某校内有一块以O为圆心，R（单位：米）为半径的半圆形荒地（如图），校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCD区域（阴影部分）用于种植观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元。

（1）设（单位：弧度），用表示弓形BCD的面积；

（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值。

20．（1）扇形的面积

（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为元，种植学校观赏植物成本为元。

则

设则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增。

所以当时，取得极小值，也是最小值为

此时总利润最大，则最大总利润为

所以当扇形的圆心角为时，总利润取得最大值为元

21．已知函数

（1）求函数在上的最小值；

（2）若函数与的图象恰有一个公共点，求实数的值.

21．（1）令，得

①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为

②当时，函数在区间上单调递增，此时函数在区间上的最小值为

（2）由题意得，在上有且只有一个根，即在上有且只有一个根。令，则

，易知在上单调递减，在

上单调递增，所以，由题意可知，若使与的图象恰有一个公共点，则

22．设函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

22．解：（1）的定义域为，

令，其判别式

①时，，则，故在区间上单调递增

②当时，的两根都小于0，在上，则，故在区间上单调递增

③当时，的两根为，

当时，，即；当时，，即，单调递减；当时，，即

故在和上单调递增，在上单调递减。

（2）由（1）可知当时，函数有两个极值点，

∵

∴，又有（1）知，，于是

，若存在，使得，则，

即    （*）

再由（1）知，函数在上单调递增，且，而∴，这与（*）式矛盾，故不存在，使得