【数学】河北省保定市2019-2020学年高二上学期第四次月考（理）试题

河北省保定市2019-2020学年高二上学期第四次月考数学（理）试卷（时间120分钟，满分150分）一、选择题：(每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的).1. 已知集合，则集合(      )A．            B．              C．               D． 2．下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（　　）A．         B．C．   D．3．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝+3x﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学下一步应计算的函数值为（　　）A．f（0.5） B．f（1.125） C．f（1.25） D．f（1.75）下列命题中错误命题的个数有(　　)个（1）若命题p为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；（2）命题“，则或”的否命题为“”；（3）对立事件一定是互斥事件；（4）A,B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；A．1    B．2    C．3    D．45．已知，则a，b，c的大小关系为（　　）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它是：由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD，E为AB边的中点，若在四边形ABCD中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为（　　）A． B． C． D．7．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则D（ξ）＝（　　）A．0.09 B．9 C．1 D．0.98．的展开式中的系数为（　　）A．400           B．120           C．80              D．0函数的部分图象大致是（    ）10．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x+4y﹣a＝0（a＞0），若C上的点到l的距离的最大值为，则a＝（　　）A．12 B．22 C．17 D．12或2211．函数的定义域为(    )A． B． C． D．12.已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（   ）A．        B．     C．     D． 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若，则　        　． 14．若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式一定成立的有　       　．①b>a   ②a<b    ③a2＞b2    ④a3＞b315．已知函数，则f（2）=            ．16．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______.三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．      18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b，求证：log3（）≥2．       19、（本小题满分12分）今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科．已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人．按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．（Ⅰ）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表．并根据K2统计量判断能否有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关？（Ⅱ）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有X人，女生有Y人，求随机变量ξ＝X﹣Y的分布列和数学期望．K2的计算公式：临界值表如下：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.024      20、（本小题满分12分）已知函数，当x＝1时，f（x）取得极小值2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值．     21、（本小题满分12分）已知函数，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2；（2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a的取值范围．     22、（本小题满分12分）某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第n次闭合后出现红灯的概率为。(1)求： ；                (2)求证：；
【参考答案】一、选择题123456789101112BCCCACDDBADD二、填空题13、14、④15、216、120三、解答题17、解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得．∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，即x2+y2﹣4x＝0．∴曲线的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4；………………………………………………（5分）（Ⅱ）把代入x2+y2﹣4x＝0，得．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣3．不妨设t1＜0，t2＞0，∴．……………………（10分）18、解：（1）f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|，由f（x）≤4得，或或，∴﹣2≤x＜﹣1或﹣1≤x或x≤6，∴不等式的解集为：{x|﹣2≤x≤6}．………（5分）（2）f（x）+3|x+1|＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣（2x+2）|＝3，当且仅当（2x﹣1）（2x+2）≤0，即﹣1≤x时取等号，∴m＝3，         ………（8分）∴a+b＝1，∴5≥5+29，当且仅当，即a时取等号，∴log3log39＝2．                  ………………………………………（12分）19、解：（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，结合题目数据可得列联表如下； 物理历史合计男生17320女生10616合计27936根据表中数据，计算，而P（K2≥2.4）＞P（K2≥2.706）＝0.10，所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；     ……………………（6分）（II）由（I）知在样本里选历史的有9人，其中男生3人，女生6人；所以ξ可能的取值有2，0，﹣2，﹣4；且P（ξ＝2）＝P（X＝3且Y＝1），P（ξ＝0）＝P（X＝2且Y＝2）；P（ξ＝﹣2）＝P（X＝1且Y＝3），P（ξ＝﹣4）＝P（X＝0且Y＝4）；所以ξ的分布列为：ξ20﹣2﹣4P    ξ的期望为．  ………（12分）20、解：（Ⅰ）根据题意，，则，因为x＝1时，f（x）有极小值2，则有，解可得：，所以，经检验符合题意，则a，b＝1；           ………………………………………（6分）（Ⅱ）由（1）知当时，由，由f'（x）＞0得x∈（1，2），所以上单调递减，在（1，2）上单调递增，则fmin（x）＝f（1）＝2，又由，得．             函数f(x)的最小值为2，最大值是5-2ln2      ………………………………………（12分）21、解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣sinx+1，则f'（x）＝ex﹣cosx≥0，且当x＝0时f'（x）＝0，∴f（x）在[0，）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝2，∴对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2；                 ……………… ……………………（4分）（2）令f（x）＝0，则a，令g（x）（0≤x≤π），函数f（x）在[0，]上存在两个零点，即函数y＝a与函数g（x）在[0，]上有两个不同的交点，由g（x）得，g'（x），令g（x）＝0，则sin（x），∵x∈[0，]，∴x或x，∴当0＜x时，g'（x）＞0；当x时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴，又g（0）＝﹣1，g（），∴当x∈[，0）时，y＝a与g（x）有两个交点，∴a的取值范围为：[，0）．                 ……………… ……………………（12分）22、解：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。于是P2=P1·+(1－P1)·=。       …………（4分）(2)受(1)的启发，研究开关第N次闭合后出现红灯的概率Pn，要考虑第n－1次闭合后出现绿灯的情况，有Pn=Pn－1·+(1－Pn－1)·=－Pn－1+，再利用待定系数法：令Pn+x=－(Pn－1+x)整理可得x=－∴{Pn－}为首项为(P1－)、公比为(－)的等比数列Pn－=(P1－)(－)n－1=(－)n－1，Pn=+(－)n－1∴当n≥2时，Pn<+=                   ……………… ……………………（12分）