【数学】广东省蕉岭县蕉岭中学2018-2019学年高二上学期第三次月考（文） 试卷
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高二上学期第三次月考（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆：的一个焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列说法正确的是（ ）
A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”
B. 命题“”的否定是“”
C. 命题“若函数有零点，则“或”的逆否命题为真命题
D. 设是实数,则“”是“”的必要不充分条件
6．已知点 ，，，若，则实数等于（ ）
A． B．2 C． D．1
7.已知数列为等差数列，为前项和,公差为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8．已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．执行如右图所示的程序框图，输出值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10．函数的部分图像大致为（ ）
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数与函数的图象上存在四对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知函数，若，则____ ____．
14．若，则的最小值为 ．
15．已知，则___________．
16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径。若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知等差数列的前项和，且,
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）
设函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）中，内角，，所对的边分别为，，，
若角满足，，的面积为，求的值．
19．（本小题满分12分）
某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率，并补全
这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组
区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的
平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为
的学生中抽取一个容量为的样本，
将该样本看成一个总体，从中任取人，
求至多有人在分数段的概率.
20．（本小题满分12分）
下图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，，
且，为线段的中点．
（1）求证：平面
（2）求三棱锥的体积．
21．（本小题满分12分）
已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．
求：（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？
若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“M类函数”．
（1）已知函数，试判断是否为“M类函数”？并说明理由；
（2）设是定义在上的“M类函数”，求是实数m的最小值；
（3）若为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | C | B | D | C | A | B | D | C | C | B | D |
二、填空题
-7 7
17．【解析】
18．解：（1），
令，，得，．
所以，的单调递增区间为，． ---------- 6分
（2）由条件，
∵，∴，∴，解得．
∵，∴．
又，化简得，则，故． ------------12分
19．解析：（1）分数在内的频率为：
，故，如图所示
--------- 4分
（2）由题意可估计平均分为：
-----7分
（3）由题意，分数段的人数为：人；分数段的人数为：人；∵在的学生中抽取一个容量为的样本，
∴分数段抽取2人，分别记为；分数段抽取4人，分别记为；
设从样本中任取人，至多有1人在分数段为事件，则基本事件有：、、、、、……、共15种，则事件包含的基本事件有：、、、、、、、、共9种，
∴． ----------12分
20. 解：（1）连结与交于点，则为的中点，连结，
∵为线段的中点，∴且 ……………2分
又且
∴且
∴四边形为平行四边形， ………4分
∴, 即．
又面，面
∴平面 ………………6分
（2）∵平面，平面,
∴平面平面
∵，平面平面，平面，
∴平面. ………………8分
三棱锥的体积 ……………10分
……12分
21．解：（1）设圆心为，（）．
由于圆与直线相切，且半径为5，所以 ，即．
因为为整数，故．故所求的圆的方程是 --------------3分
（2）直线即．代入圆的方程，消去整理，得
．由于直线交圆于，两点，
故，即，解得或．
所以实数的取值范围是． ------------------------7分
（3）设符合条件的实数存在，
由（2）得，则直线的斜率为，的方程为，即．
由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以，解得．由于，
故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦． --------------------12分
22．解：（1）由，得：
所以
所以存在满足
所以函数是“M类函数”， ---------- 3分
（2）因为是定义在上的“M类函数”，
所以存在实数满足，
即方程在上有解.
令
则，因为在上递增，在上递减
所以当或时，取最小值 ----------- 7分
（3）由对恒成立，得
因为若为其定义域上的“M类函数”
所以存在实数，满足
①当时，，所以，所以
因为函数（）是增函数，所以
②当时，，所以，矛盾
③当时，，所以，所以
因为函数是减函数，所以
综上所述，实数的取值范围是 ----------------- 12分
