【数学】广东省蕉岭县蕉岭中学2018-2019学年高二上学期第二次质量检测（文）
展开广东省蕉岭县蕉岭中学2018-2019学年
高二上学期第二次质量检测（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，则=（ ）
A． B． C． D．
3.已知是等差数列的前项和，，则＝（ ）
A．68 B．76 C．78 D．86
4.已知是首项为，公比为的等比数列，是的前项和，若，则( )
A．4 B．5 C．6 D．7
5.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7.在中，， 是的中点，是的中点，则( )
A． B. C． D．
8.函数的图象是( )
A B C D
9.在中，，BC边上的高等于,则( )
A. B. C. D.
10．如右图是一个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )
A. B. C. D.
11.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角三角形中较小的锐角,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在区域1和区域2的概率是( )
A. B. C. D.
12．定义在上的函数满足，且时，；时，. 令，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13.若角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边为射线，
则的值为___________.
14.若一条倾斜角为且经过原点的直线与圆交于,两点，则_____.
15.已知数列满足，且，，则________.
16．函数的图象为，如下结论中正确的是___________.（写出所有正确结论的编号）
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.（本小题满分10分）
设是等差数列，且，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
18.（本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求、．
19.（本小题满分12分）
某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
20.（本小题满分12分）
如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，
，
平面平面，平面，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
21.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
22. 已知函数，，记.
（1）判断的奇偶性并写出的单调区间；
（2）若对于一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）对任意，都存在，使得，.
若，求实数的值.
参考答案
一、选择题：1-12、CAABA CDADD AB
二、填空题：13. 14. 2 15. 2 16.①②③
三、解答题：
17.解：（1）设等差数列的公差为，………………………………………………1分
∵，
∴， ………………………………………………3分
又，∴. ………………………………………………4分
∴. ………………………………………………5分
（2）由（I）知，∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列. ………………………7分
∴.………8分
∴ ………………………………………………10分
18. 解：（1）由正弦定理得：………………………………………………………………1分
……3分
…………………………………4分
…………………………………………6分
（2） ………………………………8分
，解得：． ………………12分
19.解:(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，
得x＝0.0075， ………………………………………………………………2分
所以直方图中x的值是0.007 5. ………………………………………………4分
(2)月平均用电量的众数是＝230. ……………………………………………5分
因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，………………………………6分
所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，
由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，得a＝224，………7分
所以月平均用电量的中位数是224. ………………………………8分
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，
月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，………………9分
月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)，………………10分
抽取比例＝＝， ………………………………11分
所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户)．………………12分
20．
（2）由（1）知平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.……………7分
∵，是等边三角形，点为的中点，
∴，………………8分
∴………………10分
.………………12分
21.
令得，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，
所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值
22.解：函数为奇函数，在R上单调递增 ………………2分
（2）当时，
即， ………………………………4分
， ………………………………5分
令，
下面求函数的最大值。
，
∴ ………………6分
故的取值范围是 ………………7分
（3）据题意知，当时，， ………………8分
∵在区间上单调递增，
∴，即 ………………9分
又∵
∴函数的对称轴为 ………………10分
∴函数在区间上单调递减
∴，即 ………………11分
由，得，
∴ ………………12分
