【数学】广东省揭阳市惠来县第一中学2018-2019学年高二上学期第二次阶段考试（理）
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高二上学期第二次阶段考试（理）
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。
2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题
1.设集合( )
A．[1，2] B．(－1，3) C．{1} D．{l，2}
2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）
A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
3.“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.程序框图如图所示，当时，输出的的值为（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
5.在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
6.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率=（ ）
A． B． C． D．
7.在等差数列中，，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾,，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
9.已知椭圆的左焦点为，有一小球从处以速度开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，方向相反，小球半径忽略不计），若小球第一次回到时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点
中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
11.关于的不等式的解集为，
则关于的不等式的解集为 （ ）
A． B．
C. D．
12.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率（ ）
A． B. C. D.
二、填空题
13.某校今年计划招聘女教师人，男教师人，若、满足，则该学校今年计划招聘教师最多_______人．
14.已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为，则等于 ．
15.已知命题：，；：，．若是真命题，则实数的取值范围为 ．
16.如图在平面四边形中，，
则四边形的面积为 ．
三、解答题
17.（本小题满分12分）
已知等比数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，试判断，，是否成等差数列；
(3)记，求数列的前项和．
18.（本小题满分12分）
如图，四棱柱中，底面为直角梯形，,
且,侧棱底面，为棱的中点.
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5）， [0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，且椭圆的右顶点为，离心率为﹒
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB分别交直线于点D，E．
试探究D，E两点纵坐标的乘积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当，时，求满足的的值；
（2）若函数是定义在R上的奇函数．
①存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；
②若函数满足，若对任意且，不等式
恒成立，求实数m的最大值．
22．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲.
已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.
参考答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
选项 | D | D | B | B | C | C | C | C | D | B | B | A |
二、填空题
13.10 14. 15. 16．
三、解答题
17.解：(1)设等比数列的公比为，则 ………………1分
则……………………3分
数列的通项公式为. ………4分
(2)由于 则………6分
此时 ………7分 则，，成等差数
列………8分
(3)由于 ………10分从而
………11分
． ………12分
18.【解析】（1）由题易知侧棱平面，平面，
. （1分）
，，且为棱的中点，
（3分）
则，即.（4分）
又平面，，
平面.（5分）
又平面，.（6分）
（2）解法一：由（1）知，，
. （7分）
取的中点，连接，设点到平面的距离为.
， （8分）
（9分）
（10分）
由，得，解得.
点到平面的距离为. （12分）
解法二：由（1）知平面及平面，
平面平面.
在平面内作交于，则平面，
即之长为点到平面的距离. （8分）
取的中点，连接，
由，知，. （9分）
由等面积法，得，
点到平面的距离为.（12分）
19.解：（）由频率分布直方图，可知：月用水量在的频率为…2分
同理，在等组的频率分别为
，，，，，.………4分
由，解得…5分
（）由得，位居民月均水量不低于吨的频率为…6分
由以上样本的频率分布，可以估计万居民中月均用水量不低于吨的人数为………8分
（3）设中位数为吨.因为前组的频率之和为，
而前组的频率之和为，所以……9分
由，解得………11分
故可估计居民月均用水量的中位数为吨.………12分
20.解：（1）设椭圆E的方程为,由已知得： ………1分
………2分 ………3分
椭圆E的方程为 …………4分
（2）由（1）可知A（﹣2，0），B（2，0）， …………5分
设P（x0，y0），则直线PA的方程为y=（x+2）①， …………6分
直线PB的方程为y=（x﹣2）②． …………7分
将x=4代入①②，可得yD=，yE=， …………8分
∴yD•yE=•=，…………10分
∵P（x0，y0）在椭圆上，∴=﹣（﹣4），…………11分
∴yD•yE==﹣9 ∴D，E两点纵坐标的乘积是定值﹣9．…………12分
21.解：（1）因为，，所以，化简得………1分
解得，…………………3分 所以． ………………4分
（2）因为是奇函数，所以，所以，
化简并变形得：．
要使上式对任意的成立，则，
解得：，因为的定义域是，所以舍去，
所以，所以．…………………………………5分
① ．
对任意，有：
．
因为，所以，所以，
因此在R上递增．………………………………………6分
因为，所以，
即在时有解．
当时，，所以．…………………………8分
②因为，所以()， ………9分
所以．
不等式恒成立，
即，
令，，则在时恒成立． ………………10分
因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立．
所以，则实数m的最大值为．…………………………12分
22.【解析】（1）当时，，
设
当时，，解得；当时，，解得；
当时，，解得.综上，原不等式的解集为.（5分）
（2）设，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则的值域为.
由题知不等式的解集非空，则，解得，
由于，故的取值范围是.（10分）
